勾股逆定理证明方法-勾股逆定理证法

这玩意儿早就烂大街了，但真要往下掰扯，真得拿笔头儿琢磨琢磨。 这就得从略微有点绕口的公式根起儿头儿。勾股定理那个，就是说了直角三角形里边，两条直角边平方加起来等于斜边平方，$a^2 + b^2 = c^2$。
这玩意儿一般/平平人听着像死记硬背，背熟了能算直角三角形面积、还能证好多东西。但要是碰上反着问呢？比如“边长已知，算出夹角是直角”，这就得叫勾股逆定理了。 先说说这个定理到底啥意思。好办讲，就是要是在一个三角形里边，任意两条边的平方和等于第三边平方，那这三角形肯定就是直角三角形。
这个结论听起来挺顺溜，但在操作层面，可没那么好办。专讲直角三角形，那大局部结论都能直接套。可要是涉及到钝角三角形呢？比如一个三角形边长是 3、4、5，算出 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，这时候你得小心，别看算出来平方和等于第三边，但这三角形未必是直角，它可能是钝角。
故此，这个定理只是说“可能是直角”，而不是“一定是直角”。要在一般三角形里用，还得加上“非锐角”要么“非钝角”这些额外条件，略微复杂点。 那如何证明呢？证明这事儿实际上挺有意思的，不算忒难。 方式一，也就是最常用的一种，叫“构造法”。
这想法就是把那个边长给拉出来，看看能不能拼成直角三角形。 拿个一般/平平的直角三角形 ABC 做个演示。已知直角边是 3 和 4，斜边是 5。咱们想求 $angle A$ 是不是直角。 第一步，咱们在斜边 $BC$ 上截取点 D，让 $CD$ 等于直角边 $AC$。目前 $AC$ 和 $CD$ 就重合了，那剩下的那段 $BD$ 长度就是 $BC - AC = 5 - 3 = 2$。
看，这就把原三角形切了一刀。 第二步，连接点 $D$ 到点 $B$。
这时候看三角形 $ACD$ 和三角形 $ACB$。它们有公共边 $AC$。$ACD$ 里边，$CD$ 等于原三角形的 $AC$。$BD$ 等于 $BC - AC$。
哦不对，等一下，逻辑得理顺。应当是构造大三角形 $BDC$。在 $BC$ 上取点 D 使得 $BD = AB$。
那 $DC = BC - BD = BC - AB = 5 - 5 = 0$？不对，边长不能为 0。 好，重来，这个构造法得严谨点。 已知等腰直角三角形 ABC，斜边 AB 长度为 $2sqrt{2}$，直角边 AC 长度为 2。 在斜边 AB 上取一点 D，使得 $BD = AC = 2$。 连接 CD。 目前我们有 $triangle ABC$ 和 $triangle DBC$。 边长关系：$AD = AB - BD = 2sqrt{2} - 2$；$DC = AC = 2$；$BC = sqrt{AC^2 + AB^2}$? 不对，这是斜边。 已知是等腰直角，故此 $AB = AC = 2$。斜边 $BC = 2sqrt{2}$。 在 $triangle ABC$ 中，$AC^2 + AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，故此 $BC = sqrt{8} = 2sqrt{2}$。 目前看 $triangle DBC$。已知 $BD = 2$，$CD = 2$，$BC = 2sqrt{2}$。 算一下 $DC^2 + DB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$。 正好等于 $BC^2$。 故此 $triangle DBC$ 也是等腰直角三角形，$angle BDC$ 是直角。 出于平角是 $180^circ$，故此 $angle ADC = 180^circ - 90^circ = 90^circ$。 证毕。 这个构造法别看能证明，但画图和写步骤挺繁琐，对于脑子转得快的人来说，可能像敲键盘一样快，但手要动两下，好办乱。 方式二，叫“代数法”，也就是纯算数推导。
这跟上面的构造法本质一样，都是利用“勾股数”要么“平方和等于第三边”这个性质来推导，但过程要化简得了得。 假设在 $triangle ABC$ 中，$BC = a, AC = b, AB = c$。已知 $a^2 + b^2 = c^2$。 我们要证明 $angle C = 90^circ$。 不对，是证明 $angle C$ 是直角？ 公式里 $c$ 是对边。
要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那 $angle C = 90^circ$。 证法： 过点 C 作斜边 AB 的垂线，垂足为 D。 设 $AD = x, BD = y, CD = h$。 出于 $CD perp AB$，故此 $triangle ADC sim triangle CDB sim triangle ABC$。 相似比推导： $AD/AC = AC/AB Rightarrow x/b = b/c Rightarrow x = b^2/c$。 $BD/BC = BC/AB Rightarrow y/c = c/b Rightarrow y = c^2/b$。 $CD/CD$? 不对，是 $h/AD$? $CD^2 = AD cdot BD$ (射影定理) $Rightarrow h^2 = x cdot y = frac{b^2}{c} cdot frac{c^2}{b} = c^2$? 不对，$x cdot y = frac{b^2}{c} cdot frac{c^2}{b} = c cdot b$? 等一下，射影定理是 $CD^2 = AD cdot DB$。 $x = b^2/c$, $y = c^2/b$. $x cdot y = (b^2/c)(c^2/b) = bc$. 