积分中值定理视频讲解-积分中值定理视频详解

说起积分中值定理，大量人第一反应就是“定积分等于啥”的公式，认定那是数学里的最高楼。
实际上啊，这个定理真正让你省心的时候，往往不是算出等于 $frac{1}{a+b}$ 那个结局，而是当你面对一堆乱七八糟的曲线，死活算不出平均高度的时候，突然灵光一闪，发现“哎，那个平均值一定在哪条横坐标上取到”。
这就像是你手里拿着一个装满金币的袋子，总重量是不变的，但要是你不知道这袋子的总价值是多少，也不知道每一块硬币是不是都一样大，这时候你就连不需求知道具体的重量，只需求知道“某一刻，袋子里的金币总量刚好等于这里面的平均价值重量”这个事实，就能让你心安。 我们一般把积分比作你跑了一趟马拉松，路程是积分，跑的速度是函数 $f(x)$。
要是你知道总路程，你是不是就能直接算出你的平均速度？理论上，是的，等于总路程除以总工夫。但这在生活里特别难搞，出于你得知道每一秒你是在跑、是在停、还是在摔跟头。积分中值定理就给了你一个魔法咒语，告诉你：不管你在哪一刻的状态多变态，哪怕你刚刚摔了一跤，哪怕你刚刚还哼着歌，哪怕你刚刚脚还在打滑，只要你把这一整段马拉松跑下来，最终算出来的那个“平均速度”，一定在某一个确切的工夫点 $xi$ 那一瞬间，刚好等于你的实际速度。在这个时刻，你的脚落地是稳的，不是滑的；你的呼吸是稳的，不是喘的。
这就是“存有”的含义，只要存有，你就是稳的。 为了把这个概念落地，我们不妨拿个具体的例子。假设你要爬楼梯，步数固定，总高度是 10 米，但你不知道每个人的爬坡速度是不是都一样。你可能有人走得特别快，回头一看，脚底板都磨破了；有人走得特别慢，累得直不起腰。
这时候你没法说“大家平均下来每分钟走 100 米”，出于你不知道具体哪个人。但你能够用积分中值定理来思索：既然总高度定了，总工夫也定了（假设大家步速差不多），那么我们一定能在某一个时刻 $xi$ 找到一个人，让他爬的进度和平均进度彻底对齐。具体来说，要是我们定义函数 $f(x)$ 代表第 $x$ 分钟爬了 $f(x)$ 米（假设 x 是工夫，f 是爬升量），那么要是我们积分出了总爬升，除以总工夫，拿到的结局一定在哪儿？一定在某个人爬爬停停的那个瞬间。
那个瞬间，那个人的爬升量就是平均爬升量。你不需求去判断那个人的步伐是快是慢，你只需求在那个特定的工夫点，确认一下你的算法输出值，是不是正好对应那个人的实时状态。
要是不一样，说明算法错了，要么你列的不整个。但定理保证的是：一定有一个人在那个特定的工夫点，刚好“刚好”匹配。 说到这个，你可能会认定有点抽象，那如何证明呢？实际上证明过程挺好办的，并且充满了逻辑的幽默感。我们假设积分中值定理是假的，意思是：对于任意给定的函数和区间，平均高度一辈子都不可能在某个人身上“存有”。
那我们能够构造一个反例。
比方说，在一个小区里随机选 100 个人，每个人每分钟爬 1 米，要么 0 米。
要是你随意选一个点，比如第 1 分钟，那个人的爬升量是 1，平均爬升量也是 1，这不就存有了吗？要是你选第 0.1 分钟，那人的爬升量是 0.1，平均还是 1。
这里有个陷阱，平均函数是常数，任何点都知足。
那如何证明不成立？关键在于函数的波动。
要是函数是波动的，比如先快后慢再快。我们选一个点，发现那个人的速度没变，可是平均速度变了。
这时候你就知道，那个特定的点，刚刚可能是慢的，目前是快的，只有在你切换的一瞬间，要么在你切换到另一种状态的那一瞬间（比如第 20 秒落地的那瞬间），那个人的状态才和平均状态完美重合。
这就是蝴蝶定理，蝴蝶翅膀一振，气流就乱了，你哪都能飘，但你总能在某一刻的特定时刻，撞进那团乱流里。 再换个角度想，积分中值定理实际上是做减法。
你看，定积分 $int_a^b f(x)dx$ 代表的是面积，而矩形面积是底乘高。
要是你用无数个高度为 $f(x_i)$ 的小矩形去拼凑，总高度一辈子是 $M$。但要是你用无数个高度为 $h$ 的小矩形去拼凑，总高度一辈子是 $h$。
那么这两个面积之差，$int_a^b f(x)dx - M(b-a)$，理论上不能为零。但要是我们设 $f(x) = M$，那它们的面积就彻底一样。
难道说积分就等于平均值拿到，只是一个巧合？不是的，而是说，函数 $f(x)$ 和平均函数 $frac{1}{b-a}int_a^b f(x)dx$ 在某一点 $xi$ 处相等。
