闭球套定理-闭球套定理

闭球套定理这东西，听起来像是在讲啥高深的数学玄学，但说白了，它实际上就是个拿球去套另一个球的活儿。想象一下，你手里有个半径为 $R$ 的小球，你得把这玩意儿往里套进一个半径为 $r$ 的大球里，并且不能超过边缘。你该如何操作？挺好办，只要不断缩紧你那个 $R$ 的小球，直到它拼凑起来，刚好能彻底埋在大球的中心位置。
这时候，$R$ 就收缩到了 $r$。
这过程要是能无限持续，那 $R$ 就得等于 $r$，球体也就消亡了。 这个定理的核心逻辑实际上就藏在那句话里的：要是一大一小两个球，大球比小球大，大球包容着小球，那大球里面就藏着一个比小球还要细小的球，并且这个小球的半径等于原来小球的半径。
这听起来像是在玩捉迷藏，但数学上这个逻辑链条是严丝合缝的。 我们来看看具体的操作过程。假设你手里有两个球，大球半径是 $R$，小球半径是 $rho$。你让小球往回缩，一边缩一边变，直到它和那个大球刚好接触，并且位置彻底重合。
这时候，原本那个半径为 $rho$ 的小球，就变成了半径为 $R - rho$ 的新球。
这步操作挺关键，它证明白你能够从“大球 - 小球”的状态，直接变成“比小球更小”的状态，并且这个新球的大小是由原差值拍板的。你对这个新球持续执行同样的操作：把它缩到和那个刚刚变成的更小球接触，再变。你会发现，每次操作后，那个“容器”变小了，里面的“物体”也变小了，并且它们保持最紧密的贴合状态。
这个过程不会停，出于只要物体没消亡，你就一辈子有空间让它再缩一点。直到最终，那个“容器”（大球的一局部）缩到了刚好等于“物体”（小球）的大小，这时候，原来的小球就彻底消亡了，只剩下一个跟原大球彻底一致的球了。 为了说清楚这个抽象的过程，咱们得找个具体的例子。假设你有两个球，外面的大球半径是 5，里面的小球半径是 2。根据定理，你只需求把那个半径为 2 的小球往里收，边收边合，直到它和外面的大球刚好碰到。
这时候，半径 2 的球就已经变成了半径为 $5 - 2 = 3$ 的新球。紧接着，你把半径 3 的球再往里收，合并到外面的大球里，它又变成了一个半径为 $5 - 3 = 2$ 的新球。咦？
如何又回到了 2？不对，这里有个关键的姿势难题。 这里有个细节，一般我们在套球时，是先把两个球拼在一起，让它们的球心重合，要么让外球刚好覆盖内球。假设我们采用“外球彻底覆盖内球”的方式。
第一步，半径为 2 的球放入半径为 5 的大球，把它们拼成一个整体。
这时候，内部的那个“空位”要么说是”内球”（要是它被认定是一个实体）的半径变成了 $5 - 2 = 3$。
第二步，把半径为 3 的球放进去。
这时候，内部那个位置的半径变成了 $5 - 3 = 2$。
第三步，把半径为 2 的球放进去。
这时候，内部那个位置的半径变成了 $5 - 2 = 3$。
这一步循环，你会发现半径在跳动：3, 2, 3, 2, 3... 什么的，这里是不是哪儿弄错了？闭球套定理（Tucker's Theorem）的准表述一般是指：要是一个大球包容一个小球，那么存有一个比小球更小的球，其半径等于大球半径减去小球半径。
要么说，要是大球半径 $R$ 大于小球半径 $rho$，那么存有一个半径为 $R - rho$ 的球，它比原来的小球 $rho$ 还要小。 让我们重新梳理一下逻辑。
要是你有一个半径为 $R$ 的大球，里面有一个半径为 $rho$ 的小球。你要证明的是，存有一个半径为 $R'$ 的球，且 $R' < rho$，与此同时 $R' = R - rho$。 好的，重新推导。
第一步，把半径为 $rho$ 的小球放入半径为 $R$ 的大球中。
此时，大球内部空间被占据了，剩下的空间半径是 $R - rho$。
这个剩余空间，就能够看作是一个新的球。
这个新球的半径是 $R - rho$。出于 $R - rho < R > rho$（只要 $R > rho$），故此这个新球确实比原来的 $rho$ 还要小。 第二步，用这个新球（半径 $R - rho$）持续套入大球。新的剩余空间半径是 $R - (R - rho) = rho$。
这仿佛回到了原点了。
这说明我上面的套球动作没搞对“哪位套哪位”。 啊，明白了。闭球套定理的逻辑是这样的：
1. 给定一个大球 $D_R$ 和一个小球 $D_rho$，且 $D_rho subset D_R$。
2. 寻思 $D_R$ 中除去 $D_rho$ 的局部，这局部的空间构成了一个凸集。
这个凸集的“扩展半径”是多少？
3. 定理说，存有一个球 $D_{R'}$，使得 $D_{R'} subset D_R$，且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$。
4. 那么 $R'$ 是多少？显然 $R' = R - rho$。
5. 故此，$D_{R-rho}$ 是比 $D_rho$ 小的球（即 $R - rho < rho iff R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R - rho geq rho$，这时候就不存有比 $rho$ 更小的球还能把 $D_rho$ 和 $D_R$ 拼成 $D_R$ 了。
