初中数学公式定理填空-初中数学定理填空

初中数学公式定理填空
一、勾股定理的“三要素” 勾股定理是初中数学里最硬核的内容，它专治各种直角三角形。公式长得像：$a^2 + b^2 = c^2$。但这玩意儿可不好背，光看字母好办晕，得把图形里的角色对号入座。 $a$ 是斜边的平方，$b$ 和 $c$ 就是两条直角边。
记住口诀：“斜边平方等于两直角平方”。 举个例子，假设你手里有一根绳子，从墙角拉过来刚好触到对面墙角的长度是 10 米，这是斜边 $c$。目前要算出这两条直角边加起来有多长，要么分别有多长，那就得用这个公式。 比如，直角边 $a$ 是 6 米，那 $b$ 是多少？直接把 3 6 3 6 代入公式，$36 + b^2 = 100$。算一下 $b^2$ 等于 64，开根号就是 8。
故此直角边是 6 米和 8 米。 再换个例子，直角边 $a$ 是 4 米，斜边 $c$ 是 5 米，那另一条边 $b$ 就是 3 米。代入公式 $16 + b^2 = 25$，算出 $b^2 = 9$，开根号就是 3。
这个“3 4 5”最经典的整数组合，大家背得滚瓜烂熟，一看就能猜出来。 在初中题库里，这类题时常考平方差。
比如 $a^2 - b^2$ 直接变 $a+b$ 乘以 $a-b$。
像 $x^2 - y^2$ 等于 $(x+y)(x-y)$，这是平方差公式，赶明儿做因式分解时时常用到。
二、一元一次方程的“变通法” 一元一次方程是另一大类，核心就是解这个“未知数等于多少”的难题。通法是先移项，再合并同类项。别忒死板，有时候灵活点脑子更快。 移项就是看符号，把带字母的项搬到另一边，符号要变反。
比如 $2x + 3 = 7$，要把 $2x$ 搬过来，加变减，得 $2x = 4$，然后除以 2 就是 2。 更绝的是两边同除以系数，特别是系数是负数的时候，直接除以负数，结局可能变号，得小心。
比如 $-3x = 6$，两边除以 -3，左边变正，右边变负，得 $x = -2$。 说到整除，大量题目不会直接给整数解，得凑数。
比如 $x + frac{1}{3} = frac{5}{3}$。两边乘 3 消分母，得 $x + 1 = 5$，故此 $x$ 是 4。 还有分式方程，有些分母是平方差要么彻底平方式，能先约分。
比如 $frac{x}{x-1} = 2$，两边乘 $(x-1)$，得 $x = 2x - 2$，移项得 $x = 2$。 初中数学还有绝对值，$|a|$ 就是 $a$ 的距离，非负。
故此 $|x| = 3$ 时，$x$ 可能是 3 要么是 -3。
这种分类聊聊在解绝对值方程时挺常见，有时得设 $x=a$，$x=-a$ 分情况求解。
三、解直角三角形的“黄金三角” 解直角三角形实际上就是把勾股定理和三角函数结合起来用。
要是你知道任意一个锐角和一条边，就能求出其他边角，这玩意儿应用极广。 工具就是正弦、余弦、正切三个函数。$ sin A = frac{a}{c} $，$ cos A = frac{b}{c} $，$ tan A = frac{a}{b} $。 举个例子，直角三角形里，$ tan 30^{circ} = frac{sqrt{3}}{3} approx 0.577 $。
要是一条直角边是 6 米，对边就是 $6 times frac{sqrt{3}}{3} = 2sqrt{3}$。 有时候题目给的是角度和一条边求另一条边，得注意单位制。
比如角度用度数，边长用米，算出来就是米；角度用弧度，就得换算成度数要么调整系数。 再比如，已知斜边和锐角，求邻边，那就是 $ cos 45^{circ} = frac{sqrt{2}}{2} $，要是是等腰直角三角形，邻边等于斜边除以根号 2。
四、函数与方程的“灵魂结” 函数和方程，初中没讲深奥的导数，主要是看它们如何配合。最典型的就是“方程求根”和“函数图像交点”。 方程就是找零点，函数就是看高低。
比如 $y = x^2 - 4$，求 $y=0$ 时，就是 $x^2=4$，解出 $x=pm 2$。 再看看函数 $y = 2x + 1$ 和 $y = -x + 3$ 的交点。联立方程组，$2x + 1 = -x + 3$，移项得 $3x = 2$，故此 $x = frac{2}{3}$。代入求 $y$，就拿到交点坐标 $(frac{2}{3}, frac{7}{3})$。 要是是分段函数，就得分段聊聊。
比如 $y = begin{cases} x+1 & x leq 2 \ x-2 & x > 2 end{cases}$，求 $y=0$ 的话，看哪一段合适。当 $x leq 2$ 时，$x+1=0$ 得 $x=-1$，符合范围；当 $x > 2$ 时，$x-2=0$ 得 $x=2$，但 $2$ 不在 $x>2$ 范围内，故此只有 $x=-1$ 一个解。
五、几何变换的“不变量” 几何图形动起来，有些东西是不变的。
比如平移、旋转、翻折，这些变换下，线段的长度、角度的大小、三角形的形状，就连面积、周长（特定情况下），都是保持不变的。 平移的话，想象把一张纸在桌面上顺时针转一下，要么向左推一下，形状位置变了，但边长角度没变。 旋转是绕着某一点转，比如 90 度。等边三角形绕中心旋转 90 度，还是等边三角形，边长不变。 翻折就是对称，比如把纸沿中线对折，两边重合，这时候折痕两边的图形全等，对应边相等，对应角相等。 刚体变换（平移、旋转、翻折）归于等距变换，保持距离不变。变形变换，比如拉伸、压缩，那就不能如此说了。 还有相似，两个图形对应边成比例，对应角相等，那它们相似。相似比等于对应边之比。
