角平分线性质定理证明-分角平分线定理证

我们不用那么拘谨。角平分线这东西，实际上就盯着那个“平分”二字。想象一下，你有一把尺子，把角的两边夹着，尺子中间那一段。根据定义，角平分线就是让这两段长度彻底一样的一段射线。
这听起来挺好办，但在实际画图要么做题时，如何让图看起来像被“平分”了，如何让线段重合，这就得动点脑筋了。 别急着画垂直符号，也别急着用全等三角形去套公式。我们试着从“距离相等”这个直觉出发。
你看，点 P 在角平分线上，到角两边的距离实际上是同一个数。
这个距离是啥？就是垂线段嘛。
要是 P 点到两边的距离相等，那 P 点肯定在角平分线上。
反过来，要是 P 在角平分线上，过 P 点做两边的垂线，这两条线会自然长度相等。
这就像两个人站在步行的路中间，他们离左右两边路边的距离肯定是一样的，对吧？这就叫“等角对等距”。 我们要证它是“平分线”，也就是证明分出来的两段相等。
一般我们会拿一条线段去量这条线，要么拿一个图形去跟它比。拿线段比吧，要是 P 在平分线上，PA 这一边和 PB 这一边肯定相等。
如何比出来呢？这就得靠辅助线了。 画辅助线是个好主意。从点 P 分别往角的两边做垂线。
这两条垂线别看不在一个平面里（要不就这个角是平角，那就是直线了），但在立体几何里，它们长度肯定一样。目前，我们拿一个直角三角形和另一个直角三角形去拼。 比如，我们看一个典型的三角形 ABC，AP 是角平分线。我们在外部补一个点 D，让三角形 APD 是个直角三角形，直角在 P 点。
然后过 C 点做 AD 的垂线，垂足为 E。
这时候，三角形 ADC 和三角形 ADB 仿佛就全等了？不对，这是 SAS 吗？不彻底是。 换个思路，还是回到“距离”这个核心。假设我们要证明 P 到 AB 的距离和到 AC 的距离相等。过 P 作 AB 的垂线 PD，作 AC 的垂线 PE。根据角平分线的性质定理（这是我们要证的结论，但在逻辑推导中，我们实际上是从性质出发，然后推导出平分线的存有性要么反之）。 什么的，题目要求证明“角平分线性质定理”。
一般这个定理是指：角平分线上的点到角两边的距离相等。
那我要如何证？ 好，我们就直接证这个。设角为 A。射线 AP 平分它。我们要证，要是 P 在 AP 上，那么 P 到 AB 的垂线段长度等于 P 到 AC 的垂线段长度。 过 P 作 PM ⊥ AB 于 M，作 PN ⊥ AC 于 N。 在直角三角形 APM 和 APN 中。 起初，∠PAM 和 ∠PAN 是同一个角，出于 AP 平分角 A。 ∠AMP 和 ∠ANP 都是 90 度。 这还不够，SSA 没法证全等。我们需求第三组条件。 啊，想到了。我们能够利用三角形全等的判定，要么构造全等。 要是直接用 SSS，我们需求知道 PA=PA（公共边），PM=PN（目标），但我们还没证出来。 要是用 SAS，我们需求∠APM = ∠APN。
这个角是多少度？它是余角。 在直角三角形 APM 中，∠APM + ∠PAM = 90°。 在直角三角形 APN 中，∠APN + ∠PAN = 90°。 出于 ∠PAM = ∠PAN，故此 ∠APM = ∠APN。 这就构成了 ASA（角边角）！ △APM ≌ △APN。 既然全等，那么对应边 PM = PN。 这就证出来了！ 这个证明过程实际上挺好办，就是利用互余关系找出相等的角，再用 ASA 证明全等，最终得出距离相等。
不需求复杂的旋转要么翻折，也不需求特意去构造“角平分线”这个对象，只要设定角平分线，利用角度关系就能圆回来。 为了把话说得更接地气，我们举个具体的例子。 假设有一个三角形，顶角是 60 度。角平分线把这个 60 度分成了两个 30 度。 目前有一条线段，起点是角平分线顶点，终点在角的一边上。 要是我们画一条垂直于另一边，这条垂直线段的长度是不是就等于起点到另一边的距离？ 自然。 比如，我们有一个标准的 30-60-90 三角形。顶角 60 度，底角 30 度。 角平分线把顶角分成 30 度、30 度。 目前我们在角平分线上取一个点 P。 P 到左边 30 度边的距离是 h1。 P 到右边 30 度边的距离是 h2。 根据刚刚的证明，h1 务必等于 h2。 如何看图？ 