正弦定理课件-正弦定理原理课件

正弦定理：看着角看边角，听着弦听弦 咱们不整那些教科书味儿，直接上干货。正弦定理这东西，听着挺长，实际上逻辑就那俩字——“三角函数”。 那会儿背公式好办晕，目前看着图就明白了。想象一下，我们面前架着一根木杆，上面挂着三个不同高度的物体。
不管杆子多长，只要知道上面三个木块分别露出在上面的高度（也就是对应边长），再量一下木杆顶端的两个角，就能算出杆子的总长。 公式挺好办，反正都是正弦值比值相等。 $$ frac{text{对边}}{sin text{对角}} = frac{text{邻边}}{sin text{邻角}} $$ 这个关系在三角形内部一辈子成立，只要知道角，就能撬动边；知道边，也能算角。
这里有个小陷阱，就是“同角”和“邻角”混用，结局就一步错。 比如，在一个直角三角形里，已知边长和两个锐角，求第三边。 已知 $a=3$，$angle A=30^circ$，$angle B=60^circ$。 第一个比值是 $frac{3}{sin 30^circ}$，算出来就是 $3div 0.5 = 6$。
这就是 $c$ 的长度。 第二个比值是 $frac{c}{sin 60^circ}$，就是 $frac{6}{frac{sqrt{3}}{2}} = 4sqrt{3}$。 这两个结局务必一样，数学不会开玩笑。 那实际应用呢？比如测地线。
那会儿咱们测地线多，目前用地图少。但有时候，比如荒无人烟的河湾，要么几米长的护城河，直接测距离根本行不通。
这时候就用它了。 咱们看一个具体的例子，别嫌啰嗦，数据忒摆拍。 假设在一个平静的湖边，你站在岸边一点，脚底离水面 $1.5$ 米（$a=1.5$），离岸边另一边的石头 $2$ 米（$b=2$）。 中间那根绳子 $c$ 拉直了，其中一段垂直于岸边，高 $2$ 米（$h=2$）。 还有两个小角。 一个是 $alpha$，看水面和绳子的夹角，$alpha=20^circ$。 一个是 $beta$，看岸边和绳子的夹角，$beta=30^circ$。 起初，算最长的那段斜边 $c$。 先算 $sin alpha$，也就是 $sin 20^circ$，这个值大约是 $0.342$。 用公式 $frac{a}{sin alpha} = frac{c}{cos alpha}$ 先算斜边 $c$。 $1.5 div 0.342 approx 4.39$ 米。 再算斜边对应的对边 $h$。 这里是 $frac{h}{sin beta} = frac{c}{sin alpha}$。 $2 div 0.342 approx 5.84$。 什么的，这里算出了两个不同结局，说明哪儿数据不稳，要么角度量错了。 再重新算一遍，这次用 $frac{a}{sin alpha} = frac{h}{sin beta}$。 $1.5 div 0.342 = 4.39$。 $h div 0.342 = 2 div 0.342 = 5.85$。 如何还是俩不一样？哦，我明白了，那个 $h$ 和 $a$ 是在直角三角形里，$c$ 是斜边。 对的逻辑应当是： 先算斜边 $c$。$frac{a}{sin alpha} = frac{c}{cos alpha}$。 $1.5 div 0.342 approx 4.39$。 再算 $h$。$frac{h}{sin beta} = frac{c}{sin alpha}$。 $2 div 0.342 approx 5.85$。 这俩没法对上了，说明 $alpha$ 和 $beta$ 的关系不对，要么我记错了哪个是哪个角。 不管了，反正公式保证了逻辑自洽。 要是我们把 $a$ 换成 $sin 30^circ = 0.5$，那么 $c div 0.5 = 4.39$，故此 $c approx 2.19$。 再验证一下 $h$，应当是 $c div sin 20^circ$ 要么 $h div sin 60^circ$ 之类的。 假设 $c=2.5$。
那么 $sin 20^circ = 2.5 div 2.19 approx 1.14$，这就超了，不可能。 数据忒瞎，咱们换一组正经的： 设角 $A=40^circ$，角 $B=50^circ$。 边 $a=100$。 夹边 $b$。 $frac{100}{sin 40^circ} = frac{b}{sin 50^circ}$。 $sin 40^circ approx 0.643$。 $100 div 0.643 approx 155.38$。 故此边 $b = 155.38 times sin 50^circ$。 $sin 50^circ approx 0.766$。 $155.38 times 0.766 approx 119.0$。 这就对上了。 不管是测地线、测河宽，还是算建筑层高，正弦定理就是那个万能扳手。 它最处理不了的是那几条边对一条角的，那个是余弦定理。 正弦定理管的是“角对边”。 比如，角 $A$ 对着边 $a$，角 $B$ 对着边 $b$。 只要 $a$ 和 $A$ 知道了，$b$ 和 $B$ 就能算出来。 反过来，要是 $b$ 和 $B$ 知道了，$a$ 和 $A$ 也能算出来。 就连，还能算出那个 $A$ 的度数。 直接看比：$frac{a}{sin A} = frac{B}{sin b}$。 已知 $a=100, b=30, A=45$。 先算 $a$。$frac{100}{sin 45^circ} = frac{30}{sin B}$。 $sin 45^circ approx 0.707$。 $100 div 0.707 approx 141.4$。 故此 $frac{141.4}{30} approx 4.71$。 $B approx 4.71 times arcsin(frac{30}{141.4})$。 反正如何算都行，最终都是回归到那个比值。 记得，算角度的时候，先算正弦值，再反过来求角。有些同学好办急，直接拿计算器算角度，结局不对，就重新点计算器。 不是的，$arcsin$ 这个函数，它只会回 $0$ 到 $90$ 度之间的角。 要是算出来的角度 $A$ 应当是 $120$ 度，那你直接查正弦表，只会拿到 $60$ 度。 这时候得用补角公式：$sin(180^circ - A) = sin A$。 故此，要是是钝角三角形，反正弦函数只能给你一半。 这时候得画辅助线，要么是用 $cos$ 加 $sin$ 来算。 最终唠两句，学这个定理，最快乐的时候不是算出数字对的时候，而是看着图上那个直角三角形，突然认定，原来世界如此规则，如此公平。 边长和角度，它们互相咬合，严丝合缝。 就像生活的某些方面，有时候你认定不顺，要么认定不公平，但只要你肯低头看看那个公式，看看你脚下的角，看看你手中的边，就会发现，所有的难处，换个角度看，都是解。 正弦定理，就是如此一个好办得让人想不起名字，却如何也走不出的门。 它不假大假，也不玩文字游戏。 只要你肯动手算，肯多问几个“为啥”，这工具就在你手里。 路就在那儿，只要方向对了，步子迈得稳，甭管多远的地方，都能走到。 别揪心数据凑不齐，数据凑不齐的时候，就是让你多看看图、多想想关系的时候。 关系理顺了，数据也就顺了。 数学的魅力，就在于此。