利用二项式定理求余数-二项式定理余数求法

说确实，让人搞不懂余数这事儿，有时候真像是在打一场没有固定规则的游击战。大量人一上来就套公式，盯着定理看，结局发现算到最终全绕不出来。
实际上吧，余数这东西，它跟数论里的某些概念比，更像是一种心理博弈。
你想想看，要是大数除以小的数，我们是不是得先想清楚它到底剩下了多少？要是是整除，那就挺好办，那玩意儿直接等于零。但要是不是整除呢？比如除以 3，结局可能是 1，可能是 2，也可能是 0，这取决于你算过了没，还是巧合。 这就好比你在玩一块大石头，往水里扔下去。你肯定会先问这块石头浮不浮起来。
要是浮起来，说明它的密度比水小；要是沉底了，那它肯定比水重。
这时候你不用管它上面浮着啥气泡，也不用管它中间藏着啥暗流，你只需求知道一个关键结论：要是它沉底，那它可能浮起来，也可能沉得更深。
反过来，要是这块石头本来就在水面上，哪怕你再往旁边扔一堆沉物那会儿，它也一辈子不会沉下去。
这就是个经典模型：要是整体是浮的，其中一局部下沉不代表整体下沉，但整体下沉嘛，那其中一局部肯定也沉下去了。 我们常看到这种“整体下沉，局部下沉”的场景，比如 3 的倍数除以 2。3 的倍数除以 2，结局可能是 1、3、5、7……还是 2、4、6、8……你看，偶数的倍数除以 2，结局全是整数，那除以 3 之后，余数肯定得是 0。但要是非 3 的倍数呢？比如 3 乘以 2 加 1，就是 7。7 除以 3，显然余数是 1。
这时候你就会发现，余数往往跟那个非整除的“余项”关系挺大。
有时候，余数本身就是一个独立的变量，有时候它又是那个余项的函数，有时候它干脆独立存有，跟余数本身没啥直接联系。
这种关系到底如何建立的，就像给这些变量加了锁，钥匙藏在某本书里，但你没翻哪一本书，就不知道哪把钥匙能打开它。 为了搞明白这个逻辑，咱们得换个角度，把那些枯燥的公式拆开看看。别整那些“起初、其次、最终”的废话，咱直接说事儿。
比如我们要算 2023 除以 7 的余数，直接套公式得先把 2023 拆开，用长除法一步步除，除不尽还得回代，这过程慢得像老牛拉车。咱们能不能换个法子，既然余数是在除不尽的环节形成的，那咱能不能只盯着那个“除了整除之外还剩多少”的局部？ 举个例子吧。算 300 除以 11。300 除以 11，商是 27，余数是 3。
如何来的？300 等于 27 个 11 加上 3，也就是 27 个 11 加上 1 个 11 再加 2 个 11，没错。
那 300 除以 11 的余数，到底是哪儿来的？它不是凭空出现的，它是从 300 里剥离掉 27 个 11 后，剩下的局部。
那 3 是如何来的呢？3 是 300 减去 27 个 11 后的结局。在这儿，我们能够看到一个有趣的点：余数 3，实际上是由商 27 和余数 3 共同拍板的。
要是我们要算 300 除以 11 的商，那直接除就行；要是要算余数，就得知道 300 到底能减掉多少个 11，剩下的剩多少。
这时候你会发现，余数的大小，实际上取决于整个除法的商有多大，还有被除数里包含了多少个“余数的单位”。 这就仿佛你在剥洋葱。
第一层是皮，第一层是肉，第三层是核。当你剥掉皮的时候，你看到的是肉；当你剥掉肉把核弄出来时，又看到了核。在除法里，有时候你剥掉的是“商”，剥掉的是“余数”，剥掉的是“余数”和“商的组合”。
比如算 2023 除以 7，你的第一步是算出商，第二步是算出余数。
这两个步骤是独立的，但也互相影响。
要是你走了第一步，商是 289，那你第三步就得回头算 7 乘以 289 的具体数值，这时候你就知道第 4 步的余数是多少了。
要是你第二步先算出了余数 3，那第三步就只能直接说，反正余数就是 3。
这两种路径，本质上都是把同一个难题拆成了几个小难题来解。 咱们再换个思路，看看那些不整除的时候，余数到底长啥样。大量时候，余数就是那个“不能整除”的尾数。
比如 12 除以 5，12 就是 2 个 5，多了 2，故此余数是 2。
这时候余数就是 2。但要是 13 除以 5，就是 2 个 5，多了 3，余数就是 3。
这时候余数还是那个“多出来的局部”。
不过，有时候余数可能和原来的被除数没啥关系，它有时候是个彻底独立的值。
比如 3 除以 2，结局是 1，余数是 1。3 和 1 没关系，1 和 1 也关系不大。
那这时候余数到底由啥拍板？
有没有啥规律？ 实际上啊，别急着找规律，先看看数据。
比如算 5 的幂除以 2 的余数。5 次方是 3125。3125 除以 2，商是 1562 余 1。4 次方是 625，余数是 1。3 次方是 125，余数是 1。2 次方是 4，余数是 0。1 次方是 1，余数是 1。
你看，这里有个明显的模式：当指数是奇数时，余数都是 1；偶数时，余数都是 0。
这说明啥？这说明余数跟底数的奇偶性、指数的奇偶性有某种内在联系。
这时候，你就知道余数的取值了，不用像那会儿那样去死算。但换个底数，比如 3 的幂除以 2。3 次方是 27，27 除以 2 余 1。4 次方是 81，81 除以 2 余 1。奇数次方余 1，偶数次方余 0。
这还是类似的。但要是底数是 4，指数是 3，4 的 3 次方是 64，除以 2 余 0。
这时候，别看指数变了，结局变了，但规律没变。
这说明，余数可能跟底数和指数的组合相关，也可能跟它们各自的性质相关。 有时候，你会发现余数跟哪位都没关系。
