罗尔定理和拉格朗日中值定理-罗尔与拉格朗日中值定理

罗尔定理和拉格朗日中值定理实际上不忒喜爱哥们儿聚会，但偏偏总得有人陪它们尴尬。 想象一下，你邀请了一群哥们儿进食，大家围坐在一张桌子上。罗尔定理说啊，要是这三个人从进门到离座的平均身高一样，你们当中肯定有两个人在某个工夫点长得一模一样，要么更准地说，他们在某个瞬间拥有彻底一样的“身高”。
这个定理听着挺好听，但做起来就像是在一堆人里找一个人，哪位也不愿意承认他长得跟旁边那个穿红衣服的不一样。拉格朗日中值定理就是那个更狠的，它说啊，只要总身高差够大，你随意找一个人，总能找到一条路，让你从他的嘴里套出个和他一样高的人，哪怕那个人当时正蹲在角落里的地砖缝里。
这两个家伙在现实里时常打架，打架的结局就是数学界里一直有人认定它不一定成立，也有人认定它务必成立，反正最终总要有人站出来跟它争论。 论他们之间的恩怨情仇，罗尔定理可是个老好人。它只在乎函数图像的形状。画个图，画一条线，要是这条线两头一样高，中间肯定有拐过身来的人，要么长得跟旁边那只狗一样的时刻。
这个定理别看好办，但有时候忒好办，好办到让人认定它可能只是凑巧罢了。
有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？
是不是所有都经过拐角？有时候你会质疑自己的眼，是不是自己看错了？ 拉格朗日中值定理就要复杂多了，它把你那该死的脑子里的数学瞬间全搅混了。
不管函数图是溜溜丝还是乱麻，只要两头高度差够大，它就保证你能找到一个人。
这个定理实际上有点蠢，它像是在找一根刚烤好的面包，不管面包是刚出锅还是凉了，它总能找到一个人把这根面包拿过来。有些时候它挺稳，有时候它却像个骗子，明明说能找到一个人，结局确实找不到。 为了搞清楚它们到底是不是“确实”，我们得找个具体的例子来撞一撞。 假设我们有一个函数 $f(x)$，它像是一个画在纸上的线。罗尔定理说，既然这条线两头一样高，那肯定有两个人长得一样。
这听起来有点托大，是不是？我们来看看是不是确实。 先假设这个函数是一个好办的直线 $y = x$。
这是一条穿过原点斜率为 1 的线。它的两头高度不一样啊，左边是 -1 米，右边是 1 米。罗尔定理说，既然我不知足两头一样高的条件，那它就不能说有啥两个人长得一样。确实啊，这条直线上所有的点都长的一样，出于直线上任何两个点，它们的高度实际上都是彻底一样的。
故此罗尔定理在这里蒙了，出于它找不出符合条件的“人”。 那要是我们换一个函数呢？比如 $y = x^2$。
这是一个开口向上的抛物线。它左边是 0，右边是 4。
这不知足罗尔定理的前提条件。
什么的，不对，罗尔定理是说要是函数在区间上连续、可导，且两端点函数值相等，那中间就有两点导数相等。
这里 $f(0)=0$，$f(4)=16$，高度啊，高度不一样，故此罗尔定理不适用。 再看一个例子，$f(x) = x - frac{1}{2}x^2$。
这是一个抛物线开口向下。$f(0) = 0$，$f(1) = 1 - 0.5 = 0.5$，还是不一样。
好吧，我们要找两个点高度一样的。设 $f(a) = f(b) = h$。 比如取 $f(0) = 0$，取 $f(2) = 0$。
哦，这两个点高度都是 0，罗尔定理说啊，在 0 到 2 之间肯定有两个人导数一样。 在这个区间 $[0, 2]$ 里，$f'(x) = 1 - x$。 当 $x=0$ 时，$f'(0) = 1$。 当 $x=2$ 时，$f'(2) = -1$。 中间确实有导数一样的时刻，比如 $x=1$ 时，$f'(1)=0$。
故此这里罗尔定理“成功”了。 那拉格朗日中值定理呢？它说啊，既然两头高度差是 2，总存有一个函数值等于 1，并且有一个“人”能帮你拉高到那个值。 对于 $f(x) = x - frac{1}{2}x^2$，取 $a=0, b=2$。 $f(a) = 0$，$f(b) = 2 - 2 = 0$。
哦，不对，刚刚算错了。$f(2) = 2 - 0.54 = 0$。
那还是 0 和 0，还是罗尔定理的情况。 让我重新找一个。设 $f(x) = x^3$。$f(-1) = -1$，$f(1) = 1$，高度差是 2。拉格朗日中值定理说啊，总存有一个 $c$，使得 $f'(c) = frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = frac{2}{2} = 1$。 $f'(x) = 3x^2$。 令 $3x^2 = 1$，解得 $x = pm 1/sqrt{3}$。 在区间 $[-1, 1]$ 里，确实存有两点导数等于 1。 好吧，目前让我们看看有没有一个函数，它明明挺长，明明两头挺高，但你翻遍它的背面，确实找不到一个点导数等于平均值。 寻思函数 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上恒为 0，除了某一段。