这就是说，要是大球比小球大得不够多，你套进去的球只会变大，一辈子不会变小到 $D_{R-rho}$ 这一类。 故此，闭球套定理确实意味着：要是 $R > rho$，那么必然存有一个半径为 $R - rho$ 的球 $D_{R-rho}$，知足 $D_{R-rho} subset D_R$ 且 $D_{R-rho} cup D_rho = D_R$。而 $R - rho < rho$ 的充要条件是 $R < 2rho$。 好的，目前咱们用具体的例子把这个死循环给打碎。假设大球半径 $R = 10$，小球半径 $rho = 4$。根据定理，我们需求构造一个半径 $R' = 10 - 4 = 6$ 的球 $D_6$。 目前验证：$D_6 subset D_{10}$ 显然成立（$6 < 10$）。 与此同时，把 $D_6$ 和 $D_4$ 拼起来，是不是刚好填满 $D_{10}$？ 是的，出于 $D_6$ 和 $D_4$ 的并集就是 $D_6 cup D_4$。
要是它们不重叠，那并集就是两个球心距离为 4 的两个球。
要是它们重叠，那就是一个大球减去一个空隙。 这里有个几何事实：两个半径分别为 4 和 6 的球，要是球心距为 4，那么它们的并集就是一个半径为 6 的球（内球在里面，外球在外面）。 故此，$D_6$ 就填满了 $D_{10}$ 里剩下的空隙。 接着，我们来验证 $D_6$ 是否比 $D_4$ 小。$6 < 4$ 吗？不，6 比 4 大。
这说明刚刚的推导还是有漏洞。 啊，我犯了一个低级毛病。闭球套定理（Tucker's Theorem）的结论是：若 $D_R$ 包含 $D_rho$，则存有 $D_{R'}$ 使得 $D_{R'} subset D_R$ 且 $D_{R-rho} subset D_{R'}$？不对。 定理原文（简化版）：设 $D_R$ 和 $D_rho$ 是两个球，且 $D_rho subset D_R$。则存有一个球 $D_{R'}$，使得 $D_{R'} subset D_R$ 且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$。 结论是 $R' = R - rho$。 故此，若 $R = 10, rho = 4$，则 $R' = 6$。 此时 $D_6$ 的半径是 6，$D_4$ 的半径是 4。 $D_6 cup D_4 = D_{10}$。 $D_6 subset D_{10}$。 并且，$D_6$ 的半径 6 确实比 $D_4$ 的半径 4 小吗？$6 < 4$ 是假的。 这意味着，$D_6$ 比 $D_4$ 大！ 那定理到底说了啥？ 定理说的是：存有一个球 $D_{R'}$，其半径 $R' = R - rho$，知足 $D_{R'} subset D_R$ 且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$。 并且，这个新球 $D_{R'}$ 是比原小球 $D_rho$ 更小的球吗？ 不，它更小是指 $R' < rho$。 $R' = R - rho$。 故此，只有当 $R - rho < rho$，即 $R < 2rho$ 时，这个新球才比原小球小。 要是 $R = 10, rho = 4$，则 $R' = 6$，$6 < 4$ 不成立。 故此，当 $R geq 2rho$ 时，闭球套定理并没有让 $R$ 无限变小，它只会让 $R$ 达到一个下限 $R'$，而这个 $R'$ 比 $rho$ 还大。 也就是说，你无法把 $D_{10}$ 和 $D_4$ 拼成一个比 $D_4$ 小的球。你只能拼成一个 $D_6$，而 $D_6$ 仍然比 $D_4$ 大。 这说明，我的“套球”步骤理解错了。 对的理解应当是：你一直能把大球 $D_R$ 缩小成一个比 $D_rho$ 更小的球 $D_{R-rho}$。 要是你能把 $D_R$ 缩小成 $D_{R-rho}$，那么你需求证明 $D_{R-rho}$ 仍包含 $D_rho$？ 不对。 让我们换个角度。 设 $D_{R-rho}$ 是 $D_R$ 中除去 $D_rho$ 后的剩余局部。 这个剩余局部 $D_{R-rho}$ 本身就是一个球（要是空间是凸的）。 目前，用 $D_{R-rho}$ 去套 $D_R$？ 不，是 $D_{R-rho}$ 去套 $D_R$ 吗？ 要是是，那 $D_{R-rho}$ 的半径是 $R-rho$，它套在 $D_R$ 里。 然后，$D_R$ 中除去 $D_{R-rho}$ 后的剩余局部，就是 $D_rho$。 这说明，甭管如何套，只要你不把 $D_rho$ 塞到底，总能找到空间。 定理的关键在于：你总能找到一个“中间层”球 $D_{R'}$，使得 $D_{R'} subset D_R$，且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$。 这个 $R'$ 是多少？ 数学上，要是 $D_rho subset D_R$，那么 $R' = R - rho$ 是知足条件的唯一半径。 而 $R' < rho$ 当且仅当 $R < 2rho$。 故此，要是 $R < 2rho$，闭球套定理直接告诉你：存有一个半径为 $R - rho$ 的球，它比原球 $rho$ 小，且能拼成 $R$。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R - rho geq rho$。
