反函数的存在定理-反函数存在定理

函数这东西，有时候真挺有意思的。刚学微积分的时候，我也当作只要把定义域和值域搞清了，连个像样定理都能立住。
后来真遇到几个反例，立马拉风，才琢磨出这玩意儿没那么好办。 反函数到底能存有吗？老规矩先看定义。
要是 $f$ 是单射，那它就能有个“原像”；要是 $f$ 是满射，那能“盖住”所有输入。可这两者得与此同时知足，才算有反函数。 先拿正比例函数 $frac{y}{x} = k$ 看看。
这个函数的图是个过原点的直线。
要是 $k=1$，那就是 $y=x$，图是个对角线，$x$ 和 $y$ 是互换的，反函数自然存有。但要是 $k=0$，那 $y=0$ 这一条线，不管 $x$ 是多少，$y$ 一辈子是 0。
这时候，甭管你把 $y$ 换成别的值，找不到对应的 $x$ 让等式成立，这函数就是多对一的，不有单射性。反函数自然不存有。
这就是典型的合不上眼皮的例子。 再看开方函数 $f(x) = sqrt{x}$。它的值域是 $[0, +infty)$，值域里的每一个非负数都有原像。
不过，它的定义域是 $[0, +infty)$。
这时候发现不对劲了，值域和定义域不重合，故此它不是满射。别看你能够强行找个函数 $g(y) = y^2$ 让它变成满射，但这 $g$ 就不是原函数了，出于它不是一对一。函数要是想拥有反函数，原像务必存有，值域也不能漏掉任何输入。 实际上啊，最直观的判断还是看单调性。
要是一个函数在整个定义域上一直是上升或下降的，那它大约率能找反函数。
比如 $f(x) = x^2$（定义域 $x ge 0$），这是增函数，有反函数 $y = sqrt{x}$。
要是定义域是 $x le 0$，那就是减函数，反函数是 $y = -sqrt{x}$。 这里有个细节常被忽略。
要是原函数是常数函数，比如 $f(x) = 5$，那它把整个 $x$ 都映射到 $5$，值域只有一个元素，根本没法对应回哪个 $x$。
故此常数函数一辈子没法有反函数，要不就你把它分段定义，比如 $f(x) = 5$ 当 $x ge 0$，$f(x) = 0$ 当 $x < 0$，这样在各自区间上就是单射了。但在任何给定的区间 $[a, b]$ 上，非零常数函数肯定都没有反函数。 再说说 $f(x) = x^2$ 这个经典例子。大量人当作只要定义域是 $x ge 0$ 就有反函数，这是对的。但要是定义域是全体实数 $mathbb{R}$，那就是 $x$ 和 $-x$ 混淆在一起，丧失单射性了。就像两个人穿一样的名牌，没人能分清哪位是哪位。
故此，反函数的存有，往往取决于我们如何“裁剪”定义域。 举个具体的例子吧。寻思函数 $f(x) = 2x$。定义域是 $[0, 10]$，值域是 $[0, 20]$。
这个函数在整个区间上单调递增，是单射。
那它的反函数存有吗？这需求找一个函数 $f^{-1}$，使得 $f(f^{-1}(y)) = y$ 对所有 $y$ 成立。
显然 $f^{-1}(y) = y/2$ 是个合法的函数。
比如当 $y=2$ 时，$x=1$；当 $y=5$ 时，$x=2.5$。数据计算起来挺顺的。 再看一个反例。
比如 $f(x) = x^3$。定义域和值域都是 $mathbb{R}$，且它是严格单调递增的，故此它有一对一的映射关系。
事实上，任何连续且单调的函数都有反函数。真想不到，除了那些好办的常数函数，大局部函数都逃不过这个劫。 但在高中数学里，老师不讲那么多，只教定义域和值域对应。实际应用中，微分方程组往往需求矩阵求逆，这时候就用到行列式的性质了。
要是矩阵行列式为 0，那它就退化成秩亏矩阵，没法正解，这就是不存有反例的情况。 还有啊，分段函数也是常客。
比如 $f(x) = |x|$。在 $x < 0$ 时，$f(x) = -x$；在 $x ge 0$ 时，$f(x) = x$。它不是单射，出于 $f(-1) = f(1) = 1$。
故此它没有反函数。
要是你想让它有反函数，那就务必把绝对值去掉，要么在负半轴砍掉一段。
只要保证在定义域内没有重复的 $y$ 值，单调性就会成为你存有的保障。 最终总结一下。反函数的存有不是玄学，它是单射和满射的博弈。单调函数一般是胜利者，出于它们自带单射基因。但算出来的 $f^{-1}$ 务必知足 $x in text{Domain}$ 且 $y in text{Range}$。大量时候，我们只是默认了大局部情况，没仔细检查边界。 你看，函数这东西， fancy 一点不如严谨一点。
只要定义清楚，单调就是真理。
要是想找个反函数，最好先问问自己：这函数在定义域内会不会撞车？会不会漏掉哪位？只要通道是通的，路就通了。