三角形面积公式高中余弦定理-三角形余弦定理

在讲三角形之前，先说说那个根本没法换的公式：$S = frac{1}{2}absin C$。
这玩意儿在高中数学书里就像个被刻在墙上的法印，老师讲到它时，自带一种不容置疑的庄重感。
一般我们喜爱把它展示在黑板最显眼的位置，旁边还配个精致的几何图形，背景是那种透着蓝光的、简直不反光的专业级电子白板。
这时候，你脑子里应当浮现出两个顶角分别对着 $a$ 和 $b$ 的角，直把它们夹住，中间那个角就是 $C$。
然后呢，嘴就唰地合上，直接报出公式，紧接着把字母代入，算出结局，最终把单位换算好，像管道工疏通下水道的节奏一样，头也不抬地甩出答案。 实际上，这公式背后的物理意义挺逗的。想象一下，把两个刚体硬板拼在一起，让它们的公共边重合。
要是你拿着一个板子伸进另一个板子，利用那个公共边把另一个板子转个角度，那夹在中间形成的空隙，在三角形里就是 $C$ 角。当 $C$ 角变成 $90$ 度时，那就是直角，面积特别好办算，出于 $sin 90^circ$ 等于 $1$，公式就简化成 $frac{1}{2}ab$，这逻辑忒顺了。但一旦 $C$ 角变得锐角就连钝角，$sin C$ 就启动变小，面积也跟着缩水。
这时候，要是非要硬让两个板子靠边，它们之间剩下的那个空隙就是一个弓形。弓形的面积，实际上等于 $triangle ABC$ 的面积减去两个小直角三角形（底边是 $a, b$，高是 $h$）的面积。算出来你会发现，$S_{text{空}} = S_{triangle} - frac{1}{2}ah - frac{1}{2}bh$。把 $S_{triangle} = frac{1}{2}absin C$ 代进去，你会发现两项 $frac{1}{2}ah$ 和 $frac{1}{2}bh$ 正好就是 $S_{triangle} cos C$。一加一减，奇迹形成了，剩下的就是 $frac{1}{2}ab(sin C - cos C)$？
什么的，这仿佛有点不对劲，还是回到最初的 $S = frac{1}{2}absin C$ 吧。
你看，这就是两个 $frac{1}{2}ah$ 和 $frac{1}{2}bh$ 的绝对值之和，再加上要么减去 $triangle ABC$ 本身，最终凑成了 $frac{1}{2}absin C$。
这就像是一个人在计算总账，一边倒扣，一边加进，最终结局还是一样。
这公式真是一步sesame，一辈子都绕不开，就像地球仪上的经纬网，你绕着它转，如何走，投影回来的比例一直不变。 再聊聊余弦定理，大量人一听到它，第一反应就是“哎呀，这又是那个把 $c^2$ 用 $a^2+b^2$ 摆起来的公式”。
实际上它没那么粗暴。它实际上是旋转视角的产物。拿两个三角形 $triangle ABC$ 和 $triangle ABD$，把 $triangle ABD$ 绕着点 $B$ 旋转，让 $AB$ 边和 $BA$ 重合。
这时候，$C$ 点转到了 $D$ 点。你在平面坐标系里，点 $B$ 是原点 $(0,0)$，点 $A$ 是 $(c,0)$。
那点 $C$ 的坐标就是 $(acos C, asin C)$。
那点 $D$ 呢，它是点 $C$ 绕着 $B$ 转了 $180$ 度要么 $90$ 度？不，是转到了使得 $BD$ 在 $x$ 轴正半轴的位置。
故此 $D$ 的坐标就是 $(a, 0)$ 加上 $C$ 的相对位置 $(acos C, asin C)$？不对，旋转是围绕 $B$ 转，$C$ 的新位置 $D$ 相对于 $B$ 的向量是 $(acos(C-90^circ), asin(C-90^circ))$。
要是 $D$ 在 $x$ 轴上，那 $acos(C-90^circ) = asin C$，$asin(C-90^circ) = -acos C$。
故此 $D$ 的坐标是 $(asin C, -acos C)$。 好了，目前算距离。$CD^2 = (asin C - acos C)^2 + (-acos C - asin C)^2$。展开这两项，$(asin C - acos C)^2 = a^2sin^2 C - 2a^2sin Ccos C + a^2cos^2 C$，第二项是 $a^2cos^2 C + 2a^2sin Ccos C + a^2sin^2 C$。加起来，$-2a^2sin Ccos C$ 和 $+2a^2sin Ccos C$ 抵消了，$a^2sin^2 C + a^2cos^2 C$ 就是 $a^2$，同样第二项也是 $a^2$。最终 $CD^2 = 2a^2 + 2b^2$。
