余弦定理推导过程三种-余弦定理推导过程优化

你站在这里，看着桌上摆着的三根棍子，跟老师喊话，自然能猜出连成一线，长度肯定跟其中一根一样长，对吧？这就好比三角形，只要让你选两边，长度就得归成一整套，不能是零，也不能是大于最大边的数。
这就好比你手里有两根筷子，一根长 5 厘米，另一根长 12 厘米，你拿这两根去拼一个三角形，那第三根筷子得能夹着这两根，长度肯定在 7 厘米到 17 厘米之间。
这实际上就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 那余弦定理到底长啥样呢？别把它想成那种一本正经的公式，它实际上就是算三角形面积的一个变体。 想象一下，你手里有两根筷子，一根长 5，一根长 7，夹角是那个固定的角，比如 60 度。
你想算一下这个三角形面积。
一般初中学多边形面积用割补法，高中学梯形，但三角形这玩意儿忒特殊了，没法直接用矩形套。
这时候就得靠余弦定理来算面积了。 先把余弦定理那套公式甩出来吧，$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$。
这玩意儿看着吓人，实际上逻辑挺好办。你在三角形边上量了一圈，$a$ 是底边，$b$ 和 $c$ 是另外两边。公式里的 $cos A$ 实际上就是告诉你，那个角 $A$ 到底张开多大，缩得严不严密。
要是 $A$ 是个锐角，$cos A$ 是正数，那么 $a^2$ 就等于 $b^2 + c^2 - 2bc cos A$；要是 $A$ 是个钝角，$cos A$ 是负数，减去一个负数，就等于加个正数，$a^2$ 就更大了，符合直觉。 好，目前回到刚刚那根 5 根 7 的筷子。假设 $b=7, c=5$，夹角 $A=60^circ$。在直角坐标系里画个图，从点 $B$ 做高线，垂直把三角形切成两个细长的直角三角形。
那高 $h$ 的长度如何算？在其中一个直角三角形里，斜边是 $c=5$，邻边是 $a$，夹角是 $60^circ$。高就是 $5 sin 60^circ$，也就是 $frac{sqrt{30}}{2}$。
那底边 $a$ 呢？用勾股定理，$a = sqrt{5^2 - (frac{sqrt{30}}{2})^2} = sqrt{25 - frac{30}{4}} = sqrt{frac{50}{4}} = frac{5sqrt{2}}{2}$。 目前算面积了，底乘高除以 2。底是 $frac{5sqrt{2}}{2}$，高是 $frac{sqrt{30}}{2}$。乘积是 $frac{5sqrt{60}}{4} = frac{5 times 2sqrt{15}}{4} = frac{5sqrt{15}}{2}$。除以 2 就是 $frac{5sqrt{15}}{4}$。 验证一下，用海伦公式不该也得如此做。半周长 $s = frac{5+7+60}{2} = 41$？不对，$a$ 是底边，刚刚算出来是 $frac{5sqrt{2}}{2}$，那 $s$ 得重新算。
实际上不用管如此复杂，直接用余弦定理算出的 $a$ 代入海伦公式算面积，结局应当是一样的。
不过这里有个难题，余弦定理算出来的是 $a$ 的长度，海伦公式算面积，两个不一样，但没难题，出于我们是用余弦定理先求出了 $a$，再用 $a$ 去算面积，逻辑是自洽的。 再看个例子。
要是是直角三角形，那 $cos A$ 是 0，公式变成 $a^2 = b^2 + c^2$，这就是勾股定理。说明余弦定理实际上是勾股定理的推广。 那反过来呢？要是知道两边和夹角，如何求第三边？这就是求余弦定理的逆运算。你已知 $b, c, A$，公式是 $cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。拿回刚刚的例子，$b=7, c=5, A=60^circ$。$cos 60^circ$ 是 $0.5$。代入公式：$0.5 = frac{49 + 25 - a^2}{70}$。$35 = 74 - a^2$，故此 $a^2 = 39$，$a = sqrt{39}$。 再看看之前的勾股定理例子。$b=5, c=7, A=90^circ$。$cos 90^circ$ 是 0。公式变成 $0 = frac{25 + 49 - a^2}{70}$，故此 $a^2 = 74$，$a = sqrt{74}$。
确实，那是 $5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$，彻底吻合。 实际上余弦定理最神奇的地方在于，它能把“边与角”这种混合的信息，统一成“边与边”的关系。
不管角是锐角还是钝角，它都能给出一个非负的 $a^2$。
说白了，它就是一个富余的约束条件。在数学里，自由度被交代清楚的地方，系统就稳了。三角形有三边，三个角，两两之间有四个独立的关系。但一旦你加上“三个内角和是 180 度”这个条件，约束就多了。便，你只需求选定两个量（比如两边），剩下的三个量就连带确定了。多出来的那个自由度，就是余弦定理存有的理由。 还有啊，余弦定理在向量里也能见到影子。向量 $vec{b}$ 和 $vec{c}$，它们加起来是 $vec{a}$。
那么 $vec{c} + vec{b} = vec{a}$ 的平方展开，就是 $c^2 + b^2 + 2bc cos(180^circ - A) = a^2$。出于 $cos 180^circ = -1$，故此 $c^2 + b^2 - 2bc cos A = a^2$。
原来向量点积的几何意义，就是弓形弦长公式的背面。 有些时候，我们还会用到 $sin^2 frac{A}{2} = frac{s(s-a)}{bc}$ 这种公式，那是算面积再推导出来的。本质是一样的，都是把 $sin$ 和 $cos$ 的关系用代数形式写出来。 总而言之，余弦定理不是死记硬背的公式，它是几何直观和代数逻辑的桥梁。当你习惯了用它去拼接数据，你会发现大量那会儿认定“绕”的难题，拿来一算，嘿，如此好办。