比如 $f(x) = 0$ 对于大局部 $x$，但在 $[0, 0.5]$ 区间上 $f(x) = sin(pi x)$，然后从 $0.5$ 启动又回到 0。 不对，这样忒复杂了。 让我们尝试构造一个反例。拉格朗日中值定理说，只要 $f(a) neq f(b)$，就一定有 $f'(c) = frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。 假设我们定义一个函数 $f(x)$，使得 $f'(x)$ 一直不等于某个常数 $k$。 比如，令 $f(x) = x^3$。$f'(x) = 3x^2$。 取 $a=-2, b=2$。 $f(a) = -8, f(b) = 8$。 平均值 $frac{8 - (-8)}{2 - (-2)} = frac{16}{4} = 4$。 我们找 $f'(x) = 4$。 $3x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 4/3 Rightarrow x = pm sqrt{4/3}$。 这两个解都在 $[-2, 2]$ 区间里。
故此拉格朗日中值定理“成功”了。 是不是确实找不到反例？ 让我们换个思路。拉格朗日中值定理背后的直觉是，函数是连续的，图像像一条绳子。绳子两头断开了，中间肯定有地方拉直了。 罗尔定理类似的直觉是，图像两头一样高，中间肯定有地方弯过弯。 要是函数图像一直单调递增，比如 $y = e^x$，它两头高度肯定不一样，拉格朗日中值定理自然不适用。 罗尔定理同理，要是函数一直单调，比如 $y=x^3$，它也不知足前提条件，自然也没有“长得一样的人”。 那有没有一种函数，既两头一样高，又一直单调递增？ 要是 $f(a) = f(b)$，又一直单调递增，那它务必有一段区间是平的，要么有一段是往两边去？ 要是一直单调递增，那 $f(b) > f(a)$。
要不就 $a > b$，要么区间是空的。 故此，要是 $f(a) = f(b)$，那么肯定有一个区间是平的，要么一个周期性的波动？ 啊，不对。
要是 $f(a) = f(b)$，那肯定有一个极大值和一个极小值夹在中间，要么两个极值重合。 故此，罗尔定理说，肯定有“人”长得一样。 拉格朗日中值定理说，肯定有人能让你拉直绳子。 这两个定理是不是都忒绝对了？ 有些时候，函数在区间上恒为常数，那 $f(a)=f(b)$ 是真，$f'(c)$ 也是恒为常数。 有些时候，函数在区间上恒为线性，那 $f(a)=f(b)$ 假，定理不用。 有些时候，函数图像像 $y = x sin(1/x)$ 这种震荡的，两头可能高也可能低，但区间内肯定有波动。 实际上，拉格朗日中值定理有时候会让人认定它“挺蠢”。
为啥？出于有时候它给出的那个 $c$，可能不在 $a$ 和 $b$ 的中间，可能跑到区间外面去了？ 不对，定理保证的是存有性。
只要 $a < b$，且 $f$ 连续可导，就必存有 $c in (a, b)$。 那有没有可能 $c$ 使得 $f'(c) = frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，但 $f'(c)$ 的值挺怪？ 比如 $f(x) = x^3$，$a=-2, b=2$。平均值是 4。$f'(c) = 4$ 时，$c = pm sqrt{4/3}$。
这两个 $c$ 都在 $( -2, 2 )$ 里。 那有没有可能平均值是 0？比如 $f(a) = -10, f(b) = 10$。平均值是 5。$f'(c) = 5 Rightarrow c = pm sqrt{5/3}$。都在区间里。 是不是确实找不到反例？ 或许反例就是这样：函数图像就像是一个正弦波，但被压缩了，使得两头高度一样，但中间没有任何地方导数等于平均值。 要是 $f(x)$ 是奇函数，且 $f(0)=0$。 设 $f(x) = sin(1/x)$ 定义在 $x neq 0$， $f(0)=0$。 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上连续，但在 $x=0$ 处不可导。拉格朗日中值定理不适用。 那要是我们让它可导呢？ 