什么的，这里 $b$ 呢？哦，我刚刚设 $D$ 的横坐标是 $a$，是出于原点在 $B$，$A$ 在 $x$ 轴，$C$ 在 $(acos C, asin C)$，旋转后 $D$ 的 $x$ 坐标应当是 $asin C$？不对，重新理一下。 设 $B$ 为原点 $(0,0)$，$A$ 为 $(c,0)$。$C$ 的坐标是 $(acos B, asin B)$。目前把 $triangle ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，直到 $BA$ 边重合于 $x$ 轴正半轴。
那么点 $C$ 的新位置 $C'$ 的坐标就是 $(acos B, -asin B)$。点 $A$ 不动，还是 $(c,0)$。 要是我们要算 $angle ACB$ 的余弦值，我们需求向量 $vec{CA}$ 和 $vec{CB}$ 的关系。向量 $vec{CA} = A - C = (c - acos B, -asin B)$。向量 $vec{CB} = B - C = (0 - acos B, 0 - asin B) = (-acos B, -asin B)$。 $cos C = frac{vec{CA} cdot vec{CB}}{|vec{CA}| |vec{CB}|} = frac{(c - acos B)(-acos B) + (-asin B)(-asin B)}{b^2}$。 分子展开：$-accos B + a^2cos^2 B + a^2sin^2 B = -accos B + a^2$。 故此 $cos C = frac{a^2 - accos B}{b^2}$。
这看起来有点乱，是不是换个思路？ 余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。 这就相当于点积计算。向量 $vec{CA}$ 和 $vec{CB}$ 的夹角是 $C$。 $vec{CA} = (c - acos C, asin C)$ —— 不对，$C$ 点坐标是 $(acos C, asin C)$，$A$ 是 $(c,0)$，故此 $vec{CA} = (c - acos C, -asin C)$。 $vec{CB} = (acos C, -asin C)$？不对，$B$ 是 $(0,0)$，故此 $vec{CB} = (acos C, asin C)$ 是错的，应当是 $B-C$。 $B=(0,0)$，$C=(acos C, asin C)$，故此 $vec{CB} = (-acos C, -asin C)$。 $vec{CA} = A - C = (c - acos C, -asin C)$。 点积 $vec{CB} cdot vec{CA} = (-acos C)(c - acos C) + (-asin C)(-asin C) = -accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C = a^2 - accos C$。 模长乘积：$|vec{CB}| = a$，$|vec{CA}| = b$。 故此 $cos C = frac{a^2 - accos C}{ab}$？这不对，左边是 $cos C$，右边有个 $cos C$ 在分母吗？不，分子里有 $-accos C$。 $cos C = frac{a^2 - accos C}{ab}$？这说明右边有个 $cos C$，这没法直接解出 $c$。啊，我搞错了向量的定义。$vec{CB}$ 是从 $C$ 到 $B$，$vec{CA}$ 是从 $C$ 到 $A$。 $vec{CB} = B - C = (-acos C, -asin C)$。 $vec{CA} = A - C = (c - acos C, -asin C)$。 点积 = $(-acos C)(c - acos C) + (-asin C)(-asin C) = -accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C = a^2 - accos C$。 模长：$|vec{CB}| = sqrt{a^2cos^2 C + a^2sin^2 C} = a$。 $|vec{CA}| = sqrt{(c - acos C)^2 + (-asin C)^2} = sqrt{c^2 - 2accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C} = sqrt{c^2 + a^2 - 2accos C}$。 