导函数介值定理-导函数中间值定理

有时候在讲导函数介值定理的时候，脑子里总会浮现出那个经典的 $f(0)=0, f(1)=1, f(1/2)=1/2$ 的例子。想起当时读书的时候，老师一脸严肃地写着“要是这导函数值为负，那原函数就是严格单调的”，我就认定挺压抑的。
实际上这例子忒硬了，硬得像要把数学公式焊死在脑子里，让人喘不过气。人脑处理这种高密度的逻辑推导，就像是在细沙里架桥，略微一用力，那座桥就塌了。我们得把这些抽象的概念像讲故事一样摆出来，让它有血有肉，别是一眼望穿底。 这东西最妙的地方在于它居然能覆盖那么多兔子洞。
你想想看，导函数本身是个函数，它有着值域，知道它的正负、大小，就能知道原函数的单调性、凹凸性。
这听起来是不是有点绕？实际上挺好办，导函数就是原函数的斜率。斜率正的，原函数就在爬坡；斜率负的，就在下坡。介值定理就是告诉你，只要这个斜率扫过某个区间，原函数顺路就得经过这段高度。
这就好比一个人在一个山丘里转悠，他的速度（导函数）是正的，肯定往上冲；速度是负的，就往下坠。
要是你问他“你从 0 米跑到 10 米，中间一定经过 5 米吗？”答案自然是肯定的，出于速度一直在变，没想过个脑门如何就断崖式下降了呢。 这时候就要小心，毕竟数学界有个著名的反例，叫罗尔定理的推广，要么说是魔鬼的陷阱。
要是函数在区间内可导，但在端点处不连续，要么导函数本身是常数，那就没法直接套公式了。毕竟导函数介值定理的前提是“可导”，要是函数在端点处不连续，导函数在端点处就“卡”住了，没法取极限，自然也就没法介值。
故此不能用这个定理去推导那些有间断点的函数，这就像是一个拿着钥匙去锁门，钥匙齿缺了，如何转都转不开。 再举个例子，假设我们要找 $f(x)$ 的一个零点。
要是函数在区间上连续，那它肯定得穿过 x 轴，这是介值定理的本意。但反过来，要是我们知道导函数有零点，能不能直接说函数有零点？这又有点难题。导函数有零点，说明原函数有极值。极值点不一定是零点啊，比如 $y=x^2$，它在 0 点取极小值，导函数是 0，但这函数本身 $y=0$ 就是一个零点。
那要是函数是 $y=x^2+1$，导函数一辈子是 2，不为 0，这函数就一辈子没有零点，也谈不上极值难题。
故此，导函数有零点，只能说明原函数有极值，不一定有零点。
这点好办混淆，务必区分清楚。 实际上，介值定理的核心思想就一个词：“跨越”。导函数把区间上的值像水流一样，从正变负，要么从负变正。水流从河的一边流到另一边，必然要经过河心。原函数的图像就是把这个水流画成高度线。
既然高度线要跨越某个高度，那它就该经过那个高度点。
这就像一条河，从北边流到南边，必然要流到某个高度。别看河水本身是流动的，但它在某个瞬间是静止的，那个静止的时刻，就是介值定理发挥功能的时候。 有些时候，我们会遇到函数的导函数本身也是个常数，要么是一个单调递增的函数。
这时候直接套用介值定理可能有点勉强。
比如 $f(x)=x^3$，它的导函数是 $3x^2$，这是一个开口向上的抛物线。
这个抛物线在 $x=0$ 处有个最小值 0。根据介值定理，导函数从负变正，要么从正变负，必然经过 0。
这就意味着 $3x^2=0$，也就是 $x=0$。
这是导函数有零点，原函数有极小值，且该极小值也是零点。但要是导函数是常数，比如 $f(x)=C$，那导函数在区间上恒等于 $C$，要是 $C neq 0$，那它就没有零点，原函数也就没有极值点，自然也就没有零点。
这时候介值定理就不管用了，出于它假设了“跨越”的可能性。 还有时候，导函数的情况会特别“整”，比如在整个区间上都是正的，要么都是负的。
这时候原函数在整个区间上都是严格递增要么严格递减的。
这跟介值定理有啥关系呢？实际上没关系，出于要是导函数恒正，原函数就没机会“跨越”任何高度，它是一直往上走的，线性运动，要么加速运动，但不会回头。
故此这时候原函数没有极值点，介值定理对它的描述也失效了。
不过，这时候我们能够用另一个更强的结论：要是 $f'(x)>0$ 恒成立，且 $f(a)=f(b)$，那么 $f(x)=f(y)$ 对所有 $x,y in (a,b)$ 成立。
这是单调性定理，和介值定理是两兄弟，一个负责讲如何变，一个负责讲能不能变回原样。 实际上，有时候我们用介值定理解决高数题的时候，感觉就像是在玩捉迷藏。我们要找一个点，使得函数等于这个点。但函数本身在移动，位置在变，要找这个点，难度爆表。
特别是当导函数也有零点的时候，原函数得先变个极值，然后再持续走，找那个极值点本身，然后再找它等于某个值的点。
这就像是要在一个会转圈跑的人身上找他的伤口，他得先跳起来（极值），再抓你的手（零点）。每一步都依赖前一步，牵一发而动全身。 还有那种例子，导函数的零点极少。
比如 $f(x)=sin x$，导函数是 $cos x$，零点在 $x=pi/2 + kpi$。
这时候原函数在区间 $[0, pi]$ 上单调递增，从 0 跑到 1。导函数在中间过零点，原函数也跟着过那个“极高点”。
这就像爬山，你走得越陡，爬得越快，直到爬到山顶那一刻，你停下了（导函数为 0），然后持续走，但高度已经定格了，不可能再往上跑。
故此这时候原函数有极值，且有零斜率。 最终总结一下，导函数介值定理实际上是个挺温柔的法子。它不直接找零点，而是找极值点，再找极值点等于零点的那个点。它准函数在中间暂停、回头、加速，只要它不连续要么有怪的导函数性质，这个定理可能就得让路。但这正是它的美妙之处，它给了我们一种“力不从心”时的补救办法。别看有时候它只能告诉你“这函数在中间有个极值”，但紧接着的单调性定理又能帮你把“极值”拉成“零点”。
这两个家伙配合得天衣无缝，把原本混乱的图像梳理得井井有条。别看有时候我会认定它忒绕了，认定像是一场无休止的马拉松，但只要坚持住，总能走到终点。