想象把角平分线放平，往两边各画一条垂直线。你会发现这两条线重合在一条直线上。 这条直线的长度就是 P 到两边的距离。 而这条直线和角平分线本身，构成了一个一直角三角形。 在这个小三角形里，两个锐角都是 30 度。 30 度角所对的直角边，也就是 P 到两边的距离，等于斜边（要是斜边是切出来的一段）的一半。 故此，P 到两边的距离，就是角平分线被截得的那一段长度的一半。 这就跟“角平分线分对边成比例”那个定理有点类似，但这里是关于点的位置。 再细致一点。 设角平分线射线为 l。P 是 l 上一点。 过 P 作 l 的平行线，分别交两边于 M、N。 出于对顶角相等，内错角相等，故此 △PMN 是个等腰三角形，PM = PN。 而 P 到 M 的垂线段实际上就是 PM 本身吗？不对，PM 是斜边。 P 到 M 的垂线段是 P 到直线 MN 的距离，也就是 P 到角两边的距离。 什么的，要是 PM = PN，那 P 到两边的距离就是 PM 和 PN 在垂直方向上的投影？ 不对，辅助线做法要调整。 重新来。 过 P 作两条垂线，分别垂直于两边。 这两条垂线互相平行。 这两条垂线之间的距离是多少？ 出于 P 在这两条平行线中间，且 P 到两边距离相等，故此 P 就在这两条平行线的中位线上。 故此 P 到两边的距离，等于这两条平行线距离的一半。 而这两条平行线，实际上就是经过 P 点，且平行于角平分线方向的直线。 这就怪了。角平分线本身是角内部的一条线。 要是过 P 作两条平行线，这两条线平行于角平分线吗？ 不，这两条线垂直于两边，故此它们平行于角平分线。 对，垂直于角两边的两条直线，必然互相平行，并且这两条平行线的距离等于角平分线的长度（要是不寻思方向的话）。 不对，这两条平行线的距离是角平分线的长度。 而 P 点就在这条距离的中点上。 故此 P 到两边的距离，就是角平分线长度的一半。 这听起来有点绕，但逻辑是通的。 这就解释了为啥角平分线如此特殊。出于它把“距离”这个几何概念，转化成了“长度”这个可量化的概念。 具体来说，过角平分线上任意一点 P，作垂直于角两边的直线，这两条垂直线是平行的。 P 到角两边的距离，就是这两条平行线间的距离被 P 点平分。 而这两条平行线，实际上就是过 P 点且平行于角平分线的直线。 故此，P 到两边的距离 = 平行线间的距离 / 2 = 角平分线长度的一半。 哇，这个结论真有意思。角平分线上的点到两边的距离，等于角平分线被这两条垂线夹出来的那段长度的一半。 要是是这样，那为啥我们一般说角平分线“平分”角？ 出于角被分成了两个相等的小角。 而距离相等，是点 P 的性质。 这两个性质，一个是角的属性，一个是点的性质。 它们在角平分线这一条直线上完美地统一了。 我们回头再看看之前的全等证明。 △APM ≌ △APN。 对应边 PM = PN。 这里的 PM 和 PN 是直角边。 而 P 到角两边的距离，正是直角边 PM 和 PN。 既然 PM = PN，那距离自然相等。 这个证明过程，实际上就是告诉我们：角平分线上的点到角两边的距离，等于由该点向两边作垂线所构成的直角三角形的斜边（要是角平分线作为斜边的话，不对，PM 是直角边，AP 是斜边）。 △APM 中，∠PAM 是 30 度，∠AMP 是 90 度。 PM 是对边。 sin(30°) = PM / AP。 故此 PM = AP 0.5。 同理 PN = AP 0.5。 故此 PM = PN。 这就是距离相等。 而 AP 0.5 这个量，就是角平分线被“截”下来的那一段长度。 故此，距离等于角平分线的一半（在直角三角形中看）。 这比单纯的“相等”要具体得多。有了具体数值，才算真正“证”出来了。 我们举例说个数。 假设 ∠A = 60°。AP 是平分线，故此 ∠PAB = ∠PAC = 30°。 设 AP = 2。 在 Rt△APB 中，∠A = 30°，AP 是 30° 角对的直角边吗？不对。 AP 是斜边。30° 角对的直角边是 AB。 故此 AB = AP 0.5 = 1。 同理，AC = 1。 这是三角形 ABC 的性质。 目前看 P 点。 P 到 AB 的距离 PD。 在 Rt△APD 中，∠PAD = 30°，AP = 2。 sin(30°) = PD / AD？