积分中值定理证明详细-积分中值定理证明详解

画个图吧，实际上说白了就是给那个弯弯的曲线段丢根针，看针尖能不能扫到它中间。
要是能把针尖扫到，那就意味着积分里藏着某一段的函数值。
那针尖能扫到哪吗？这取决于函数的脾气。
要是函数一直往上爬要么一直往下坠，那肯定扫不到“中间”，出于那根针根本进不去那个单调区。但要是函数在那儿穿来穿去、忽高忽低，那针尖大约率能碰到一个“活”的点，也就是那个取值的点。 这就回到了积分中值定理的核心：存有一个 $xi$，让 $f(xi)$ 等于平均高度。平均高度是个啥概念？就是你找到的那个圆面积，除以高。圆面积公式是 $int_{a}^{b} x dx = frac{1}{2}(b^2 - a^2)$。高就是 $frac{f(a)-f(b)}{a-b}$。把这两样东西拼起来，你再乘个密密麻麻的 $(b-a)$，那不就是 $frac{b^2-a^2}{a-b}$ 吗？一化简，刚好等于刚刚那个圆面积的一半。 你想想，那个方程 $f(xi) = text{平均高度}$ 到底在找啥？它在找某一个瞬间，函数的高度恰好等于“从 $a$ 到 $b$ 的平均高度”。
这时候它肯定既大于 $a$ 又小于 $b$，出于要是等于 $a$ 或 $b$，那得整个区间都等于 $a$ 或 $b$，那平均高度也就是 $a$ 或 $b$，但这和题目里求出来的平均高度是“介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，且不等”的矛盾。
故此这个点 $xi$ 一定夹在 $a$ 和 $b$ 中间。 为了把这话说得更实在，咱们拿个具体的例子看看。假设 $f(x) = x^2 - 2x$，区间是 $[0, 3]$。
那 $f(0)=0$，$f(3)=3^2-2times3 = 9-6=3$。平均高度就是 $frac{0-3}{3-0} = -1$。再算算积分 $int_0^3 (x^2 - 2x) dx$，积分结局是 $frac{9}{3} - frac{2times9}{2} = 3 - 9 = -6$。
那这个平均高度对应的函数值是多少？就是 $frac{-6}{3-0} = -2$。
故此我们得找 $f(x) = -2$ 的根。解方程 $x^2 - 2x = -2$，得 $x^2 - 2x + 2 = 0$。判别式 $Delta = 4 - 8 = -4 < 0$，说明无实根？不对，这里算错了。重新算一遍平均高度。圆面积是 $int x dx = frac{1}{2}x^2|_0^3 = 4.5$。平均高度是 $4.5 / 3 = 1.5$。方程应当是 $x^2 - 2x = 1.5$，即 $x^2 - 2x - 1.5 = 0$。判别式 $4 + 6 = 10 > 0$。根是 $frac{2 pm sqrt{10}}{2} approx 1.81$ 和 $-0.81$。区间是 $[0, 3]$，故此 $xi approx 1.81$。
这时候 $f(1.81) = 1.5$，确实等于平均高度。并且 $1.81$ 夹在 $0$ 和 $3$ 中间。
这一套逻辑通了。 不过，要是函数是单调递增的，比如 $f(x) = x$，区间 $[1, 2]$。
那平均高度就是 $1.5$。方程 $x = 1.5$，根是 $1.5$。
这自然在 $[1, 2]$ 里。但要是函数是 $f(x) = x - 2$，区间 $[0, 2]$。$f(0)=-2, f(2)=0$。平均高度 $-1$。方程 $x-2=-1 Rightarrow x=1$。$1$ 在 $[0, 2]$ 里。
看起来没难题。 什么的，要是函数是常数呢？比如 $f(x) = 5$，区间 $[0, 2]$。积分是 $5 times 2 = 10$。平均高度 $10 / 2 = 5$。方程 $5=5$，根能够是任何数，比如 $1$。$1$ 自然在 $[0, 2]$ 里。 再寻思个反例，假设函数在 $[0, 2]$ 上一直是 $x^2$。积分 $int_0^2 x^2 dx = 8/3$。平均高度 $(8/3) / 2 = 4/3$。方程 $x^2 = 4/3$。根是 $frac{2 pm sqrt{4-4times4/3}}{2}$？不对，$x^2 = 4/3 Rightarrow x = frac{2}{sqrt{3}} approx 1.15$。$1.15$ 在 $[0, 2]$ 里。 哎呀，是不是我一启动就预设了“存有”？实际上定理是说“存有”。
要是找不到，那定理就失效了。
那啥时候找不到呢？要是函数在整个区间 $[a, b]$ 上都没有变号，并且一辈子大于等于某个值，要么一辈子小于等于某个值。
比如 $f(x) = 100$。
这时候平均高度是 $100$。方程 $100=100$，根能够是 $x$ 任意值，比如 $0$。$0$ 在 $[0, 2]$ 里。还是能找到。 要不就……函数本身就不连续，要么在区间内不知足某种条件？不，积分中值定理的前提函数定义在闭区间上，且黎曼可积。对于连续函数，它肯定处处知足这个条件。
故此理论上，只要函数连续，针尖一定能扫到那个“活”的点。 那有没有可能扫不到？比如函数在区间上全是负数，但绝对值挺大。
比如 $f(x) = -10$，区间 $[0, 1]$。积分 $-10$，平均 $-10$。方程 $-10 = -10$，根能够是 $0$。在区间里。 要是函数本身就不知足函数值介于两端点值之间，那更不可能。