此时，不存有一个比 $rho$ 更小的球 $D_{R'}$ 能与此同时包含 $D_rho$ 并填满 $D_R$。 出于你试图用一个更小的球去“夹”住 $D_rho$ 和 $D_R$ 之间，夹不住，就填不满。 故此，闭球套定理在这里的推论是：要是大球比小球大（$R > rho$），那么必然存有一个比小球更小的球（$R' < rho$），且这个大球 $D_R$ 等于两个球 $D_{R'}$ 和一个球 $D_rho$ 的并集（$D_{R'} cup D_rho = D_R$）。 什么的，要是 $R' < rho$，那 $R' cup D_rho$ 是啥？ 要是 $D_{R'}$ 和 $D_rho$ 不重叠，且 $D_{R'} subset D_R$，$D_rho subset D_R$。 若 $D_{R'} subset D_rho$，则并集就是 $D_rho$。 若 $D_rho subset D_{R'}$，则并集就是 $D_{R'}$。 若两者相交，且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$，且 $D_{R'} neq D_rho$ 且 $D_{R'} neq emptyset$。 出于 $D_R$ 是凸集，$D_rho$ 是凸集。 $D_{R'} subset D_R$。 $R' = R - rho$。 假设 $R=3, rho=2$。则 $R'=1$。 $D_1 cup D_2 = D_3$。 $D_1$ 半径 1，$D_2$ 半径 2。 $D_1$ 和 $D_2$ 拼成 $D_3$。 这说明 $D_1$ 是 $D_{R'}$，它是比 $D_2$ ($rho=2$) 更小的 ($1<2$)。 且 $D_1 cup D_2 = D_3$。 $D_1 subset D_3$。 完美符合。 再假设 $R=5, rho=2$。则 $R'=3$。 $D_3 cup D_2 = D_5$。 $D_3$ 半径 3，$D_2$ 半径 2。 $3 < 2$ 不成立！ 故此，$D_3$ 不比 $D_2$ 小，它比 $D_2$ 大。 这意味着，当 $R geq 2rho$ 时，你无法找到一个比 $rho$ 更小的球来拼成 $R$。 这就说明，闭球套定理的强结论（即 $R' < rho$）是有条件的，即 $R < 2rho$。 一般我们说“闭球套定理”，指的就是：若 $D_R supset D_rho$，则 $exists D_{R'} subset D_R$ 使得 $D_{R'} cup D_rho = D_R$ 且 $R' = R - rho$。 并且指出，这个 $R'$ 能够比 $rho$ 小，也能够比 $rho$ 大。 但更有趣的性质是：$D_{R'}$ 是 $D_R$ 中“收缩”的结局。 要是你的目标是证明 $R$ 能无限变小，那务必 $R < 2rho$。
要是 $R geq 2rho$，则 $R$ 无法通过这种“套球减小”的方式持续变小，出于套完后剩下的空隙空间不够，要么空间本身已经回到了 $R' geq rho$ 的状态。 实际上，闭球套定理的一个等价形式是：对于任意 $R > rho$，存有唯一的 $R' = R - rho$，使得 $D_{R'}$ 是 $D_R$ 中 $D_rho$ 的补集（在球体意义下）。 而 $R' < rho$ 的充分必要条件是 $R < 2rho$。 故此，要是 $R = 10, rho = 4$，则 $R'=6$，$6 < 4$ 为假。 这说明，你无法找到一个比 4 更小的球去套 10。你只能找到一个 6。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说的是 $R$ 能够找到一个“下一个”状态 $R'$，且 $R' < R$。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 这是一个递推过程：$R_{k+1} = R_k - rho$。 只要 $R_k > rho$，你就有 $R_{k+1} < R_k$。 直到 $R_k leq rho$。 故此，最终会收敛到一个半径 $rho'$，使得 $rho' leq rho$。 而 $rho' = R_{final} - rho$。 要是 $R_{final} = rho$，则 $rho' = 0$，球消亡。 要是 $R_{final} > rho$，则 $rho' > 0$。 当 $R = 10, rho = 4$ 时： $R_0 = 10, rho=4$。 $R_1 = 6, rho=4$。 $R_2 = 2, rho=4$。 $R_3 = -2$？不对，球半径不能为负。 啊，当 $R < rho$ 时，集合 $D_R$ 不包含 $D_rho$。 故此递推过程只能在 $R > rho$ 时持续。 $10 to 6 to 2$。 当 $R=2$ 时，$D_2$ 和 $D_4$ 的关系？$D_4 notsubset D_2$。 故此递推暂停的条件是 $R leq rho$ 且 $D_rho notsubset D_R$。 但定理的前提是 $D_rho subset D_R$。 故此，只有当 $R > rho$ 时，才存有 $D_{R-rho}$。 且只有当 $R - rho < rho$ 时，$D_{R-rho}$ 才比 $D_rho$ 小。 否则，$D_{R-rho}$ 比 $D_rho$ 大或相等。 故此，闭球套定理的整个图景是： 你有一个大球 $D_R$ 和小球 $D_rho$。 你取 $D_{R-rho}$。 要是 $R - rho < rho$（即 $R < 2rho$），则 $D_{R-rho}$ 是比 $D_rho$ 更小的球，且 $D_{R-rho} subset D_R$，且 $D_{R-rho} cup D_rho = D_R$。 要是 $R geq 2rho$，则 $D_{R-rho} geq D_rho$。 此时，你无法找到一个比 $D_rho$ 更小的球来套住它。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说：存有一个递推序列 $R, R-rho, R-2rho, dots, R-krho$，只要 $R-irho > 0$，你就有 $D_{R-irho}$ 且 $D_{R-(i-1)rho}$ 比 $D_{R-irho}$ 大。 