反函数存在定理概念-反函数存在定理

函数变数 $x$ 在 $y$ 那边儿，实际上我们常把它叫反函数，这名字听着挺学术，但说白了就是个把“哪位对应哪位”这事儿弄反了。代数上就是解掉 $X$ 和 $Y$ 互换位置，剩下的还在原处，剩下的都是真；真函数变个号，但务必得是“真”变“真”，要是“假”变“假”，那这就不是反函数了。 咱们说反函数存有定理，这玩意儿最早是 19 世纪末被勒贝格这位大牛确立的，把微积分右边那套硬生生搬进微分方程左边去。在此之前，微积分只管右边，微分方程只管左边，中间那口子堵死了几百年。直到勒贝格，才敲开了这门课。 这东西不光能解决存有性，还能解决唯一性，那是直接。存有就是说，只要 $x$ 在 $y$ 的某个区间上变化，$y$ 在 $x$ 的对应区间上就能取到；唯一性就是说，只要 $x$ 在 $y$ 的某个区间上，对应的那个值 $y$ 也就只有一个。
这俩一块儿来，才算个整个的函数反函数。 你得先有个 $x$ 和 $y$ 的函数得知足啥条件才能反出来？先说定义域，这是最关键的。
比如 $x = y^2$，这玩意儿在 $x>0$ 的区间上反出来就是 $y=x$，在 $x<0$ 的区间上就反不出啥了，出于开根号后只剩正数。
故此反函数的定义域往往要比原函数的值域小。再就是单调性，单调的方子，要么木架子，你往两边一推，肯定能落回原位；不过要是是 $x^3$ 这种，两边都能变回 $x$，那就既不是单调也没法用单调去判断反函数了，这时候得看整个定义域，不能只看局部。 例子局部数据。 我就拿 $y = x^2$ 当例子，这个函数没啥难题，但在 $x>0$ 的时候，$y=x$ 就行了，但在 $x<0$ 的时候就没法单做 $y=x$ 了，务必得说清楚，$x$ 务必大于 0。再比如 $y = x^3$，这个函数没毛病，$x$ 能够取任何值，$y$ 也能够，这时候反函数就是 $x = y^2$。再看一个函数，$y = ln(x)$，这玩意儿在 $x>0$ 的时候，$y$ 能够取任意实数，故此反函数 $x = e^y$ 也是没难题的。 还有几个，像 $y = x^4$，反函数在 $y>0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$，在 $y<0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$。
要么 $y = x^5$，这个函数在 $x>0$ 时，$y$ 能够取任意实数，反函数 $x = y^{1/5}$ 也是没难题的。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 实际上 $y = x^2$ 在 $x>0$ 时 $y=x$，在 $x<0$ 时 $y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 这些例子数据都挺实在的，有的函数能反出来，有的不能。 看 $y = sin(x)$，这个函数在 $x in [-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 时，$y$ 能取到任意实数，故此反函数 $x = arcsin(y)$ 也是没难题的。再比如 $y = e^x$，这个函数在 $x in mathbb{R}$ 时，$y$ 能取到任意大于 0 的实数，故此反函数 $x = ln(y)$ 也是没难题的。 还有一类情况，比如 $f(x) = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 还有几个，像 $y = x^4$，反函数在 $y>0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$，在 $y<0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$。
要么 $y = x^5$，这个函数在 $x>0$ 时，$y$ 能够取任意实数，反函数 $x = y^{1/5}$ 也是没难题的。 实际上 $y = x^2$ 在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 这些例子数据都挺实在的，有的函数能反出来，有的不能。 看 $y = sin(x)$，这个函数在 $x in [-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 时，$y$ 能取到任意实数，故此反函数 $x = arcsin(y)$ 也是没难题的。再比如 $y = e^x$，这个函数在 $x in mathbb{R}$ 时，$y$ 能取到任意大于 0 的实数，故此反函数 $x = ln(y)$ 也是没难题的。 还有一类情况，比如 $f(x) = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 还有几个，像 $y = x^4$，反函数在 $y>0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$，在 $y<0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$。
要么 $y = x^5$，这个函数在 $x>0$ 时，$y$ 能够取任意实数，反函数 $x = y^{1/5}$ 也是没难题的。 实际上 $y = x^2$ 在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 这些例子数据都挺实在的，有的函数能反出来，有的不能。 反函数存有定理这东西，不光能解决存有性，还能解决唯一性，那是直接。存有就是说，只要 $x$ 在 $y$ 的某个区间上变化，$y$ 在 $x$ 的对应区间上就能取到；唯一性就是说，只要 $x$ 在 $y$ 的某个区间上，对应的那个值 $y$ 也就只有一个。
这俩一块儿来，才算个整个的函数反函数。 你得先有个 $x$ 和 $y$ 的函数得知足啥条件才能反出来？先说定义域，这是最关键的。
比如 $x = y^2$，这玩意儿在 $x>0$ 的区间上反出来就是 $y=x$，在 $x<0$ 的区间上就反不出啥了，出于开根号后只剩正数。
故此反函数的定义域往往要比原函数的值域小。再就是单调性，单调的方子，要么木架子，你往两边一推，肯定能落回原位；不过要是是 $x^3$ 这种，两边都能变回 $x$，那就既不是单调也没法用单调去判断反函数了，这时候得看整个定义域，不能只看局部。 例子局部数据。 我就拿 $y = x^2$ 当例子，这个函数没啥难题，但在 $x>0$ 的区间上，$y=x$ 就行了，但在 $x<0$ 的区间上就没法单做 $y=x$ 了，务必得说清楚，$x$ 务必大于 0。再比如 $y = x^3$，这个函数没毛病，$x$ 能够取任何值，$y$ 也能够，这时候反函数就是 $x = y^2$。再看一个函数，$y = ln(x)$，这玩意儿在 $x>0$ 的时候，$y$ 能够取任意实数，故此反函数 $x = e^y$ 也是没难题的。 还有几个，像 $y = x^4$，反函数在 $y>0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$，在 $y<0$ 时是 $x = pm y^{1/4}$。
要么 $y = x^5$，这个函数在 $x>0$ 时，$y$ 能够取任意实数，反函数 $x = y^{1/5}$ 也是没难题的。 实际上 $y = x^2$ 在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 要是 $y = x^2$，在 $x>0$ 时，$y=x$；在 $x<0$ 时，$y$ 能够取任意实数，但 $y$ 务必大于 0。 这些例子数据都挺实在的，有的函数能反出来，有的不能。