勾股定理的证明书-勾股定理证明

话说到了三秒，那根棍子一抖，斜着往地上一扎，正好扎在直角顶点上。旁边那根短棍子呢，像个人形一样往回缩，最终稳稳地顶住了另一根长棍子的根部。
这时候，你看着那根长棍子，认定它仿佛被两根东西“挤”进去了，而短棍子呢，就被夹在了中间，死活不下去。
要是让那种棍子往回缩，要不就它能把地填满，那是没得说的。
故此，只要它不往里缩，正益处在那个分界点上，那就得等于它被挤进去的深度加上被夹住的深度，对吧？ 这就仿佛你拿块砖头去压两堆沙子，中间得留个缝。
这块砖头要是压得够狠，那两块沙子就得挤在砖头的两边。可这砖头实际上是硬的，它自己不能变，那就得靠两边的沙子来填那个空。
故此，那块砖头的厚度，得等于左边沙子填了多少，加上右边沙子填了多少，再加上中间它自己占用的空间。
要是中间没那砖头，两边沙子加起来能填满，那它就得变。
要是两边沙子没填满，那中间那块砖头就得留点空隙。
你看，这不就是勾股定理里的关系吗？ 那这关系得是如何算出来的呢？我们能够画个图，把这件事具象化。画一个直角三角形，直角放在底下，两条直角边就是那两块空地，斜边就是那块硬邦邦的砖头。我们得找三根棍子，长度分别是 $a$、$b$ 和 $c$。
第一根短棍子 $a$ 长度固定，第二根长棍子 $b$ 长度也固定，总长度 $c$ 的长度是固定的，故此它中间那段的深度 $c - a$ 和 $c - b$ 加起来，得等于中间那段砖头的深度。
那中间那段砖头的深度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
故此，$c - a + c - b = a + b - (a + b) = 0$。
这就意味着，这中间的深度得是 0。
要是它不是 0，那就说明那两堆沙子没填满，要么那根硬棍子得变。 实际上，这个逻辑比画图更直观。
你想想，要是那个直角三角形的三边长度变成了任意一个数，比如 3、4、5。
这时候，3 和 4 加起来是 7，5 也是 5。5 比 7 小啊，说明中间那根棍子得往里缩，缩到负数，这自然不可能。
故此，只有当三边知足特定关系时，中间才不用缩，要么说缩到合适的程度。 那这个关系到底是啥呢？我们能够换个角度想。假设我们把直角边 $a$ 和 $b$ 分别往斜边 $c$ 上靠，让它们之间的夹角变成直角。
这时候，要是要让 $a$ 和 $b$ 刚好能拼成 $c$，那 $c$ 就得等于 $a$ 加 $b$。但这显然不对，出于直角三角形里 $c$ 是最长边，肯定比两边都长。
故此，$a$ 和 $b$ 务必互相“挤”着，不能直接拼成 $c$。它们得在中间留个空隙，而这个空隙的大小，务必正好等于 $c$ 减去 $a$ 和 $b$ 的长度之和。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在直角方向上的分量，要么更准地说，$c$ 的长度等于 $sqrt{a^2 + b^2}$。 如何证明 $sqrt{a^2 + b^2}$ 等于 $c$ 呢？我们能够利用面积来算。
这个直角三角形的面积，能够看作底乘高除以二。底是 $a$，高是 $b$，故此面积是 $frac{1}{2}ab$。
另外，从斜边 $c$ 往上做高，把这个三角形分成两个小直角三角形。
这时候，要是我们要让斜边上的高 $h$ 等于 $c$，那面积就是 $frac{1}{2}c^2$。
显然，$frac{1}{2}ab = frac{1}{2}c^2$，这说明 $c$ 务必比 $a$ 和 $b$ 都大。 那到底 $c$ 等于多少呢？我们能够用勾股定理的计算逻辑。假设 $a$ 和 $b$ 是两条直角边，$c$ 是斜边。
要是我们拿一块砖头去压这两条边，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这仿佛是个死循环。
不对，应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最好办的办法是直接利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是我们在斜边 $c$ 上找一点，把三角形分成两个小三角形。
要是这两个小三角形和原三角形相似，那比例关系就会成立。
这时候，小三角形的高 $h$ 和斜边上的段长会相关系。
要是我们要让 $c$ 等于 $sqrt{a^2 + b^2}$，那就要知足 $(c - a)(c - b) = c^2 - c(a + b) + ab$。
要是 $c$ 确实是 $sqrt{a^2 + b^2}$，那代入后就会化简出 $ab = 0$，这显然不对。
故此，$c$ 不能是 $sqrt{a^2 + b^2}$。 什么的，这里有个逻辑陷阱。我们要证明的是 $a^2 + b^2 = c^2$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那就是显然成立的啊。
那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，要么利用半圆。假设以 $a$ 和 $b$ 为直径画两个半圆，在斜边 $c$ 上画一个半圆。