比如算 2 除以 3，结局就是 2，余数也是 2。
这里，2 除以 3 的余数，明明就是 2，如何变成 2 了？这说明当除数比被除数大时，被除数本身就是一个“余数”。
这时候，余数就等于被除数，跟商没关系，跟除数也没关系，它就是个纯粹的值。
这时候，你就不用再去“推导”余数了，它就是 2。
这就好比你在问某个人的年龄，而你知道这个人的出生年份是 1990 年，目前 2024 年，那它的年龄就是 34 岁。你不需求算出生年份减去出生年份，你直接知道它就是 34 岁。 那要是除数比被除数小呢？这时候情况就复杂了。
比如 2023 除以 3。2023 除以 3，商是 674，余数是 1。
这时候，余数 1 是 2023 减去 674 个 3 后剩下的。
也就是说，余数 = 被除数 - 除数 × 商。
这时候，余数的大小，既与被除数的大小相关，也与商的大小相关。商越大，被除数里扣除的局部越多，剩下的余数就越小。
这时候，余数就是一个动态变化的量，它会根据你的除法和被除数的变化而调整。 再比如，算 40 除以 3。40 是 13 个 3 余 1，故此余数是 1。
那 41 除以 3 呢？41 是 13 个 3 余 2，故此余数是 2。
这里，余数从 1 变成了 2。
为啥？出于被除数变了，多了 1。
这 1 是如何加进去的？它加在了原来的商 13 上，变成了 14，也就是 42。目前 42 除以 3 是整除，余数就是 0。
那 41 除以 3 的余数如何来的？41 除以 3，商是 13 余 2。
那这 2 是如何来的？它等于 41 减去 3 乘以 13。
这时候，余数 2，就是被除数 41 扣掉 3 的 13 倍后剩下的局部。
这时候，余数跟被除数有直接关系：余数 = 被除数 - 除数 × 商。
那商是多少呢？商 = (被除数 - 余数) / 除数。
这里，商是 13，余数是 2，被除数是 41，除数是 3。
这 13 是如何算出来的？13 = (41 - 2) / 3。 这时候，你发现了一个难题：余数到底是由哪位拍板的？是被除数单独拍板的？还是由被除数和商的组合拍板的？有时候，余数是 1，有时候是 2，有时候是 0。它跟被除数本身有联系，但跟商的取值也有联系。
要是商挺大，余数可能挺小；要是商挺小，余数可能挺大。
比如 100 除以 3，商是 33 余 1。
那 99 除以 3，商是 33 余 0。
这里，商没变，被除数减了 1，余数就从 1 变成了 0。
这说明，当被除数削减，商不变时，余数一定会变。
那反过来，要是商变了呢？比如 100 除以 5，商是 20 余 0。
那 90 除以 5，商是 18 余 0。商变了，余数没变。
这说明，有时候余数是跟商没啥关系的。 故此，余数到底是个啥概念？它不是一个固定的值，而是一个变量。它随被除数、除数、商的变化而变化。
有时候，它跟被除数强相关；有时候，跟商强相关；有时候，干脆跟哪位都不相关。
这种不确定性，让大量人认定余数是个“玄学”，但实际上它就是个被动的结局。你给它加了啥条件，它就成了啥样子。
比方说，要是你转变被除数，转变商，转变除数，余数就会跟着变。
这就是为啥在除法计算中，我们不能好办地说“余数一直 0"要么“余数一直 1"，出于实际会形成啥，取决于你选了哪一组数，还有如何算出来的。 这就好比你在打赌。你拿 2023 除以 7，心里想结局就是 1。
然后你把被除数改成 2024，除数改成 11，你还想结局还是 1。结局呢？2024 除以 11，商是 184 余 2。
这时候，你的赌注输了。
为啥？出于你转变了条件，结局自然变了。
这时候，你发现余数不再是 1，而变成了 2。
这说明余数并没有绝对的值，它只是一个相对的概念，依赖于具体的计算过程。 再想想看，为啥有些时候余数看起来像 0，但实际上是别的数？比如 3 的 2 次方除以 2。3 的 2 次方是 9。9 除以 2，商是 4，余数是 1。
这里余数是 1，不是 0。
那啥时候余数是 0 呢？比如 3 的 3 次方除以 2。3 的 3 次方是 27。27 除以 2，商是 13，余数是 1。还是 1。咦？那啥时候是 0？比如 3 的 4 次方除以 2。3 的 4 次方是 81。81 除以 2，商是 40，余数是 1。还是 1。
这时候你就会发现，有时候余数不是 0，有时候是 1，有时候是 2，有时候是 3……它看起来随机，实际上是有规律的。
这种规律，往往隐藏在底数的奇偶性、指数的奇偶性之中。
比方说，底数是奇数的话，奇数次方除以 2 余 1，偶数次方除以 2 余 0。底数是偶数的话，奇数次方除以 2 余 0，偶数次方除以 2 余 0。
这时候，余数就彻底由底数和指数的奇偶性拍板了。 那要是底数是 3，除数是 2。3 的奇数次方除以 2 余 1，偶数次方除以 2 余 0。
那 3 的偶数次方除以 2 余 1 吗？不，3 的偶数次方除以 2 余 0。
那 3 的 2 次方除以 2 余 0。
那 3 的 3 次方除以 2 余 1。
这看起来规律挺清楚。
那有没有反例？比如 4 除以 3。4 除以 3 余 1。
那 4 的 2 次方除以 3。4 的 2 次方是 16。16 除以 3 余 1。
那 4 的 3 次方除以 3。4 的 3 次方是 64。64 除以 3 余 1。还是 1。
那有没有可能是别的数？比如 5 除以 3。5 除以 3 余 2。
那 5 的 2 次方除以 3。5 的 2 次方是 25。25 除以 3 余 1。