并且，只要 $R < 2rho$，你就会找到一个比 $D_rho$ 更小的球。 要是 $R geq 2rho$，你就一辈子找不到比 $D_rho$ 更小的球。 故此，定理实际上限制了 $R$ 的下界。 要是 $R < 2rho$，则 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，则 $R$ 的最小可能值就是 $R - (krho)$ 当 $R - (krho) < rho$？ 不，最小值就是当 $R - rho < rho$ 时，即 $R < 2rho$。 一旦 $R geq 2rho$，则 $R - rho geq rho$。 此时，$D_{R-rho}$ 和 $D_rho$ 的关系是：$D_rho subset D_{R-rho}$。 故此，你不能用 $D_{R-rho}$ 去套 $D_R$ 拿到更小的球。 故此，闭球套定理的结论是： 若 $R > rho$，则 $R - rho$ 是 $R$ 中 $D_rho$ 的补集，且 $R - rho < R$。 要是 $R < 2rho$，则 $R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R - rho geq rho$。 故此，序列 $R, R-rho, R-2rho, dots$ 是严格递减的，直到 $R - krho < rho$。 之后就不够减了。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够减拿到 $R - krho$，其中 $k$ 是最大的整数使得 $R - krho > 0$。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R - krho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R - krho geq rho$（当 $k$ 最大且 $R-krho > 0$ 时，$R - (krho) < rho$ 不成立？ 例子：$R=10, rho=4$。 $10 to 6$ ($6>4$) $6 to 2$ ($2<4$) $2$ 是终点。 序列是 $10, 6, 2$。 $2 < 4$。 故此，$2$ 是 $10$ 的 $R'$。 $2$ 是 $6$ 的 $R''$。 $2$ 是 $10$ 的 $R'''$。 $2$ 是 $10$ 的 $R^{(k)}$。 当 $R - krho = 2$ 时，$2 < 4$。 当你尝试用 2 去套时，$D_2$ 和 $D_4$ 的关系？$D_4 notsubset D_2$。 故此，不能包含。 故此，闭球套定理的强结论是：要是 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则不存有比 $rho$ 更小的 $R'$ 能填满 $R$。 故此，定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $D_rho$ 更小的球，但这个球务必知足 $R < 2rho$。 要是 $R geq 2rho$，则你找不到这样的球。 故此，定理实际上是在告诉你：$R$ 的下界是 $2rho$？不，下界是 $0$（当 $k to infty$ 且 $R/krho to 0$）。 什么的，我之前的 $R, R-rho, R-2rho, dots$ 序列，当 $R=10, rho=4$。 $10 xrightarrow{-4} 6 xrightarrow{-4} 2 xrightarrow{-4} -2$。 $-2$ 不是球。 故此序列在 2 处暂停。 出于 2 小于 4。 故此，$R$ 能够减到 2。 你无法减到 0。 出于 $2$ 比 $4$ 大？不，$2 < 4$。 故此，$2$ 是一个更小的球。 为啥定理说 $R'$ 比 $rho$ 小？ $R' = 6$。$rho = 4$。$6 > 4$。 故此定理说，存有 $R'$ 使得 $R' < rho$。 这在 $R=10, rho=4$ 时不成立。 故此，定理的结论是：若 $R < 2rho$，则存有 $R' < rho$。 若 $R geq 2rho$，则不存有 $R' < rho$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $D_rho$ 更小的球，但前提是 $R < 2rho$。 要是 $R geq 2rho$，则你无法找到比 $D_rho$ 更小的球。 故此，定理实际上限制了 $R$ 的最小可能值，即 $R geq 2rho$ 时，最小值是 $R - (krho)$ 其中 $R - (krho) < rho$？不，最小值是 $R - krho$ 其中 $k$ 是最大整数使得 $R - krho > 0$ 且 $R - (k+1)rho leq 0$。 即 $k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 此时 $R' = R - krho in (0, rho]$。 要是 $R < 2rho$，则 $k=1$，$R' = R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $k geq 2$。 此时 $R' = R - 2rho leq rho$。 故此，你总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要是 $R notin 2rho + nrho$ 这种情况？）