不对，sin(30°) = 对边 / 斜边 = PD / AP。 故此 PD = 2 0.5 = 1。 同理，PE = 1。 故此 PD = PE = 1。 这就证出来了。 并且这里有个巧合，PD = AP 0.5。 这说明角平分线上的点到两边的距离，正好是这个点到两边垂足之间的线段长度（即 AP 本身的一半，要是当作 AP 是直角边的话，但这里 AP 是斜边）。 确切地说，PD = 2 sin(30°) = 1。 而 AP = 2。 故此 PD = AP / 2。 这个关系在 30-60-90 三角形里贼稳固。 要是角度变了呢？ 比如 ∠A = 90°。AP 平分它，变成 45°。 PD = AP sin(45°) = AP (√2/2)。 PE = AP (√2/2)。 还是相等。 故此，这个结论是确实，并且跟角度大小无涉。 我们再来说说，这个定理有啥用？ 这个定理实际上是大量几何证明的基石。 比如在证明三角形内心要么外心的时候，我们时常用这个。 要么，在说“角平分线定理”的时候，有时候会混用。 角平分线定理说的是：角平分线分对边成比例。 比如在 △ABC 中，AD 平分 ∠A。 BD / CD = AB / AC。 这个定理如何用？ 要是我们要证某一点 P 也在角平分线上，我们一般先假设 P 在平分线上，然后证 PD = PE。 要是 P 在角平分线上，且 PD = PE，那 P 就在平分线上。
这是逆命题。 如何证逆命题？ 就是构造全等三角形。 过 P 作两边垂线 PD, PE。 证 PD = PE 即可。 证法不就是利用 SSS 或 SAS 证 △ABP' ≌ △ACP'？ 不对，是证 △PDB ≌ △PDC？ 需求 AB = AC 才行。 要是 AB ≠ AC，那 △PDB 和 △PDC 不一定全等。 故此角平分线定理和角平分线性质定理是不同的。 性质定理是“角平分线上点到两边距离相等”。 定理是“角平分线分对边成比例”。 性质定理用来干嘛？ 来证明“到角两边距离相等”这个性质本身？这不循环论证。 角平分线性质定理是用来证明“角平分线上的点到两边距离相等”的。 如何证明？ 一般是从“到两边距离相等”出发，证明“点在角平分线上”。
这是直线判定。 要么，反过来，已知点在角平分线上，证距离相等。 如何证？ 前面说的全等三角形法。 过 P 作 PM ⊥ AB, PN ⊥ AC。 证 PM = PN。 这就够了。 至于为啥在三角形里，这个点 P 到顶点的连线 AP 平分角？ 那是另一个难题。 要是 P 是外心要么内心，那 P 在角平分线上。 比如内心 I，到三边距离相等。 既然到两边距离相等，那说明 I 在角平分线上。 这构成了一个循环。 不过，作为几何性质，我们一般一方面接纳“角平分线上的点到两边距离相等”这个事实，另一方面利用它来推导其他结论，比如： 已知 P, Q 在角平分线上，PQ = 10。 过 P 作垂线 PM，过 Q 作垂线 QN。 PM = QN。 PM + QN = PQ = 10。 故此 2 PM = 10，PM = 5。 这是角平分线上的点到两边的距离等于线段长度的一半。 这是一个极实际上用的结论。 故此，总结一下。 角平分线性质定理，核心就是“距离相等”。 证明就是构造直角三角形，利用互余角相等，证得全等（要么利用正弦定义）。 至于数据，比如 30-60-90 三角形里，距离是边长的一半，这就是具体的数据支撑。 这个定理别看好办，但它是建立了几何图形中“位置”与“度量”关系的桥梁。 没有它，我们挺难直观地看到“平分”意味着“等距”。 就像绳子把角平分，绳子两端距离一样长。 这就是角平分线最直观的意义。 它把“角的平分”转化为了“点到两边等距”的几何意义。 反过来，要是一个点到两边等距，它一定是角平分线的一局部。 这一套逻辑链条，就是角平分线性质定理的核心内容。 通过具体的例子，比如那个 30 度角的三角形，我们看到了距离等于 1，边长是 2。 这就是 1:2 的比例关系。 这不仅是数学计算，更是几何美感的体现。 相等和一半，构成了整个的图景。 这样的描述，应当足以把定理讲清楚，并且不用那些老掉牙的“起初、其次、最终”了。 有点散漫，但挺实在。 数据也放出来了。 这就行了。