哦，这里变了。5 的 2 次方除以 3 余 1，不是 2。
那 5 的 3 次方除以 3。5 的 3 次方是 125。125 除以 3 余 2。还是 2。
那 5 的 4 次方除以 3。5 的 4 次方是 625。625 除以 3 余 2。还是 2。
看来 5 除以 3 的余数确实是 2。 那到底有没有例外？
有没有啥数除以 2 余 1，但又不是偶数？显然没有。
有没有啥数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？比如 8 除以 3 余 2。8 除以 3 余 2。
那 8 不是 5 的幂。
那 8 的 2 次方除以 3。8 的 2 次方是 64。64 除以 3 余 1。
哦，这里变了。8 的 2 次方除以 3 余 1，不是 2。
那 8 的 3 次方除以 3。8 的 3 次方是 512。512 除以 3 余 2。还是 2。
那 8 的 4 次方除以 3。8 的 4 次方是 4096。4096 除以 3 余 1。还是 1。
那 8 的 5 次方除以 3。8 的 5 次方是 32768。32768 除以 3 余 2。还是 2。
看来 8 除以 3 的余数确实是 2。 这时候你就会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数跟底数、指数的关系，有时候挺复杂。
有时候，它跟底数的奇偶性相关；有时候，跟指数的奇偶性相关；有时候，跟底数和指数的组合相关。
这种复杂性，使得大量人认定余数是个“黑箱”，看不透。但实际上，这黑箱内部是有逻辑的。你只需求知道，余数是由除法运算带来的“余量”拍板的。
只要你能算出商和余数，余数自然就出来了。 那在编程要么实际应用中呢？要是你要写一个程序，计算 2023 除以 7 的余数，你会如何做？你会直接写个循环，把 2023 减掉 7，减掉，减掉，直到不能减为止，最终剩下的就是余数。
要么你会直接写个公式，用 2023 mod 7。
这时候，结局就是 1。
那要是改成 2024 除以 7 呢？2024 除以 7，商是 289，余数是 1。
这里，余数没变。
那要是改成 2025 除以 7 呢？2025 除以 7，商是 289，余数是 2。
这里，余数变了。
那为啥 2024 除以 7 余 1，2025 除以 7 余 2？出于 2024 和 2025 差了 1，故此余数也差了 1。
这说明，当除数不变时，余数和被除数有直接线性关系。
那要是改成 2023 除以 8 呢？2023 除以 8，商是 252，余数是 7。
那 2024 除以 8，商是 253，余数是 0。
这里，余数变了。
为啥？出于 2023 和 2024 差了 1，但除数变了，从 8 变到 7，这就不一样了。
这时候，余数的变化就不是好办的线性关系了。 那这时候，余数到底是个啥状态？它是被除数经过除法运算后的剩余局部。它是由被除数、除数大小关系拍板的。
要是除数比被除数大，余数等于被除数。
要是除数比被除数小，余数小于除数，且等于被除数减去除数乘以商。
这时候，余数就是一个变量，它随被除数、除数、商的变化而变化。
有时候，它跟被除数强相关；有时候，跟除数强相关；有时候，跟商强相关；有时候，跟哪位都不相关。
这就是余数的本质。它不是一个固定的数字，而是一个动态的、随机的、依赖各个变量的组合结局。 那具体如何算呢？实际上挺好办。
要是你要算 2023 除以 7 的余数，你就直接用 2023 mod 7。
要是你要算 2024 除以 7 的余数，你就直接用 2024 mod 7。
这时候，程序会自动处理所有的细节，不需求你去手动计算每一个商和余数。
这就像你买彩票，你不需求自己去算中奖概率，也不需求自己去分析彩票的组成，你只要买那张彩票，开奖那天，结局自然就出来了。余数就是如此个结局，它由随机性（要么说算法逻辑）拍板。 那要是你要算 300 除以 11 的商和余数呢？你会直接写个循环，把 300 除以 11，商是 27，余数是 3。
然后你就能够说，商就是 27，余数就是 3。
这时候，你就知道了。
那要是你要算 2023 除以 7 的商和余数呢？你会直接写个循环，把 2023 除以 7，商是 289，余数是 1。
然后你就能够说，商就是 289，余数就是 1。
这时候，你就知道了。
那要是你要算 2023 除以 11 的商和余数呢？你会直接写个循环，把 2023 除以 11，商是 183 余 10。
这时候，商就是 183，余数就是 10。
那要是改成 2024 除以 11 呢？2024 除以 11，商是 184 余 10。
这里，商变大了 1，余数没变。
那为啥商会变大？出于原来的 2023 被除数少了 1，故此 2023 除 11 的商少了 1 个 11，变成了 183。
然后 2024 被除数多了 1，故此 2024 除 11 的商大了 1 个 11，变成了 184。
这时候，余数还是 10。
这说明，当被除数变化时，商和余数会相关系，余数有时候不变，有时候变。 那这时候，要是你要算 300 除以 11 的商和余数，你会说，商是 27，余数是 3。
那要是你要算 2023 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 1。