故此 $cos C = frac{a^2 - accos C}{a sqrt{c^2 + a^2 - 2accos C}}$。 化简分子分母：$frac{a - ccos C}{sqrt{c^2 + a^2 - 2accos C}} = cos C$。 两边同乘分母：$a - ccos C = cos C sqrt{c^2 + a^2 - 2accos C}$。 这仿佛解不出来，是不是我看错了公式？ 哦，余弦定理就是 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。 我的推导里，$c^2 + a^2 - 2accos C$ 里面有个 $ac$，这是 $a$ 乘以 $c$，不是 $2ab$。 啊，$vec{CA}$ 的 $y$ 坐标是 $-asin C$。$x$ 坐标是 $c - acos C$。 $|vec{CA}|^2 = (c - acos C)^2 + a^2sin^2 C = c^2 - 2accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C = c^2 + a^2 - 2accos C$。 这里出现了 $ac$，可是公式里应当是 $ab$。 哪儿错了？$AC$ 的长度是 $b$，不是 $c$。$AC$ 是边 $b$ 吗？对，$AC = b$。 在我的坐标系里，$A=(c,0)$，$C=(acos C, asin C)$。
那么 $AC$ 的长度就是 $sqrt{c^2 + a^2 - 2accos C}$。 而边 $b$ 就是 $AC$ 的长度。
故此 $b^2 = c^2 + a^2 - 2accos C$。 什么的，余弦定理是 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。 我的推导算出来的是 $b^2 = c^2 + a^2 - 2accos C$，这明显不对，量纲都不对，$c$ 和 $a$ 搞混了。 啊，$b$ 是 $AC$，$c$ 是 $AB$。 在 $triangle ABC$ 中，$AB=c, BC=a, AC=b$。 $C$ 点坐标：以 $B$ 为原点，$BA$ 为 $x$ 轴。 $C$ 的坐标是 $(acos C, asin C)$。 $A$ 的坐标是 $(c,0)$。 $AC$ 的长度平方是 $(c - acos C)^2 + (0 - asin C)^2 = c^2 - 2accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C = c^2 + a^2 - 2accos C$。 这算出来的是 $AC^2 = c^2 + a^2 - 2accos C$。 可是边 $b$ 是 $AC$，故此 $b^2 = c^2 + a^2 - 2accos C$。 这还是不对，公式里应当是 $-2abcos C$。 难道 $A$ 的坐标不是 $(c,0)$？要是 $B$ 是原点，$A$ 在 $x$ 轴上，那 $A$ 就是 $(c,0)$。$C$ 是 $(acos C, asin C)$。 那么 $AC^2 = (c - acos C)^2 + (0 - asin C)^2$。 展开：$c^2 - 2accos C + a^2cos^2 C + a^2sin^2 C = c^2 + a^2 - 2accos C$。 这里 $2ac$ 出现了，可是余弦定理里应当是 $-2ab$。 要不就……我选的角度不是 $C$？ 啊，余弦定理是 $cos C$。
要是 $C$ 是 $angle ACB$，那么 $C$ 点坐标是 $(acos C, asin C)$ 是以 $BC$ 为 $x$ 轴。 要是 $BC$ 为 $x$ 轴，$B=(0,0)$，$C=(a,0)$。 $A=(x,y)$。 $AB^2 = c^2 = x^2 + y^2$。 $AC^2 = b^2 = (x-a)^2 + y^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = c^2 - 2ax + a^2$。 故此 $2ax = c^2 + a^2 - b^2$。 $x = frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}$。 这意味着 $A$ 的横坐标是 $frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}$。 那 $cos C$ 呢？$C$ 在 $x$ 轴上。 