六、统计里的“平均数陷阱” 统计描述数，平均数是那个最坑但也最基础的。平均数是一定值，是总和除以个数。
不能随意平均，要加权。 比如班里 20 个人，总分 300，平均 15 分。
要是 2 个人拿了满分 100，剩下 18 个人平均拿 60 分，那整体平均分算出来还是 15 分。 加权平均不一样，比如成绩里有 60 分是权重大，代表考得多了，那算出来的平均分就不是 50 了。 方差反映离散程度，标准差看哪位更稳。方差是平均数的平方，标准差是方差的算术平方根。方差越小，数据越聚拢。 比如两组数据，一组方差大，一组方差小，别看平均数一样，但标准差大的那个，波动更大，稳定性差。
七、数列里的“递推关系” 数学里有时会考数列，比如斐波那契数列，1 1 2 3 5 8... 前一个加后一个等于后一个。 还有等差数列、等比数列。等差数列通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $d$ 是公差。 等比数列通项公式是 $a_n = a_1 cdot q^{n-1}$，$q$ 是公比。 求和的话，等差数列有公式 $frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，等比数列首项乘公比再除以（公比减 1）。
八、集合与逻辑的“边界” 集合论是高中才学的，初中主要接触交集、并集、补集。${1, 2} cap {2, 3} = {2}$，两个集合有公共元素就是交集。 并集是 ${1, 2} cup {2, 3} = {1, 2, 3}$，两个集合所有元素合起来就是并集。 补集是相对于全集 $U$ 的，$A^c = U - A$。 逻辑命题真假判断：要是 $p$ 真 $q$ 假，则 $p land q$ 假，$p lor q$ 真。
九、空间几何的“视角” 空间几何里，棱锥、棱柱、圆锥等立体图形，有时候要从不同角度看不一样，比如正视图和侧视图可能有差异。 棱锥体积公式 $frac{1}{3}Sh$，棱柱体积 $Sh$，圆锥体积 $frac{1}{3}pi r^2h$。 点到直线的距离，垂线段最短。 异面直线，既不在同一直线上，也不平行，比如正方体中体对角线和侧面对角线可能异面。
十、概率论的“随机本质” 概率是随机事件形成的可能性，范围在 0 到 1 之间。 根本事件是组成样本空间的原子。 古典概型是有限个根本事件，每个等可能。 条件概率是已知一个事件形成，另一个事件形成的概率。 互斥事件，不可能与此同时形成，并事件的概率是两者概率之和（若互斥）。 独立事件，一个形成不影响到另一个，联合概率等于各自概率之积。 随机变量能够表示随机现象，期望是数学期望。 十
一、不等式与函数的“临界点” 不等式比方程范围大，解集可能是区间，也可能是多个区间。 绝对值不等式 $|x| < a$ 解出来是 $-a < x < a$，$|x| > a$ 解出来是 $x < -a$ 或 $x > a$。 二次方程根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -b/a$，$x_1 cdot x_2 = c/a$。 函数单调性，在一两点取导数要么看图像增减性。 整式不等式，比如 $(x-1)(x-2) > 0$，解集是 $x < 1$ 或 $x > 2$。 十
二、三角函数的“周波” 三角函数，正弦、余弦、正切，周期是 $2pi$，角频率是 $omega$。 $y = sin(x)$ 的最小正周期是 $2pi$。 $y = 2sin(2x + frac{pi}{3})$ 的周期是 $pi$，相位偏移是 $-frac{pi}{3}$。 图像变换，左右平移看相位，上下伸缩看系数，左右竖平移看横坐标倒数。 十
三、微积分的“初阶推论” 别看初中不学求导，但知道导数是极限的思想，有助于理解切线斜率。 导数定义是变化率，平均变化率到瞬时变化率。 极限是变化的趋势，函数极限是 $x$ 接近某值的函数值。 八项极限定义，夹逼定理，无穷大性质，洛必达法则（高中才讲）。 十
四、复数与向量 复数形式 $a+bi$，实部虚部。 向量是既有大小又有方向的量，起点终点。 向量加法平行四边形法则，减法三角形法则。 向量数量积 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$，点积为零垂直。 十
六、概率中的“条件密度” 条件概率公式 $P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)}$。 贝叶斯公式，在条件概率中用到。 十
七、离散数学的“图论” 图论是研究图的结构。 图的表示，邻接矩阵、邻接表。 图的遍历，深度优先搜索、广度优先搜索。 图的着色，顶点色数，贪心算法。 八项欧拉定理，握手定理，二分图性质。 十
八、算法与数据结构 算法是解决难题步骤，工夫复杂度 $O(n^k)$，空间复杂度。 数据结构，栈、队列、链表、数组、树、图。 最坏情况，平均情况，最好情况。 动态规划，剪枝，回溯，递归。 十
九、物理中的“量纲” 物理定律中，速度单位是 m/s，加速度 m/s²，密度 kg/m³，工夫 s。 牛顿第二定律 $F=ma$，单位是 N = kg·m/s²。 玻意耳定律，查理定律，盖 - 吕萨克定律。 二
十、应用题的“建模” 应用题最终往往要列方程组或不等式。 设未知数，设 $x$ 为几天，$y$ 为天数。 分段函数，设 $x leq 500$，$500 < x leq 1000$。 线性规划，目标函数 $z = ax + by$。 约束条件 $ax + by leq c$。 最优解，顶点解，非顶点解。