这听起来像是在说“函数等于常数”是成立的，那函数就是常数。
可是函数不是常数啊！
那为啥能相等？出于函数 $f(x)$ 和常数函数 $M$ 之间有一个“差距”，而这个“差距”的大小，在长度 $b-a$ 这个维度上，是守恒的。
这个守恒的“差距”，就是积分中值定理要寻找的那个点。 举个生活中的粗线条例子。你有一根绳子，总长度是固定的。你把它切成几段，每一段切得都不一样，有的切得长，有的切得短。
要是你把每一段都放大，变成一张纸，最终拼起来，结局还是一根绳子，长度没变。
这时候，你拿尺子量绳子，会发现长度等于总平均长度。但这并不意味着绳子上的每一段长度都等于平均值。比方说，第 1 段长 5，第 2 段长 5，平均是 5。
那你量第 1 段，发现 5 等于平均值。
那你量第 2 段，发现 5 也等于平均值。但这可能是一个巧合。
要是第 1 段是 10，第 2 段是 2，平均也是 6。
那你量哪一段等于 6？肯定有一段等于 6。
难道两条绳子长度务必彻底相等？不会。但你一定能在某一段上，找到那个“刚好”等于 6 的长度。
这就是积分中值定理在物理上的直观翻译：在工夫的流里，总长度守恒，故此总长度一定在某一个“切片”上，等于平均长度。 实际上这个定理还有个挺有意思的推论，叫施瓦茨中值定理（Schwarz Mean Value Theorem）要么洛必达法则的变体。它跟导数关系挺大。
要是你有一个连续函数，并且导数存有（比如函数是光滑的），那么平均变化率一定在某一点等于导数。
这在物理上意味着，你的平均加速度，一定在某一个瞬间等于你的瞬时加速度。你不需求算出全程的加速度曲线，只需求找到那个“最像平均加速度”的那一个点。
这个点可能是你踩刹车的那一瞬间，也可能是你匀速行驶的那一瞬间。但定理保证的是：不管你是如何加速的，不管你经历了多少次减速和加速，最终算出来的平均加速度，一定在某一个确切时刻，等于你的瞬时加速度。
这简直就是把“平均”和“瞬时”这两个对立的概念，强行捆绑在了一起。 你可能会问，那要是函数不连续如何办？比如函数有跳跃，要么有无穷间断。
这时候“某一点”该如何定义？实际上定义不需求那么严格。
只要函数在区间内连续，哪怕有无穷多个间断点，只要气体分子有万个，总分子数还是有限个（假设气体分子数有限），那么总分子数除以总体积，拿到的平均密度，一定在某一个气体分子所在的位置，等于总体平均密度。
这就是著名的气体定律的莫 Reid 中值定理。物理上，气体的微观状态（分子位置、动量）是连续的，故此宏观的平均状态一定在哪一个微观状态身上体现出来。
这就像你房间里有大量灰尘，你随时能够摸到一个灰尘，那个灰尘的位置，就对应了房间里灰尘密度的平均值。 自然，这个定理也有它的边界。它只能保证“存有”，不能保证“唯一”。
有时候平均速度等于 10 的，有无数个可能的位置。
这时候你只需求知道“有”就行，不用管有多少个。
这听起来有点缺，实际上挺准的。出于数学这东西，有时候缺了“唯一”，反倒多出了“存有”的确定性。你不需求去证明有个人在某时刻刚好等于平均值，你只需求承认，那个人（要么那个工夫点）是存有的。
这就像你是人，是男的，是女的，是男孩，是女孩，你不必知道具体是哪个个体，只要承认“有人”是男/女/男/女的，这个命题就成立。 最终回过头看看那个例子。假设是一个曲线，先往上爬，再往下掉，再往上跳。你积分出总面积是 100。
要是你算出平均高度是 10。
那么定理断言：肯定在某一个 $x$ 值，那里的函数值 $f(x)$ 等于 10。你不需求去遍历每一个可能的 $x$，那些地方可能都不对。但肯定有一个 $x$，在那里，函数值正好踩住了 10。
这就是定理的核心力量：把“全局”的属性（平均值），强制“局部”地体目前某一个点上。 故此，下次当你面对一个复杂的积分计算，实在算不出结局的时候，别急着翻计算器。
不妨想一想，这个平均值，是不是就藏在某个工夫的具体数值里？
是不是就在那个特定的时刻，那个特定的状态，和平均值达成了某种神秘的和谐？别急着去验证大家都一样，也别急着去证明大家都不同。
只要记得那个“存有”二字，你就已经拥有了积分中值定理的全体力量。它告诉你，数学世界里，平均这件事，压根儿没有真正消亡过，它化作了某个点的秘密，静静地在某个时刻，等你去揭开。