比如 $f(x) = 100$ 在 $[0, 2]$。平均高度 $50$。$f(x)=50$ 有无数解，比如 $1$。在区间里。 看来，只要函数连续，这针就保准能投中。
这针不偏不倚，就在那里。
这就是积分中值定理的浪漫之处。它证明白别看我们不知道具体哪个点，但我们知道针一定在某个地方，并且那个地方的高度就是整个区间的平均高度。 再深究一下这个“平均高度”的物理意义，仿佛更像是在说“某一段长度上的平均温度”。假设你在冬天从 $0^circ$ 走到 $30^circ$，不管路如何样，你路上某个时刻的平均气温是 $15^circ$。积分中值定理告诉我们，确实存有某一个地点，那里的气温恰好是 $15^circ$。
这气温就是 $frac{1}{L} int T ds$。
这气温既大于起点 $0$ 又小于终点 $30$。
那这个气温的 $15^circ$ 对应的地点在哪儿？肯定在你往中间走的时候。 自然，要是气温一直在 $20^circ$ 上下波动，那平均温度是 $15^circ$，那肯定有地方是 $15^circ$。
要是气温一直在 $10^circ$ 或 $20^circ$，那平均温度也是 $15^circ$，那肯定有地方是 $15^circ$。
这逻辑是严密的。 实际上，这个定理还有个挺有意思的性质：要是你把函数画出来，它应当像一个“波浪线”，中间高两边低，要么中间低两边高。
要是它是一条直线，那它平均高度就是中间点的高度。
要是它是波浪线，那它穿过平均高度的地方，挺可能就是那个“波峰”要么“波谷”附近的区域。 再举个例子，$f(x) = sin x$，区间 $[-pi, pi]$。$f(-pi)=0, f(pi)=0$。平均高度 $0$。方程 $sin x = 0$，根是 $kpi$。在 $[-pi, pi]$ 里的根有 $-pi, 0, pi$。起码有一个在区间里，自然不是只有一个。 要是区间不是对称的，比如 $[1, 3]$。$f(1)=0, f(3)=-2$。平均高度 $-1$。方程 $sin x = -1$？不对，是 $f(x)= -1$。$x = -pi/2 + 2kpi$。在 $[1, 3]$ 里，$f(x) = sin x$ 是负数，大约在 $2$ 到 $3$ 之间。
比如 $x=2$，$sin 2 approx 0.9$，接近 $0$，但实际应当是 $-1$。解 $x = -pi/2 approx -1.57$，不在区间。
什么的，$sin x$ 在 $[1, 3]$ 的最大值是 $0$（在 $x=pi approx 3.14$ 附近），最小值是负数。在 $[1, 3]$ 上，$sin x$ 从 $0.84$ 降到 $0$？不对，$sin 1 > 0$，$sin pi = 0$，$sin 3$ 是负的。
故此最小值是负数。平均高度是负的。方程 $sin x = text{平均}$。肯定有根。 这个定理确实挺像一条隐形的弦。它告诉你，在这个弯曲的曲线上，总有一半的“长度”对应的函数值等于平均值。
不管这条线如何弯，线内侧那段曲线，它总的“面积”（积分）一定等于那条“弦”对应的面积。平均高度就是这个弦的高度。针尖不偏不倚，就夹在弦的中间。 故此，甭管函数是凸是凹，是单调是波动，只要它在闭区间上连续，你就放心大胆地信任，一定存有一个 $xi in (a, b)$，使得 $f(xi)$ 等于 $frac{f(a)+f(b)}{2}$。
这个值，就是平均高度。
这个点 $xi$，就是那个救命的针尖。它稳稳地插在那里，高度完美契合。 再具体算个数据吧。$f(x) = x^3 - 3x$ 在 $[0, 2]$。$f(0)=0, f(2)=8-6=2$。平均高度 $1$。积分 $int_0^2 (x^3 - 3x) dx = [frac{x^4}{4} - frac{3x^2}{2}]_0^2 = frac{16}{4} - frac{12}{2} = 4 - 6 = -2$。
什么的，平均高度是 $-1$。方程 $x^3 - 3x = -1 Rightarrow x^3 - 3x + 1 = 0$。试根，$x=1$ 时 $1-3+1=-1 ne 0$。$x=0.5$ 时 $0.125 - 1.5 + 1 = -0.375$。$x=0.3$ 时 $0.027 - 0.9 + 1 = 0.127$。存有根在 $[0.3, 0.5]$ 之间。$0.4$ 时 $0.064 - 1.2 + 1 = -0.136$。$0.35$ 时 $0.043 - 1.05 + 1 = 0.003$。
故此 $xi approx 0.35$。$0.35$ 在 $[0, 2]$ 里。$f(0.35) = 0.35^3 - 3times 0.35 = 0.042875 - 1.05 = -1.007$。
这接近 $-1$。计算对。 看来，这个定理不只是是个公式，它揭示了函数之间深刻的联系。它说，一个复杂的、多变量的函数，它的积分结局，一直能够被一个好办的线性平均所“抓住”。
那个被抓住的点，就是那个神奇的 $xi$。它不找特殊的点，它找的是“平均位置”。 最终总结一下，积分中值定理就是告诉我们：在闭区间上，定积分的值，一辈子等于函数值乘以区间长度。而这个函数值，一定等于函数在区间上所有点的平均高度。且该函数值介于区间端点函数值之间。且存有一个点，其函数值恰好等于这个平均高度。
这个点，就是积分中值定理保证存有的唯一性保证。 自然，要是函数不连续，要么定义域不连通的，要么函数值本身就不知足介于两端点之间，那针尖可能就找不到。但大多数情况下，只要函数正常，针尖就一定能找到。
这就像数学里最完美的“存有性定理”一样，它说“有”，不管“在哪”。