微分中值定理证明技巧-微分中值定理证明技巧

泰勒展开在洛必达法则出现前的回响 在微积分的早期，我们处理极限的时候，脑子里装的全是罗素那种“连参数都设得乱七八糟”的推测，结局证明这些猜都不对。
后来牛顿把这一套拆碎了，一边写导数方程，一边心里盘算着能不能凑出这个公式。直到我目前回头看，你会发现牛顿实际上也没逃过这个难题，只是他把“凑”这个动作藏进了无穷小量里，说那是“极限过程”的魔术。 当 $x to 0$ 的时候，$frac{1}{x}$ 和 $ln x$ 打架，哪位大哪位小？那时候大家不约而同地想要找个 $x$ 值，哪怕这个 $x$ 是绝对无理数，只要它充足接近 $0$ 就行。但实际上这根本不是办法。
要是非要硬凑，就得先把 $x$ 拆成无限个无穷小量加起来，这在当时看来就像是在沙滩上盖楼房，风一吹就倒。
后来亚里士多德的演绎法被抛弃了，取而代之的是经验归纳，但这也不是好办法，出于真正强大的工具是在做减法，把富余的那堆无限小量删掉。 看这个例子，$lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$，要是直接套公式，分子分母随意换一下位置，那这个极限就得等于 $1$。但要是随意换个角度，把 $x$ 换成它的反正弦值，分子分母又变回了 $1$ 和 $1$，结局还是 $1$。
这说明啥？说明极限和你把 $x$ 放大或缩小多少没关系，跟你的代数形式实际上是一回事。 真正的考验在于那些“软骨头”函数。
比如 $frac{x}{sin x}$，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，分母略微大一点点，分数值就略微变小一点点；分母略细小一点点，分数值就略微变大一点点。
这就像一把剪刀，手轻轻提一下，它就微缩；手略微用力一捏，它就微缩得更了得。但在极限的世界里，这种细微的差别会被忽略。 再比如那个著名的 $frac{1-e^x}{x}$。当 $x$ 趋近 $0$ 时，分子里的 $e^x$ 和 $1$ 简直一样，它们的差就是那个 $x$ 本身乘以 $e^x$ 的近似值。
原本这个式子看起来像个死胡同，如何凑都不对。但要是我们换个思路，把 $x$ 变成无穷小的倍数，比如 $x = epsilon h$，那么分子就变成了 $1 - (1+epsilon h)'$，也就是 $-epsilon h$ 乘以 $(1+epsilon h)^{-1}$。
这时候，别看分子分母都有 $epsilon$，但它们的高阶无穷小量（比如 $epsilon^2$）在极限的时候是“静悄悄”的，彻底不影响结局。 这就引出了泰勒公式的前身。
当时的人还没学会用无穷小量统一处理这些高阶项，他们只能一个个地数。
比如 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开，实际上就是说，只要 $x$ 够小，$e^x$ 就等于 $1 + x + frac{x^2}{2!} + dots$。
这时候，$x^2$ 这一项别看比 $x$ 大，但只要 $x to 0$，它带来的影响就小到能够忽略不计。
这就好比在大海里捞针，你不用管那根针有多重，只要它漂在忒阳落下的那一刻，它就等于零。 回到那个 $lim_{xto 0} frac{ln x}{x}$ 的例子。
要是直接套公式，分子是 $ln x$，分母是 $x$。当 $x to 0$ 时，$ln x$ 趋向负无穷，$x$ 趋向 $0$，这就变成了“负无穷除以零”的死亡游戏。
这显然不对，出于函数在 $x=1$ 处才是 $0$，在 $x=0.0001$ 处只是略微大了一点。
这时候就需求引入“等价无穷小”。 大家知道 $x sim x^2$ 这种关系吗？就是说当 $x to 0$ 时，$x$ 和 $x^2$ 是等价的，都能代表那个趋近于 $0$ 的细小量。
那么 $ln x$ 呢？当 $x to 0$ 时，$ln x$ 是个负无穷大，但它和 $x$ 比呢？$x$ 别看小，但它是正数；$ln x$ 是负数。
故此它们不是同级别的。
这时候就要把 $x$ 拆开，要么别的啥。
实际上最好办的办法是看着极限的性质，$lim_{xto 0^+} frac{ln x}{x} = -infty$。
这就像两个人打架，$ln x$ 是那个脾气急躁的负无穷，$x$ 是那个轻飘飘的 $0$，哪位赢哪位输都不关键，关键的是哪位先倒下。 当你看到 $lim_{xto 0} frac{x}{sin x}$ 时，大量初学者会卡住。
为啥？出于分母藏着 $sin x$，这让人联想到无穷小量的乘积法则。但这里 $sin x$ 和 $x$ 是相同阶的无穷小，相乘会消掉一个，剩下一个 $x$。
故此整个式子就等于 $x/x = 1$。
这时候的直觉就挺准了，不需求复杂的推导。 再看一个略微复杂点的，但实际上是同样道理。
比如 $lim_{xto 0} frac{1-cos x}{x^2}$。分子分母都有 $x^2$，直接约分就行了。
这时候的“约分”实际上就是无穷小量相乘的逆运算。
要是你把分子看作 $x^2$ 的约数，分母看作 $x^2$ 的约数，那它们一约，剩下的就是 $1$。
这就像两个人赛跑，最终结局是一样的，不管你是快跑还是慢跑，只要速度相同，终点就是一样的。 有时候我们还会遇到形如 $frac{tan x}{x}$ 的情况。当 $x to 0$ 时，$tan x$ 和 $x$ 都是无穷小量，且同阶。根据无穷小量相乘的法则，$frac{tan x}{x} = frac{tan x}{x} cdot 1 sim 1$。
这里的关键在于识别出分子和分母是同一个“微积分根本块”，它们的比例固定不变。 实际上，所有的这些技巧，归根结底都是在处理“无穷小量之间的比例关系”。当变量趋近于某一点时，我们不需求关心具体的数值，只需求关心它们是如何“缩水”的。
比如 $x to 0$ 时，$frac{1}{x}$ 的阶数是 $-1$，$sin x$ 的阶数是 $1$，这就意味着 $frac{1}{x}$ 比 $sin x$ 慢了一个量级。但在求极限的时候，这种阶数的差异会被“放大”要么被“忽略”，取决于你是在靠近哪一边，要么是在考察哪一种无穷小更小。 最终总结一下，微分中值定理的这些证明技巧，本质上都是关于无穷小量阶数和等价无穷小的逻辑游戏。当面对那些让人头疼的极限难题时，不要慌乱地去暴力求解，而是先看看分子分母各自归于哪一类无穷小，然后试着把它们归一化。
有时候，只要把复杂的难题拆解成几个好办且同阶的无穷小相乘或相除，那些看似不可解的死亡陷阱，实际上只是对你来说忒过细小的差异罢了。
记住，数学的魅力不在于精算每一个系数，而在于在无限接近的边界处，看到事物本质的和谐。