勾股定理的应用例题-勾股定理应用实例

老张在自家后院修了个温室，旁边有个大水池，他想用篱笆围着种点豆角。 problem 是，他手头只有两根材料，一根长 40 米，一根长 30 米。
这两根材料能围成啥形状呢？老张脑子一热，立马脑子里蹦出那个熟悉的公式，平方加起来等于 5 倍的高。
第一根材料他拿来当斜边，30 米的根当直角边之一。另一根长 40 米，他要是当直角边，平方 1600，加上 900，等于 2500。开根号，正好是 50 米。
这说明他能围成一个长宽 30 和 40 的长方形。但老张可不想让篱笆浪费在角角落落上，他想把这块地分成一块三角形。他拿着剪刀剪去一根长 10 米的边，把剩下的 20 米和 50 米连起来，拼成一个直角三角形。算一下，20 平方是 400，50 平方是 2500，加起来 2900。开根号，边长大约是 53.85 米。老张心里那个乐，这比整块大长方形省了不少铁钱。 实际上篱笆围成的各种形状，数学上叫作勾股数，就是三边能凑成直角关系的数。老张遇到的那组数字，30、40、50，实际上是 3、4、5 的倍数。
这种勾股数特别好用，出于它们的三边互相能整除。
比方说，1 米、2 米、3 米也能拼成长方形。1 米长的材料，2 米长的材料，凑成 3 米长的斜边。
这在实际生活中挺常见的，比如像那个经典的“三根棍子搭梯子”的模型。把 3、4、5 的比例放大到城市里的建筑，要么家里的家具尺寸上，都能找到影子。 不过，老张最头疼的是，他手里的材料长度加起来不够围一圈。
要是他把 30 米和 40 米直接用做直角边，那斜边就得 50 米，总周长就是 120 米。但他只有 70 米的材料。
这说明他不能好办地把两根材料直接平铺。老张得换个思路。他想，要是不用那根 30 米的长线做直角边，会不会更省事？他把 40 米和 50 米加起来，看看能不能拼成直角。100 加 2500？不中，数据不对。
那试试 50 和 40？平方和是 1600+2500=4100，也不对。
这老头子试了好几种组合，最终发现，直接用 30 和 50 做直角边，斜边就是 40 米，这组勾股数 30、50、40，也是合法的。 这时候老张才想起，勾股定理别看公式好办，但用在具体数字上得仔细。30、40、50 这组数，别看符合勾股定理，但出于它们有公因数 10。
实际上数学上更讲究的是“互质”的勾股数，也就是三边没有公因数。老张要是直接按那根 40 米的材料做斜边，另一条直角边要是 50 米，那后面还得加 30 米的材料去补差，这样围成的大长方形周长就是 150 米，比刚刚的 120 米多了一圈。他要是想用那根 30 米的材料做斜边，那直角边得是 40 米和 50 米，总周长 120 米，刚好够用。 老张仔细盘算了一番，突然意识到，能不能把篱笆围成不是正方形的样子。
比方说，他能不能围成两个小三角形？
要么围成几块拼在一起的不同形状？实际上，只要保证三角形的三边知足 30、40、50 这种比例关系，甭管面积多大，都能用篱笆围起来。
关键是看材料长短。
要是只有 30 米和 40 米，那只能围成边长为 30 和 40 的长方形，斜边务必 50 米。
要是材料有 50 米，那就能够灵活多了，既能够做直角边，也能够做斜边，就连能围成面积更大的矩形。 老张看着 30、40、50 这三根材料，脑子里浮现出那个直角三角形。他慢慢拿起剪刀，沿着 30 米和 50 米的边剪下来，把剩下的一小段余料剪掉。保住了 30 米和 50 米这两根，正好拼成一个直角边为 40 米的三角形。
这比整块地分着分着划算。
这也说明，勾股定理的应用，不只是是算个平方和开根号，更在于根据实际情况调整形状，让材料利用更高效。在农业、建筑，就连平时修补屋顶的时候，这种灵活变通的本事都挺关键。数学这东西，有时候给你个标准公式，但真正解决难题的时候，你得愿意去想变通，去想那些没写在书上的可能性。老张做完这一切，心里那块石头落了地，当作那趟篱笆工程算是圆满了。
毕竟，能把复杂的几何关系简化成好办的材料切割，这就是数学的魅力所在。