四平方和定理c语言-四平方和定理 c 语言

四平方和定理：当数学遇上计算机 四平方和定理这事儿，实际上是个挺有意思的数学游戏。好办来说，任何正整数都能写成四个彻底平方数之和，比如 7 能够写成 $2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$，9 就是 $3^2$，10 则是 $1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1$。
听起来好办吧？但有个坑就是，如何快速算出这四个数分别是哪位，才是真正考验计算机“硬脑仁”的地方。 想象一下你要用 4 块积木拼出一个正方形。最笨的办法是暴力枚举：从 1 启动试 1，再从剩下试 1，直到积木凑够。但万一你凑多了要么没凑够呢？这时候就需求用二分法要么类似的高性能算法了。
比如处理 10 的时候，第一个数只能是 1 或 3（出于 $2^2=4>10$ 忒大），第二个数同理只能是 1、2 或 3，第三个数就只有 1 或 2 了，第四个数更是成了唯一解 $1$。
这种层层过滤的思路，在代码里实际上就是不断做减法，直到余数归零。 为了把代码写得清爽点，我们先把那些大数排除在外。
比如大于 1000 的数，那第一个平方数直接就是 100 了；大于 10000 的数，第一个平方数起码得是 121。如此一筛，剩下的数字范围就缩小了，计算量也就大大下降。
这就像你数钱的时候，发现面值忒大了不用一个个去翻，直接拿最大面额去抵，剩下的再按顺序取。 具体实现的时候，核心逻辑实际上就两步走。
第一步是遍历，第二步是排序。就像扫二维码一样，先扫一遍把所有平方数存下来，然后直接按大小排好。
这样做的益处是，要是第一个数挺大，后面几个数自然就不用再试了；要是第一个数挺小，那后面几个数的范围也就能立马确定。
比如处理 125 的时候，第一个数只能是 $11^2$，出于 $12^2 = 144$ 已经超了，剩下的数再填进去就能凑出 125 了。 在实际写代码的时候，可能会遇到一些边界难题。
比如当某个数本身就不是彻底平方数的时候如何办？这时候就要动态调整策略，不能硬套之前的规则。
比如 6 这个数，第一个数不能是 4（出于 $4+4=8$ 不够），也不能是 1（出于 $1+1=2$ 忒小），只有 $2^2=4$ 这个选项是合理的。
这时候代码里得加个判断，要是剩下的数都不够大了，那就得退回来重新来过，要么把第一个数给减一点，看看有没有其他路数。 还有一种情况是数字刚好是个彻底平方数，比如 9。
这时候第一个数就是 3，剩下的两个数加起来要等于 0，故此两个数都得是 0。
这种情况在代码处理的时候得特别小心，出于 $0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$，但我们要的是正整数之和。
故此一旦检测到第一个数已经挺大，要么已经接近上限，就得把第一个数再减一点，要么把第二个数给减掉，直到知足条件为止。 为了让逻辑更清楚，大量人会选择用递归的方式来处理。
每次递归调用时，先减去最大的那个平方数，然后持续递归处理剩下的局部。
这种写法看起来有点绕，出于递归会栈溢出，故此最好只在前几个数做递归，后面的数就转到循环里去处理。
比如处理 125 的时候，先减去 $121$，剩下 $25$，再去处理 $25$，然后再减 $9$，最终剩下 $4$，再减 $4$，最终 $0$。每一步都减去一个平方数，直到剩下的全是 0。 在这个过程中，你可能会发现有些数字需求尝试不同的组合。
比如 1000 这个数，第一个数可能是 $31^2=961$，剩下 $39$；也可能是 $30^2=900$，剩下 $100$。
这时候就得看剩下的是否能完美凑成。
要是第一种方案不中，那就试试第二种。
这种尝试的过程，实际上就是穷举的过程，只不过每一轮尝试的范围都合法了。 最终总结一下，四平方和定理在计算机里的实现，核心就是不断减去尽可能大的平方数，直到最终剩下的全是 0。
这个过程不需求特别复杂的算法，只需求一个优雅的遍历和排序就行的。别看听起来好办，但要想写出高效、流畅的代码，还得注意边界情况和特殊情况。
毕竟，数学公式是死的，但实际运行的代码才是活的，有时候连 0 也要像人一样，分得清轻重缓急才行。