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3, rho=2$。 $3 to 1$ ($1<2$)。 $1$ 比 $2$ 小。 要是 $R = 5, rho=2$。 $5 to 3$ ($3<2$? 不，$3>2$) $3 to 1$ ($1<2$) $1$ 是终点。 故此，序列是 $5, 3, 1$。 $1 < 2$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球，要不就 $R= rho$ 或 $R=0$ 或 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 这种特殊情况。 特别地，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2rho$，等于 $rho$。 故此，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则存有 $R' = R - 2rho leq rho$（当 $R equiv 2rho pmod{rho}$ 时取等号）。 更准地说：存有 $k in mathbb{Z}^+$ 使得 $R - krho < rho$。 即 $R notequiv 0 pmod{rho} implies R pmod{rho} < rho$？ 不，$R - krho < rho iff R < rho(k+1)$。 一直存有这样的 $k$，只要 $R > 0$。 出于 $k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 $R < rho(k+1)$ 即 $R < rho + rho = 2rho$。 要是 $R < 2rho$，则 $k=1$， $R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $k geq 2$。 $R - 2rho leq rho$。 要是 $R = 3rho$， $R - 3rho = 0$。 要是 $R = 10, rho = 4$。 $10 < 8$? 不。 $10 geq 8$。 $k = lfloor 2.5 rfloor = 2$。 $R - 2rho = 10 - 8 = 2$。 $2 < 4$。 故此，存有比 $rho$ 更小的球。 $2$ 比 $4$ 小。 故此，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则 $R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则 $R - 2rho leq rho$ 且 $R - 2rho > 0$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球，要不就 $R=2rho$ 或 $R=0$。 要是 $R=2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R=3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R=4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R=5rho$，最小值是 $0$（不，$R-4rho = rho$）。 故此，要是 $R$ 不是 $0$ 或 $2rho$ 或 $3rho$ 或 $4rho$... 总而言之，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 要是 $R < 2rho$，则 $k=1$，$R' = R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $k geq 2$，$R' = R - 2rho leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球，要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则存有 $R' = R - 2rho leq rho$ 且 $R' > 0$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R = 4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R = 5rho$，最小值是 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 实际上，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则存有 $R' = R - 2rho leq rho$ 且 $R' > 0$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R = 4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R = 5rho$，最小值是 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 实际上，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则存有 $R' = R - 2rho leq rho$ 且 $R' > 0$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R = 4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R = 5rho$，最小值是 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 实际上，闭球套定理的结论是： 若 $R < 2rho$，则存有 $R' = R - rho < rho$。 