向量 $vec{CA} = (x-a, y)$，$vec{CB} = (-a, 0)$。 $cos C = frac{vec{CA} cdot vec{CB}}{|vec{CA}| |vec{CB}|} = frac{(x-a)(-a)}{b cdot a} = frac{-(x-a)}{b} = frac{a - x}{b}$。 代入 $x$：$frac{a - frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}}{b} = frac{2a^2 - c^2 - a^2 + b^2}{2ab} = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。 故此 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$？不对，这是 $cos C$ 的表达式。 $cos C = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。 移项：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 好吧，终于对上了。 关键点在于，余弦定理本质上就是点积的几何解释，$c^2$ 代表了向量 $vec{BA}$ 和 $vec{BC}$ 的“投影”之和。 就像你在操场上跑两个圈，第一个圈是 $a$，第二个圈是 $b$，中间有个转弯，转弯的角度是 $C$。
要是你站在圆心，测量你跑完两个圈回到原点（要么到达终点 $C$）的距离 $c$。
那个距离 $c$ 实际上是由两个直道长度 $a, b$ 合成后，在 $C$ 点处“错开”形成的。 用计算机图形学的话，这就是向量加法 $vec{BA} + vec{BC} = vec{CA}$ 的模长。 $vec{BA} cdot vec{BC} = |vec{BA}| |vec{BC}| cos C = abcos C$。 而 $|vec{BA} + vec{BC}|^2 = |vec{CA}|^2 = b^2$。 展开得 $|vec{BA}|^2 + |vec{BC}|^2 + 2vec{BA}cdotvec{BC} = b^2$。 $c^2 + a^2 + 2abcos C = b^2$。 故此 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。 这个逻辑简直比教科书还顺。教科书喜爱说“由余弦定理”，你直接就能道出“出于点积的展开害得平方项多了个负的系数”。 这就好比你在掉进一个坑里，$c$ 是你的下坠速度，$a$ 和 $b$ 是两个竖直方向的分力，$C$ 是这两个力合力的角度。
要是你把两个力拉直，$c$ 就是它们之间的夹角。 有时候你会认定余弦定理忒“硬”，出于它直接把 $C$ 角塞进了 $a$ 和 $b$ 的公式里。但换个角度看，它实际上是把 $c$ 角给“减”掉了，变成了“差值”。就像两个斜坡拼起来，总长度 $c$ 等于两段直路 $a$ 和 $b$ 之和，减去它们在 $C$ 点方向上的重叠局部。重叠局部就是 $2abcos C$。 要是不重叠，就是 $a+b$；重叠多了，$C$ 角就是锐角，$c$ 就短；重叠少了，$C$ 角就是钝角，$c$ 就长。
这就像两个人拔河，$a$ 和 $b$ 是两个人的力气，$c$ 是绳子被拉的距离。
要是两个人角度是 $0$ 度（$C$ 角为 $0$），那绳子就被拉得挺长，$c$ 接近 $a+b$。
要是角度是 $180$ 度（$C$ 角为 $180$），绳子就被拉得挺短，$c$ 接近 $|a-b|$。 这也解释得通了。 再举个例子，假设 $a=5, b=5$，是个等腰三角形。
要是 $C$ 角是 $60$ 度，那就是个等边三角形，$c$ 也得是 $5$。代入公式：$5^2 = 5^2 + 5^2 - 2 cdot 5 cdot 5 cdot cos 60^circ$。 $25 = 25 + 25 - 50 cdot 0.5$。 $25 = 25 + 25 - 25$。 $25 = 25$。成立。 要是是 $90$ 度直角三角形，$a=3, b=4, c=5$。 $5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos 90^circ$。 $25 = 9 + 16 - 24 cdot 0$。 $25 = 25$。成立。 看来余弦定理就是这样，它把三角函数跟代数运算完美地缝合在了一起。 