那要是你要算 2024 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 1。
那要是你要算 2025 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 2。
那要是你要算 2026 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 3。
那要是你要算 2027 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 4。
那要是你要算 2028 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 5。
那要是你要算 2029 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 6。
那要是你要算 2030 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 0。
那要是你要算 2031 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 1。
那要是你要算 2032 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 2。
那要是你要算 2033 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 3。
那要是你要算 2034 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 4。
那要是你要算 2035 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 5。
那要是你要算 2036 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 6。
那要是你要算 2037 除以 7 的商和余数，你会说，商是 289，余数是 0。 这时候，你就会发现，余数有时候是 0，有时候是 1，有时候是 2……它看起来随机，实际上是有规律的。
这种规律，往往隐藏在底数的奇偶性、指数的奇偶性之中。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你就会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
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故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
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故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
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比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
这取决于你选的数。
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那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
故此 11 的幂除以 3，余数都是 2。 这时候，你会发现，余数有时候是固定的，有时候不是。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以 3 余 2。11 的 3 次方除以 3 余 2。11 的 4 次方除以 3 余 2。
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故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
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这取决于你选的数。
比方说，3 的幂除以 2，余数要么 1 要么 0。5 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。8 的幂除以 3，余数要么 1 要么 2。
那有没有哪个数除以 2 余 1，但又不是偶数？不可能。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 5 的幂？8 除以 3 余 2，但 8 不是 5 的幂。
那 8 的幂除以 3 呢？8 的 2 次方除以 3 余 1，8 的 3 次方除以 3 余 2，8 的 4 次方除以 3 余 1，8 的 5 次方除以 3 余 2。
故此 8 的幂除以 3，余数也是有规律的。
那有没有哪个数除以 3 余 2，但又不是 8 的幂？比如 10。10 除以 3 余 1。11 除以 3 余 2。11 不是 8 的幂。
那 11 的幂除以 3。11 的 1 次方除以 3 余 2。11 的 2 次方除以