两边夹定理求极限例题-夹逼定理解极限

夹逼法：让 $x$ 在两个“坏人”手里跑 咱们不整那些虚头巴脑的理论铺垫，直接上战场。
要是想算一个极限，最稳妥的办法就是把$x$死死地压住，让它只能往一个方向钻。
这就是著名的“夹逼定理”，要么叫“三明治法则”。 举个最经典的例子：我想算 $lim_{x to 0} sin x$。
要是直接套公式，你得知道 $sin x$ 在 $x$ 接近 0 时，它的值就盯着 $x$ 本身。别急，我们能够把它上下“夹”起来。
既然 $sin x$ 是奇函数，那它关于原点对称，这就意味着 $sin x$ 和 $-sin x$ 与此同时趋向于 0。
这就把 $x$ 给扁了，逼着它只能去死一个方向。 实际上啊，大量函数都是“两头尖、中间胖”的。
比如 $sin x$ 要么 $tan x$，当 $x$ 离原点越近，它们越接近平直线 $y=x$。
这不就是完美的模型吗？ 再看一个略微有点反直觉的案例。假设我们要算 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$。大量人第一反应是求导数，认定忒好办了，是不是有点偷懒？别急，我们换个思路。
既然分子分母都有 $x$，那我们就把分母拆开来看。当 $x$ 是一个挺小的数时，$sin x$ 在 $x$ 的“肩膀”上，也就是 $1$。
这彻底没毛病，要不就 $x$ 接近 $pi$，但题目给的是 $x to 0$，那是挺保险的。 什么的，这仿佛有点忒直接了。我们再用个更坏一点的例子。
看看 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x$。
这个极限等于 $e$，是数学里最神圣的常数之一。
要是用代数变形（取对数、求导、还原），步骤多得像在数台阶。但用夹逼定理呢？ 当 $x$ 趋向无穷大时，$1 + frac{1}{x}$ 会无限接近于 $1$，但一辈子大于 $1$。也就是 $(1 + frac{1}{x}) ge 1$。
那它的 $x$ 次方呢？$(1 + frac{1}{x})^x$ 显然 $ge 1$。但这还不够，我们要的是确定它不能大于某个数，也不能小于某个数。 这时候，我们能够构造两个“夹子”。
既然是指数增长，那底数肯定比 1 大。再找一个大一点的底数，比如 $2$。当 $x$ 充足大时，$1 + frac{1}{x}$ 简直等于 $1$，但它肯定小于 $1.1$（只要 $x > 100$）。
那它们的 $x$ 次方呢？$2^x$ 会超过 $1.1^x$ 大量。 这就尴尬了，底数一个接近 1，一个接近 2。
如何夹？实际上这里有个小技巧。我们能够把原式写成 $(1 + frac{1}{x})^x$ 和 $frac{1}{2} cdot 2^x$ 的关系？不对，方向反了。 让我们重新来。我们要证明 $1 < lim (1 + frac{1}{x})^x < 2$。 当 $x$ 挺大时，$1 + frac{1}{x}$ 是个大于 $1$ 的数。 那 $2$ 呢？$2$ 也是个大于 $1$ 的数。 要是底数从小往大，指数从小往大……哎，这个逻辑有点乱。 实际上，标准的夹逼法在这个地方是： 我们要找两个序列 $a_n$ 和 $b_n$，使得 $a_n le (1 + frac{1}{n})^n le b_n$，且 $a_n to 1, b_n to 2$。 这就够了！只要两边都死死挤在 1 和 2 中间，中间的 $e$ 就逃不掉了。 故此，对于任何函数 $f(x)$，只要当 $x$ 趋向某处时，存有两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$，知足 $g(x) le f(x) le h(x)$，并且 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都趋向于同一个常数 $L$，那么 $f(x)$ 的极限也一定是 $L$。 这听起来忒抽象了，实际上就是一条铁律：中间的东西，跑不掉，跑不赢，跑不逃，只能跟着两边的方向走。 回到原题 目前，我们回到那个令无数人垂涎的 $lim_{x to 0} sin x$。 第一步，观察 $x$ 在 0 的左右两边形成了啥。 当 $x$ 是正数时，比如 $x = 0.1$，$sin 0.1 approx 0.100167$。它比 $x$ 大一点点。 当 $x$ 是负数时，比如 $x = -0.1$，$sin(-0.1) approx -0.099833$。它也比 $x$ 小一点（绝对值接近 $x$）。 这就挺有意思了。$sin x$ 的行为就像是 $x$ 的“误差修正”。 当 $x > 0$，$sin x > x$，可是切线切得忒狠了，故此 $sin x$ 一直在 $x$ 的“上方”一点点，也就是 $x$ 的 $0$ 到 $0.001$ 之间。 当 $x < 0$，$sin x < x$，同样是在 $x$ 的“下方”一点点，也就是 $-0.001$ 到 $0$ 之间。 这两段区间有个共同的特征：它们都彻底包含在 $(-1, 1)$ 这个挺小的窗口里。 具体来说，对于任意小的 $epsilon$，只要 $|x| < frac{pi}{2}$，就有 $|sin x| < |x|$。 当 $x to 0$ 时，$x$ 趋向于 0。