故此 $h^2 = bc$. 但这跟 $a^2 + b^2 = c^2$ 有啥关系？ 啊，我刚刚设的是 $AB$ 是斜边，$AC$、$BC$ 是直角边，那 $a=BC, b=AC, c=AB$。 已知 $a^2 + b^2 = c^2$。 射影定理应用在哪个三角形？ 在 $triangle ABC$ 中，$CD perp AB$。 $CD^2 = AD cdot DB$。 $AD = b^2/c$, $DB = c^2/b$。 $CD^2 = (b^2/c)(c^2/b) = bc$。 又出于 $CD^2 = AC^2 - AD^2 = b^2 - (b^2/c)^2 = b^2 - b^4/c^2$。 这就费事了，$a^2 + b^2 = c^2$ 还没用上。 用勾股定理在 $triangle ADC$ 里：$CD^2 + AD^2 = AC^2 Rightarrow CD^2 + (b^2/c)^2 = b^2$。 $CD^2 = b^2 - b^4/c^2 = frac{b^2(c^2 - b^2)}{c^2}$。 在 $triangle BDC$ 里：$CD^2 + DB^2 = BC^2 Rightarrow CD^2 + (c^2/b)^2 = a^2$。 $CD^2 = a^2 - c^4/b^2 = frac{a^2b^2 - c^4}{b^2}$。 联立两个 $CD^2$ 的表达式： $frac{b^2(c^2 - b^2)}{c^2} = frac{a^2b^2 - c^4}{b^2}$。 $b^2(c^2 - b^2) = c^2(a^2b^2 - c^4)/b^2$? 不对，通分忒丑。 直接代入 $c^2 = a^2 + b^2$。 左边 $CD^2 = b^2( (a^2+b^2) - b^2 ) / c^2 = b^2(a^2)/ (a^2+b^2) = a^2 b^2 / c^2$。 右边 $CD^2 = a^2 - c^4/b^2 = a^2 - (a^2+b^2)^2/b^2$。 这仿佛走不通，推导出矛盾？ 还是用代数法最稳妥： 设 $a^2 + b^2 = c^2$。 取 $c$ 为直径，作圆。 若 $angle C neq 90^circ$，设 $angle C < 90^circ$，则 $cos C > 0$。 在 $triangle ABC$ 中，由余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 代入 $c^2 = a^2 + b^2$，得 $a^2 + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 $0 = -2ab cos C$。 出于 $a, b$ 是边长，不为 0，故此 $cos C = 0$。 又出于 $angle C$ 务必是三角形内角，范围是 $(0, 180^circ)$。 $cos C = 0$ 时，$C = 90^circ$。 故此 $angle C = 90^circ$。 这就证明白。 看来纯代数法对逻辑链要求高，但一旦理顺，确实不复杂。 再讲讲应用。
这东西用多了，好办出迷糊。 比如，有个三角形，边长分别是 3、4、5。 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。 $5^2 = 25$。 两等。 那 $angle C$ 就是直角。 这没啥毛病。 但有个例子好办错。三角形边长是 3、4、5，减去一个角，比如 $angle A$。 已知 $AC=3, AB=5, BC=4$。 想求 $angle A$。 用余弦定理：$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 AC cdot AB cos A$。 $16 = 9 + 25 - 2 cdot 3 cdot 5 cos A$。 $16 = 34 - 30 cos A$。 $30 cos A = 18$。 $cos A = 0.6$。 $A approx 53.13^circ$。 这明显不是直角。 那要是题目给的是 $AC=5, AB=4, BC=3$。 求 $angle A$。 $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 AC cdot AB cos A$。 $9 = 25 + 16 - 2 cdot 5 cdot 4 cos A$。 $9 = 41 - 40 cos A$。 $40 cos A = 32$。 $cos A = 0.8$。 $A approx 36.87^circ$。 那要是给 $AC=4, AB=3, BC=5$。 这就是刚刚那个最经典的例子，算出来 $angle C = 90^circ$。 再举个反例，钝角。 边长 2, 2, 3。 $2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$。 $3^2 = 9$。 $8 neq 9$。 这就不是直角了。 要是取边长 3, 4, $x$。 若 $x=5$，直角。 若 $x=4.5$。 $3^2 + 4^2 = 25$。 $x^2 = 25$。$x=5$。 若 $x$ 变动，比如 $x=3.2$。 $3^2 + 4^2 = 25 > 3.2^2$。 那角 $angle C$ 还是直角吗？ 公式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos C$。 $25 = 25 - 24 cos C$。 $cos C = 0$。 