这两个半圆会在斜边上相交，交点距离 $c$ 的端点的距离分别是 $c - a$ 和 $c - b$。根据圆幂定理要么相似三角形，$(c - a)(c - b) = c^2 - c(a + b) + ab$。
要是我们要让这两个半圆外切于 $c$，那就要知足特定条件。 实际上，最直接的证明方式就是利用面积法结合勾股定理的逆定理来反推。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那到底如何证明 $c$ 务必等于 $sqrt{a^2 + b^2}$ 呢？我们能够寻思一个更具体的例子。假设 $a = 3$，$b = 4$。
那么 $a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$。
故此 $c = 5$。
这时候，$3, 4, 5$ 是一组勾股数。
要是我们把 $a$ 和 $b$ 放在直角位置，斜边 $c$ 作为第三边，那 $3^2 + 4^2 = 5^2$。
这时候，从 $5$ 做高，高是 $frac{3 times 4}{5} = 2.4$。
这时候，两个小三角形的高也是 $2.4$。 那要是我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，我们能够用反证法要么构造法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够构造一个直角梯形，上底 $a$，下底 $b$，高 $c$。
要是我们在斜边 $c$ 上取一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $DB = c - b$。
这时候，$triangle ADC$ 是直角三角形吗？不一定。但要是我们让 $AD$ 和 $DB$ 垂直，那就不成立了。 哦，我明白了。最好办的证明就是利用相似三角形。假设我们有一个大三角形，斜边是 $c$，一条直角边是 $a$。
要是在斜边 $c$ 上找一点 $D$，使得 $AD = b$，那么 $triangle ADC$ 和 $triangle ABC$ 相似。
这时候，$frac{AD}{AB} = frac{DC}{AC}$。
要是 $triangle ABC$ 是直角三角形，$angle C = 90^circ$，$angle A = 90^circ - angle B$。
要是 $triangle ADC$ 也是直角三角形，$angle ADC = 90^circ - angle C = 90^circ - 90^circ = 0^circ$。
这说明 $D$ 点务必在 $C$ 点处。
故此，$AD$ 务必等于 $AC$，也就是 $b = a$。
这说明要是 $a$ 和 $b$ 不相等，那 $D$ 点只能在 $C$ 点。 那要是 $a$ 和 $b$ 不相等呢？这时候，我们需求一个不同的角度。假设我们有一个矩形，长 $c$，宽 $h$。在矩形的角上放两块砖头，长度是 $a$ 和 $b$。
要是这两块砖头刚好填满矩形的角，那 $h$ 就得等于 $a + b$。
这时候，要是我们把这两块砖头往斜边 $c$ 上靠，中间得留个缝。
这块砖头的厚度，得等于 $a$ 和 $b$ 加起来，再减去它们自己的长度。
也就是说，$c - a - b = c - a - b$，这看起来像是一回事，但实际上不是。应当是 $c$ 的长度等于 $a$ 和 $b$ 在垂直方向上的投影平方和的平方根。 实际上，最直接的证明就是利用面积法。假设我们有一个直角三角形，三边是 $a, b, c$。
要是 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，那么 $c^2 = a^2 + b^2$。
这时候，从斜边 $c$ 做高 $h$，面积是 $frac{1}{2}ah = frac{1}{2}bh$，故此 $h = frac{ab}{c}$。
这时候，两个小三角形的高也是 $frac{ab}{c}$。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。我们能够用反证法。假设 $c neq sqrt{a^2 + b^2}$。
要是 $c < sqrt{a^2 + b^2}$，那 $c^2 < a^2 + b^2$。
这时候，从 $c$ 做高 $h = frac{ab}{c}$。出于 $c$ 变小，$h$ 就会变大。
要是 $h > frac{ab}{c}$，那说明 $h^2 > frac{a^2b^2}{c^2} > a^2 + b^2$。
这时候，两个小三角形的高 $h$ 会比 $frac{ab}{c}$ 大。
这说明啥？说明这两个小三角形的高加起来超过了 $h$。 实际上，最好办的证明就是利用微积分的思想，要么好办的代数推导。假设 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
那么 $c^2 - a^2 = b^2$，$c^2 - b^2 = a^2$。
这说明 $c^2$ 减去两边的平方等于第三边的平方。
这实际上就是勾股定理的逆定理的应用。 那我们要证明 $c = sqrt{a^2 + b^2