既然 $|sin x| < |x|$ 且 $|x| to 0$，那 $|sin x|$ 也得趋向于 0。 同理，$sin x$ 是奇函数，符号跟 $x$ 一样。
既然 $x to 0$ 时 $x$ 的模长趋于 0，那 $sin x$ 的模长也趋于 0。模长为 0，那就是 0。 这就搞定了。
没有用洛必达法则，没有用泰勒公式，没有画复杂的图。就是咱俩，把自己死死夹在 0 和 0 之间。 再聊几个“花式”夹逼 数学题里，高手最喜爱玩花样。
有时候直接夹逼忒费劲，那就“声东击西”，换个思路。 比如，求 $lim_{x to 0} sin x / x$。 一般人直接写 $frac{sin x}{x} = cos frac{x}{2}$？不对，那是错的。 应当是 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$。 为啥？ 寻思 $x$ 和 $sin x$ 的差值。$|sin x| le |x|$。 两边同除以 $|x|$，得 $frac{|sin x|}{|x|} le 1$。 取极限 $x to 0$，左边就是 1，右边就是 1。 这说明 $sin x / x$ 的值一辈子在 0 到 1 之间，且越来越靠近 1。 这就叫“左右夹逼”。 还有一个更怪的。
比如算 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x^2})^x$。 我们知道 $(1 + frac{1}{x})^x$ 趋向于 $e$。 而 $(1 + frac{1}{x^2})^x = [(1 + frac{1}{x})^x]^{x/(x^2+1)}$？这指数忒复杂了。 还是用好办的不等式。 当 $x > 1$ 时，$x^2 > x$，故此 $frac{1}{x^2} < frac{1}{x}$。 那么 $1 + frac{1}{x^2} < 1 + frac{1}{x}$。 便 $(1 + frac{1}{x^2})^x < (1 + frac{1}{x})^x < e$。 哎什么的，右边是 $e$，没有限制。 那我们要找左边的上界。 当 $x$ 挺大时，$frac{1}{x^2}$ 简直等于 0。 那 $1 + frac{1}{x^2}$ 就接近 1。 那 $(1 + frac{1}{x^2})^x$ 呢？ 我们能够把它写成 $1 cdot (1 + frac{1}{x^2})^x$。 这就意味着它小于 $e$ 吗？不一定，出于上底小于 $e$ 的话，指数更大，结局可能超过 $e$ 的 $1/e$。 不对，我们要找的是小于某个数。 实际上这里有个陷阱。$(1 + frac{1}{x^2})^x$ 和 $e$ 的关系，能够用 $e$ 的定义来理解。 $e = lim (1 + frac{1}{n})^n$。 而 $(1 + frac{1}{x^2})^x$ 的底数比 $(1 + frac{1}{x})^x$ 小大量。 当 $x to infty$，底数趋近 1。 那上限就是 $e$ 吗？ 让我们试试 $x=1000$。$(1 + 0.0001)^{1000} approx 1.81$。$e approx 2.718$。 看来 $(1 + frac{1}{x^2})^x$ 确实小于 $e$。 如何证明的？ 出于 $(1 + frac{1}{x})^x < e$。 而 $(1 + frac{1}{x^2})^x = [(1 + frac{1}{x})^x]^{x/(x^2+1)}$。 当 $x$ 挺大时，$x/(x^2+1)$ 接近 0。 底数是个小于 $e$ 的数（比如 $2$），指数是个接近 0 的数（比如 $0.01$）。 $2^{0.01}$ 肯定小于 $e$。 这就证明白。 总结：心法大于技巧 用夹逼定理的时候，关键不是死算公式，而是找“路障”。 路障就是不等式。 比如我们要证明 $f(x)$ 在 $x to 0$ 时是 $0$。 就在 $0$ 和 $1$ 之间找一条线。 要是 $0 le f(x) le 1$，那极限自然就是 0。 只要我们能找到两个函数，$g(x)$ 和 $h(x)$，包围住 $f(x)$，且它们都趋向 0。 这就像给一个球套了两个橡胶圈，只要把橡胶圈慢慢压扁，让两个圈的中心重合在 0 点，中间的球就绕不动了。 最终再唠叨一句，夹逼定理是极限计算里的“万能钥匙”。别怕没直接解出来，只要两边都行不通，中间就没路。 只要两边都趋向 $L$，中间就趋向 $L$。 这是数学的残酷又可爱的真理。 做题的时候，算吧，别纠结中间那个数，只要别算错就行。 两边夹死了，答案自然就跑不掉。 这就是夹逼法的精髓：不用想，就看两边。 两边都指向同一个数，中间那个破事儿，也就平了。