C 依然是直角。 哦，看错了。 要是 $x=4.5$。 $3^2 + 4.5^2 = 9 + 20.25 = 29.25$。 $4.5^2 = 20.25$。 $29.25 neq 20.25$。 那角 $angle C$ 呢？ $4.5^2 = 3^2 + 4.5^2 - 2 cdot 3 cdot 4.5 cos C$。 $20.25 = 9 + 20.25 - 27 cos C$。 $0 = 9 - 27 cos C$。 $cos C = 1/3$。 $C approx 70.5^circ$。 不是直角。 再试一个钝角例子。 边长 3, 4, 6。 $3^2 + 4^2 = 25$。 $6^2 = 36$。 $25 neq 36$。 这个不是直角三角形。 那 $angle C$ 呢？ $6^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cos C$。 $36 = 25 - 24 cos C$。 $cos C = (25 - 36) / -24 = -11 / -24$。 $cos C = 11/24 approx 0.458$。 $C approx 62.7^circ$。 锐角。 那要是边长 3, 4, 6.1。 $3^2 + 4^2 = 25 < 6.1^2 = 37.21$。 $6.1^2 = 3^2 + 4^2 - 24 cos C$。 $37.21 = 25 - 24 cos C$。 $12.21 = -24 cos C$。 $cos C < 0$。 钝角！ 这说明，勾股逆定理确实不能随意套。 一定要先把三角形边长代入公式算出 $cos$ 值，再看正负。 要是是正的，那就是锐角；要是是负的，那就是钝角；要是是 0，那就是直角。 不能光看 $a^2 + b^2 = c^2$ 这个等式就下结论。 只有当 $a, b, c$ 知足 $a^2 + b^2 = c^2$ 且 $cos C = 0$ 时，才是直角。 实际上余弦定理推导出来的 $cos C = 0$ 和 $c^2 = a^2 + b^2$ 是等价的。 出于 $cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab$。 要是 $c^2 = a^2 + b^2$，分子就是 0，$cos C = 0$。 故此条件 $a^2 + b^2 = c^2$ 本身就蕴含了 $cos C = 0$。 那为啥还要提钝角的情况？ 出于它在逆定理里，我们一般不知道哪条边是 $c$，也不知道哪个角是 $C$。 比如 $a^2 + b^2 = c^2$。 我们不知道哪个角对应哪个边。 可能 $c$ 是钝角对应的边？不可能，$c^2$ 大，$cos C$ 必负，$C$ 钝角。 可能 $c$ 是锐角对应的边？不可能，$c^2 = a^2 + b^2 Rightarrow cos C = 0$。 故此，只要 $a^2 + b^2 = c^2$，那个角 $C$ 就是直角。 那钝角的情况呢？ 钝角三角形里，$c^2 > a^2 + b^2$。 要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那 $c^2$ 既不大于也不小于，只有等于。 故此 $a^2 + b^2 = c^2$ 这个等式本身，就是直角三角形的充分必要条件。 只要数值知足，角度就是直角。 那之前如何会有钝角的难题？ 出于钝角三角形不知足勾股定理。 故此，在一般三角形里，要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那它就是直角三角形。 不存有钝角知足这个等式的情况。 我之前的例子 3, 4, 6 不知足等式。 那要是 3, 4, 5，知足。 那要是 3, 4, 5 的变体，比如 3, 4, 6。
不知足。 故此，勾股逆定理的证明核心挺好办：
1.假设 $a^2 + b^2 = c^2$。
2.在余弦定理视角下，$cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab$。
3.分子为 0，故 $cos C = 0$。
4.故 $C = 90^circ$。 证明终止。 这样看来，实际上只要数据对得上，结论就是直角。 那个“钝角”的担忧是富余的，那是针对未验证 $a^2+b^2=c^2$ 的情况。 一旦验证了等式，角度必然是直角。 最终说说如何证明这个定理在圆里的应用。 要是在圆里，弦长 $a, b$ 的平方和等于直径的平方 $c^2$。 根据托勒密定理要么余弦定理，这又意味着 $angle C = 90^circ$。 这实际上就是圆的性质引申出来的。 比如，要是弦 $AB$ 是直径，那 $angle C$ 就是直角。 反过来，要是某角是直角，那其对边平方等于另外两边平方和。 这就是勾股定理的逆定理，把几何性质和代数性质打通了。 这证明法，别看看起来像背公式，但算起来实际上挺顺的。 特别是用余弦定理推导，思路清楚，逻辑严密，既不用复杂的几何构造，也不用繁琐的代数运算。 反正就是要算出 $cos$ 值，然后判断正负。 要是是 0，那就是直角。 要是是正，说明 $a^2+b^2 > c^2$，钝角。 要是是负，说明 $a^2+b^2 < c^2$，锐角。 只有 0 才是直角。 故此 $a^2+b^2=c^2$ 就是直角三角形的充要条件。 这就证了。 好了，算是把边边角角都能推得差不多了。 实际上这定理在编程里应用大量，比如判断三点是否共圆，要么计算三角形角度。 每次写代码，都得把三个边长代入公式，算个余弦值。 要是值接近 1，那就是锐角。 要是接近 -1，那就是钝角。 要是接近 0，那就是直角。 差不多就如此好办了。