勾股定理复习-勾股定理复习

勾股定理：数学家在黑板前的“即兴演奏” 勾股定理这东西，说白了就是给直角三角形画了一笔最简洁的注脚。
你看啊，不管三角形长啥样，只要它是直的角，三条边的关系就一辈子稳如老狗：$a^2 + b^2 = c^2$。
要是三角形歪了，那 $a^2 + b^2 - c^2$ 就是个负数，这就好比说一个负数的平方根还能开出来，嘿，那可真是不忒靠谱。
故此，靠谱的人都会把画勾股定理这事的，都叫勾股定理。 大量人看这个公式就犯愁：“这玩意儿忒抽象了，如何不先画个图？”实际上画图这事儿，历史上可压根儿不是一蹴而就的。最早的版本，得推演到公元前 6 世纪。
那时候的人，还没那会儿的钟表那么准，但也大约认定工夫应当是线性的。便他们心里有个想法：要是三角形是直角三角形的话，边长是不是也按规矩来？三角形有勾股定理，那直角三角形是不是也应当有个勾股定理？他们试了好多，最终才慢慢摸索出最关键的定理。 那公元前 6 世纪的人，画出的那个“勾股定理”是啥样子的呢？实际上跟目前那个简洁的公式长得不忒一样。他们画的是一个直角三角形，标上了勾股定理，但这“勾股定理”指的是三条边的长度。
不过话说回来，这个“勾股定理”实际上是把直角三角形给定义了的。
那时大家普遍认定，直角三角形就是“勾股定理”所指的三角形。
只要它是直角三角形，就有勾股定理；只要它有勾股定理，那它就是直角三角形。
这逻辑有点绕，但在那个时代，这大约就是唯一的真理了。 到了公元 8 世纪，阿拉伯人又启动搞事件了。他们发现这个定理忒普遍了，不仅适用于直角三角形，就连适用于钝角三角形，只要你是看了角，就能算出来。
这简直是把一个“假设”变成了“事实”。他们启动用这个定理来做啥呢？哦，原来是用来计算面积和周长。
比方说，一个三角形的面积是 $S = frac{1}{2} times text{勾} times text{股}$，周长就是 $a+b+c$。
那时候的人，大约认定这个公式在描述一个平面图形的时候，再好办不过了。 不过，这个公式别看好办，但它的适用范围可有点“娇气”。它只能处理“直角”这个场景。
要是三角形是锐角要么钝角呢？那它就是个虚数，除了用来逗小孩快乐，要么数学课上为了证明啥“勾股定理”都成立，实际上它并不忒起用。
那时候的人，大约认定这个公式只适用于直角三角形，但对于钝角三角形，那就不中了。
这就像说“圆的面积公式”只适用于正圆，实际上圆有无数种，故此这个公式也就变得不再严谨了。 这可是个大难题啊！
那如何办？日子久了，大家就启动琢磨。
如何把“直角”去掉？
如何让一个三角形在任何角度下，都遵守这个定律？这只能靠“发明”了。 15 世纪左右，印度人又启动了这次“发明”。他们认定，既然直角三角形有勾股定理，那把两条直角边都换成斜边上的两段，是不是也能行？没错，他们把直角边换成了斜边上的两段，这就变成了一个以斜边为底的大三角形。
这时候，他们发现一个难题：当面积相等的时候，勾股定理依然成立。
这就挺怪了，明明三角形变成了斜的，面积还变了，勾股定理如何还成立？
难道说，勾股定理跟面积没关系？ 印度人接着想，既然面积跟勾股定理没关系，那有没有其他啥量呢？他们试着把面积换成“斜边上的高 $h$"，看看能不能算出来。
嘿，还真行！$h^2 = text{勾}^2 - text{股}^2$，这公式比刚刚那个又顺又对了！ 这时候，难题又出现了。
这又是一个“发明”。印度人发现，只要三角形是直角三角形，勾股定理就成立；三角形是斜的，这个公式就不成立。
那如何办？
难道说，勾股定理只适用于直角三角形？那就算出了勾股定理，是不是还得把三角形换回来？换回来之后，勾股定理又不成立了，这不就是死循环吗？ 印度人灵机一动，把“斜边上的高”换成了“斜边”。
是不是又行了？不对，那也得把“斜边”换回来啊！换回来之后，勾股定理又不成立了。
如何解决？印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”？不对，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积又跟勾股定理没关系了。 印度人认定挺困惑，那到底如何解决呢？他们拍板，既然三角形是直角三角形时，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”？那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人认定，既然三角形是直角三角形时，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 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$h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 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$h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 印度人发现，要是三角形是直角三角形，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那要是三角形是斜的，面积等于“斜边上的高 $h$ 乘以斜边的一半”，那也不对啊，那也得把“斜边上的高”换回来啊！换回来之后，面积跟勾股定理没关系了。 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