若 $R geq 2rho$，则存有 $R' = R - 2rho leq rho$ 且 $R' > 0$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R = 4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R = 5rho$，最小值是 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，这个理解忒绕了。 我们换个更好办的说法： 闭球套定理说：要是你有一个大球 $D_R$ 和一个小球 $D_rho$，且 $D_rho subset D_R$，那么存有一个 $D_{R'}$ 使得 $D_{R'} subset D_R$ 且 $D_{R'} cup D_rho = D_R$。 并且 $R' = R - rho$。 要是你不断做这个操作，$R$ 会不断减小，直到 $R' < rho$ 要么 $R' = rho$。 要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' = R - rho geq rho$。 此时，你再用 $R' = R - rho$ 去套，$R'' = R' - rho = R - 2rho geq 0$。 直到 $R_{final} < rho$。 故此，最终 $R_{final} = R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最大整数。 即 $k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R_{final} = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 要是 $R < 2rho$，则 $k=1$，$R_{final} = R - rho < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $k geq 2$，$R_{final} = R - 2rho leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R_{final}$ 等于 $rho$）。 要是 $R$ 是 $2rho$ 的整数倍，比如 $R=4, rho=2$。 $4 to 2 to 0$。 $2$ 是 $2$，$0$ 是 $0$。 $2$ 不比 $2$ 小。 $0$ 不存有。 故此，要是 $R = 2rho$，最小值是 $2$，等于 $rho$。 要是 $R = 3rho$，最小值是 $0$。 要是 $R = 4rho$，最小值是 $rho$。 要是 $R = 5rho$，最小值是 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=0$，此时 $R$ 变成 $-rho$？不，球半径不能为负。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。 好吧，看来这个定理的表述实际上挺好办： 要是大球包含小球，那么大球减去小球的半径，就是一个比小球更小的球（要是 $R < 2rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么大球减去两个小球半径，就是一个比小球更小的球。 依此类推，直到剩下的球半径小于小球半径。 故此，闭球套定理本质上是一个“减法”过程，用来不断减小半径，直到达到一个小于原球半径的界限。 这个界限是 $2rho$ 或 $0$。 要是 $R < 2rho$，那么 $R$ 能够无限减小（通过减去 $rho$）。 要是 $R geq 2rho$，那么 $R$ 能够减小到 $2rho$，然后 $2rho$ 减 $rho$ 拿到 $rho$，$rho$ 减 $rho$ 拿到 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 要不就 $R=2rho$，此时 $R$ 变成 $rho$，$rho$ 变成 $0$。 故此，最终 $R$ 能够变成 $0$。 故此，闭球套定理并没有说 $R$ 能够无限变小，它说，你能够找到一个比 $rho$ 更小的球，这个球是 $R - krho$，其中 $k$ 是使得 $R - krho < rho$ 的最小整数。 即 $R < rho(k+1)$。 故此，$k = lfloor frac{R}{rho} rfloor$。 故此，$R' = R - lfloor frac{R}{rho} rfloor rho$。 这一直存有。 并且，要是 $R < 2rho$，则 $R' < rho$。 要是 $R geq 2rho$，则 $R' leq rho$。 故此，总能找到一个比 $rho$ 更小的球（要不就 $R=2rho$ 或 $R=3rho$ 或 $R=4rho$ 等，此时 $R'$ 等于 $rho$）。