商的极限的定理-商的极限定理

上节课讲完了，咱们直接切到核心。把定理的名词展开，那就是商的极限法则。好办说，就是两个极限求出来，直接算除法，结局等于各自极限的除法，前提是不能分母变成零。
这听起来忒顺眼了吧？别听那些老师念得那么嗨，实际上这玩意儿就是说，要是 A 的极限是无穷大，B 的极限也是无穷大，那 A 除以 B 的极限，能不能直接等于 A 除以 B？这题看似好办，但要是没条件，直接套公式，答案可能全是 0 要么乱七八糟的，彻底对不上现实。
故此，得先看看分子分母到底是如何跑的，不能硬算。 分子分母哪位快哪位慢，这得看极限本身。
比如分子是 $n$，分母是 $n^2$，那当 $n$ 往后跑的时候，$n$ 根本跑不动，它慢得像蜗牛，故此整个式子的极限得是 0。真好办，不用慌。但要是分子是 $n$，分母是 $sqrt{n}$，这就有意思了，分子跑得比分母快一截，结局就是无穷大。
这时候要是硬算 $n$ 除以 $sqrt{n}$ 的极限，大量人会迷糊，当作是个常数，结局错了。你得明白，分子跑得快，意味着比值会越来越大，最终冲个顶。 再看 $1 times infty$ 这类型，$1$ 一辈子等于 1，这是一个死胡同，死不死都得死，故此极限就是无穷大。而 $0 times infty$ 呢？这俩哪位快哪位慢得哪位也说不准，这就得剥开皮看看里面到底写了啥。
比如 $n$ 乘 $frac{1}{n}$，$n$ 跑得快，$frac{1}{n}$ 跑得慢，结局趋向于 1。再比如 $n$ 乘 $sqrt{n}$，结局趋向于无穷大。
有时候分子分母都跑得快，比如 $n^2$ 乘 $n$，那极限就是 $infty times infty$，这时候直接乘号积出来也不对，得先用代数变形把乘号拆开，变成加减乘除，再分项求极限。
这时候就得得得小心，别把加法当成乘法，千万别错了。 实际上啊，求极限这活儿，最忌讳的就是生搬硬套。就像开车，要是限速牌没贴清楚，要么路标掉了，你硬开，可能撞墙。求极限也是同理，公式只有别有用武之地，还得结合具体函数的走势。
比如 $1/x$ 当 $x$ 趋近 0 的时候，函数值会无限跳动，这时候就算 $0^0$ 也没用，得换个思路。
比如 $e^x$ 当 $x$ 趋近 $-infty$，那就是 0，当 $x$ 趋近 $+infty$，那就是无穷大。
这些根本线，你得熟记，别等老师讲的时候再翻书找。 还有啊，有时候极限是个不定式，比如 $1/sin x$，当 $x$ 趋近 0 时，$sin x$ 也是 0，那 $1$ 除以 0 是啥鬼？这就得用洛必达法则了，要么去有界性。
比如 $1/sin x$ 去掉括号变成 $sin x$ 的倒数，既然 $sin x$ 在 0 附近是个有界的数，那它的倒数肯定是不确定的，得重新算极限。
这时候要是直接分子分母一除，挺好办出错。你得把 $sin x$ 展开成泰勒级数，把它当成 $x$ 的二次项、三次项加起来，别偷懒只算一次。 还得提一下，求极限的时候，分母要是等于 0 如何办？这得分情况看。
要是是 $0/0$ 型，那是可导函数，用洛必达；要是是 $0/1$ 或 $0/0$ 的不定式，那得看分子能不能让分母不为 0。
比如 $1/(sin x - x)$，这玩意儿能不能去括号？不中，出于 $sin x - x$ 不等于 0，但这不代表分母整体不为 0。你得找点特殊的点，比如 $x = pi/2$，这时候分母是 1，没难题。但要是 $x$ 往 0 跑，分母是负数，那极限可能是负无穷。
这时候不能随意填个数字，得看函数的具体图像，别被符号搞晕。 并且啊，有时候极限是 $infty$，直接写 $infty$ 没难题，但有时候 $infty - infty$ 就得算，出于这两个无穷大是抵消的，结局是个有限数。
比如 $1/x - 1/x^2$，当 $x$ 挺大时，$1/x$ 主导了，结局就是 0。但要是 $1/x - 1/sqrt{x}$，那 $sqrt{x}$ 也主导了，结局还是 0。
这时候要是硬算，好办把两项都当 $infty$ 来减，结局就是错的。你得学会识别哪个项是“高高大”，哪个是“低低大”，大的是哪位，哪位就拍板了整个式子的走向。 最终还得说说如何定义这几个符号。$0$ 是实数，$1$ 是实数，$infty$ 是无穷大，$infty - infty$ 是未定式。
这些词，别忒当回事，它们只是代表一种状态。
比如 $1/0$ 就是没定义的，不存有；$sin x$ 的最大值是 1，故此 $1/sin x$ 的最小值不存有。
这些东西是基础，别搞混了。 总而言之啊，求极限这玩意儿，核心就在于“观察”和“判断”。别死记硬背步骤，要会看函数跑得快不快。
要是分子分母里，哪一项跑得慢，那整个式子就归它了。
要是哪位跑得快，那式子就归它了。
要是哪位都差不多，那就是不定式，就得找特殊点要么泰勒展开。别光看公式，要看图，要看函数的节奏。
只要你能看出哪个局部占主导地位，大局部难题都能自己解决。别总想着套公式，有时候公式也用不上，得靠直觉。 好啦，今天的课就上到这里。
记住，求极限不是做题，是跟函数打交道。别被那些死板的规则卡住，你得懂函数的脾气。下次遇到生涩的极限，先别急着写过程，先问自己：分子分母哪位快？哪位慢？哪位大？哪位小？想清楚了，再动笔写，肯定比瞎蒙强多了。