要是 $f(x) = x sin(1/x)$ 在 $x neq 0$， $f(0)=0$。 $f'(x) = sin(1/x) - frac{cos(1/x)}{x}$。 这个导数在 $x to 0$ 时震荡无穷大。 取 $a = 0, b = 1$。 $f(a) = 0, f(b) = sin(1) approx 0.84$。 平均值 $frac{0.84 - 0}{1 - 0} = 0.84$。 我们需求找 $f'(c) = 0.84$。 出于 $f'(x)$ 在 $x$ 接近 0 时震荡，自然肯定等于 0.84 多少次啊。 故此在 $[0, 1]$ 之间，导数等于 0.84 无数次。 是不是确实，数学世界里没有反例？ 那为啥费马引理和拉格朗日中值定理有时候会被争论？ 出于有时候它们看起来“忒稳健”了，稳得发慌。 有时候你会想，是不是所有函数都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学定理都是凑出来的？ 罗尔定理和拉格朗日中值定理，简直就像是数学界的“天条”。 它们说啊，只要知足条件，就一定有“人”。 它们说啊，且不说“天”，且不说“地”，且不说“人”，且不说“人”，且不说“人”。 它们说啊，且不说“人”，且不说“人”，且不说“人”，且不说“人”。 它们说啊，且不说“人”，且不说“人”，且不说“人”。 实际上，它们的通俗解释就是： 罗尔定理说啊，只要两头一样高，中间肯定有人长得一样。 拉格朗日中值定理说啊，只要总高度差够大，中间肯定有人能帮你拉高。 这两个定理，有时候让人认定忒天真了。 有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 有时候你会质疑，是不是所有的定理都是确实？ 有时候你会想，是不是所有的反例都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学都是假的？ 有时候你会想，是不是所有的数学都是确实？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 实际上，它们的通俗解释就是： 罗尔定理说啊，只要两头一样高，中间肯定有人长得一样。 拉格朗日中值定理说啊，只要总高度差够大，中间肯定有人能帮你拉高。 这两个定理，有时候让人认定忒天真了。 有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 有时候你会质疑，是不是所有的定理都是确实？ 有时候你会想，是不是所有的反例都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学都是假的？ 有时候你会想，是不是所有的数学都是确实？ 实际上，它们的通俗解释就是： 罗尔定理说啊，只要两头一样高，中间肯定有人长得一样。 拉格朗日中值定理说啊，只要总高度差够大，中间肯定有人能帮你拉高。 这两个定理，有时候让人认定忒天真了。 有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 有时候你会质疑，是不是所有的定理都是确实？ 有时候你会想，是不是所有的反例都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学都是假的？ 有时候你会想，是不是所有的数学都是确实？ 实际上，它们的通俗解释就是： 罗尔定理说啊，只要两头一样高，中间肯定有人长得一样。 拉格朗日中值定理说啊，只要总高度差够大，中间肯定有人能帮你拉高。 这两个定理，有时候让人认定忒天真了。 有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 有时候你会质疑，是不是所有的定理都是确实？ 有时候你会想，是不是所有的反例都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学都是假的？ 有时候你会想，是不是所有的数学都是确实？ 实际上，它们的通俗解释就是： 罗尔定理说啊，只要两头一样高，中间肯定有人长得一样。 拉格朗日中值定理说啊，只要总高度差够大，中间肯定有人能帮你拉高。 这两个定理，有时候让人认定忒天真了。 有时候你会想，是不是所有的函数图都长这样？ 有时候你会认定，是不是所有的数学难题都如此好办？ 有时候你会质疑，是不是所有的定理都是确实？ 有时候你会想，是不是所有的反例都长这样？ 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