勾股定理前世今生-勾股定理前世今生

勾股定理：写在墙皮上的数学 先把那个在几千年前的麦积山石窟里，画着三角形图案的泥塑拿出来看看。泥塑匠人把颜料抹在墙上，画了一个直角，旁边随意写了一串数字。
那时候的人，连“平方”这个词都还没现世，他们就把边的长度一遍遍乘起来，加起来。
后来，工匠又在那儿画了一个斜边。当数学家们算出斜边的长度，正好是两条直角边长度平方和的平方根时，他们认定这忒神奇了，这玩意儿就成了一把万能尺，赶明儿不管画个圆也好，算个面积也罢，只要是有个直角的地方，就能用这个公式来算。 这玩意儿最早得推回公元前 8 世纪，在巴比伦王国人手里。他们没发明过“平方”这个概念，也不懂无理数，他们只是把数字堆进去，加一加，乘一乘，得出一个结局。结局是：三边长度分别是 12、36、40。
你看，两个直角边的平方加起来是 12 的平方（144）加 36 的平方（1296），等于 1440。而斜边的平方是 40 的平方，也是 1600。
哎？1440 还差 160，如何凑巧呢？他们发现，只要把 1440 乘上 1.111……，也就是 10/9，就正好凑出 160，而 160 开方正好是 40。
这就是著名的"12-36-40"直角三角形，专门用来演示勾股定理的。
这就是最原始的勾股定理，它说：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 接着，中国古代人把这事给弄明白了，并且比西方人早了大约两千年。公元前六世纪那会儿，我国就有数学家用“勾股”两个字来描述这个关系。
后来，韩愈在《李陵书》里，还骂过这种“勾股之术”不靠谱，认定这是神仙的法子，不懂物理。直到公元六世纪，卷二《勾股》一书的作者董仲舒，才把这天下的学术导向给定住了。他们发现，古人说的“勾”实际上就是直角边，被直角边压住的边叫“股”，斜着的边叫“弦”。目前的人都叫斜边“斜边”，实际上董仲舒名下那本书记里，用的是“弦”，还是那个最原始的称呼。
这就是勾股定理的正式诞生，也是一次真正的大科学发现。 到了古希腊，数学家们终于弄懂了“正方形”这些概念，他们启动用长度单位去度量。他们把直角三角形的两直角边长度平方加起来，算出总和，然后开根号，拿到斜边长度。
这个公式叫毕达哥拉斯定理，也叫勾股定理。
后来，这个定理在西方被称为了 Pythagorean theorem，专门给希腊人留个片名。 在欧洲，阿基米德是个大人物，他毕生都在研究圆的面积。他最早给数学家们提了一个建议，说“勾股定理是圆的面积公式”。
这话听着挺神，阿基米德认定圆里装的东西，实际上跟这个直角三角形的关系有得一拼。只不过，阿基米德用的是直径作为直角边，而不是现代的直角边。出于古代人算面积，一般是算半圆的，故此直径就是“半径”的两倍。他搞的是：直径的平方加上直径的平方，等于两倍的半径的平方。
这实际上就是勾股定理，只是单位不一样，角度的定义也不忒一样。 实际上，从最初的泥塑涂鸦，到巴比伦人的三角板，再到中国的《勾股》，最终到古希腊的毕达哥拉斯，这故事挺长，但核心逻辑一直在变。
不过，有个细节是挺关键的。在巴比伦人那里，他们算出来的三边长度是 12、36、40。
你看，这三角形是个扁长的，那个 12 的长度比 36 的长度要短大量。而古希腊人，根据毕达哥拉斯的定理，算出来的直角边长度是 3、4、5。
这三角形是个标准的直角三角形，比例是完美的 3-4-5。 为啥会有如此大的区别呢？巴比伦人算的 12-36-40 三角形，对应的角度大约是 11.1 度，90 度角，和 78.9 度。
这是他们为了教学撇脱要么凑数算出来的一个近似模型。而 3-4-5 模型，角正好是 90 度，两直角边比例是 3 比 4，这是最完美的直角三角形。 到了今天的中国，这幅图又有新的变化了。目前人们常说的勾股定理，对应的是 3-4-5 模型，也就是两直角边是 3 和 4，斜边是 5。
这个模型最早是我们在数学课上看到过的。3 乘以 4 等于 12，12 加 12 等于 24，5 的平方是 25，24 加 1 等于 25。
这公式在初中数学里教了多少遍，成了无数人的根本素养。 那巴比伦人如何回事？他们为啥偏偏选了 12-36-40 这个比例？实际上没那么神秘。巴比伦人可能为了计算撇脱，要么他们要画一个看起来不那么“标准”的三角形来演示，特意选了 12-36-40 这个三边。
这个三角形在几何上实际上是合法的，只要加上一对角，就能构成一个三角形。
后来，大量中世纪的人看到巴比伦的图，认定忒丑了，画得不对劲，就非要按照这个公式死板地画个直角，把边线画直了。
这才把那个近似模型给固化了。 故此，目前的“勾股定理”和古人的那个模型，实际上是一回事。只不过，目前的模型被夸大了，变得完美得像教科书上的图一样。巴比伦人的图别看丑，但比例是真的。而那个标准模型，是后来为了教学撇脱，把巴比伦的图略微“修”改了一下，把边线画直了。 从泥塑到纸莎草，从巴比伦黄金三角形到希腊毕达哥拉斯定理，再到中国勾股，再到现代 3-4-5 模型，这条线穿过了两千多年的文明史。它从一个泥塑匠人随手画的图案，变成了一门被推广到全球的数学。它说直角三角形里，两条直角边，平方和等于斜边平方。 你看，这故事挺有意思的，可是核心那个公式，从巴比伦的 12-36-40 到现代的标准 3-4-5，逻辑没变。
那就是勾股定理，直角边的平方等于斜边的平方。就如此好办。