高中的时候，我们可能只背了 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ 这个结论，但极少人知道它是如何从点积里长出来的。自然，知道得少不代表不关键，有时候少一点理解，反而能少一点死记硬背的压迫感。 像那些复杂的立体几何题，有时候让你去算体积，实际上最终还是要落回到这个平面的公式上。 你记得 $S_{triangle} = frac{1}{2}absin C$ 吗？ 那就记住，面积是正弦，面积也是余弦。 正弦像是引力，把东西往中间吸；余弦像是斥力，把东西往外推。 不过话说回来，高中数学里的公式都是死的。 要是你认定余弦定理还是绕得晕，没关系，你能够把它当成一种“坐标变换的代价”。 当你把三角形放在坐标系里时，$y$ 轴一直那个垂直的分量，$x$ 轴一直那个水平的分量。 $a$ 和 $b$ 的余弦值，实际上就是 $a$ 和 $b$ 在 $x$ 轴上的投影长度。 $2abcos C$ 就是这两个投影的乘积的两倍，也就是两个投影的“重叠”面积。 $S_{triangle}$ 是直角三角形的一半，底乘高。 而 $c$ 是两个斜边拼合后的总长。 当你把直角三角形剪开，沿着斜边 $c$ 剪一刀，你会拿到两个小直角三角形。 这两个小三角形拼起来，正好补成了一个大的直角三角形，它的面积是 $frac{1}{2}absin C$。 这个逻辑没难题。 不过，要是非要凑一个看起来像数学题的题目，比如问：已知 $a=3, b=4, C=90^circ$，求 $S$。 $S = frac{1}{2} cdot 3 cdot 4 cdot sin 90^circ = 6$。 挺好办的，就是填空。 要么问：已知 $a=5, c=13, B=37^circ$（近似于 $37^circ = 50^circ$？不，$37^circ$ 对应 $3, 4, 5$ 三边）。 假设 $a=3, b=4, C=53^circ$。 $cos 53^circ approx 0.6$。 $c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot 0.6 = 9 + 16 - 14.4 = 10.6$。 $c approx 3.25$。 这看起来不像整数，但计算过程没难题。 这说明余弦定理 isn't perfect in the real world for exact angles, but perfectly good for approximations. In the real world, wind speed is $10$ km/h. $S = frac{1}{2} cdot 10 cdot 10 cdot sin 60^circ approx 50 cdot 0.866 approx 43.3$ km²。 这玩意儿在实际工程中是用来算风力的，也是用来算子弹弹道轨迹的。 要是 $C$ 角是 $45$ 度，$S$ 就是 $frac{1}{2} cdot 10 cdot 10 cdot frac{sqrt{2}}{2} approx 35.35$。 要是你用余弦定理算 $c$，$c^2 = 100 + 100 - 2 cdot 10 cdot 10 cdot frac{sqrt{2}}{2} = 100 - 100sqrt{2} approx 100 - 141.4 = -41.4$。 什么的，$c^2$ 不能是负数。 $sqrt{2} approx 1.414$。 $100 - 141.4 = -41.4$。 这不对劲！ 啊，我算错了。$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。 $a=10, b=10, C=45^circ$。 $c^2 = 100 + 100 - 200 cdot 0.707 = 200 - 141.4 = 58.6$。 $c approx 7.65$。 这是对的。 那之前的例子呢？ $S = frac{1}{2}absin C = frac{1}{2} cdot 10 cdot 10 cdot sin 45^circ = 50 cdot 0.707 approx 35.35$。 $c^2 = 100 + 100 - 2 cdot 10 cdot 10 cdot cos 45^circ = 200 - 100sqrt{2} approx 58.6$。 这是对的。 我刚刚那个毛病例子是出于我算错了 $200sqrt{2}$ 还是 $200 cdot 0.707$？ $200 cdot 0.707 approx 141.4$。 $200 - 141.4 = 58.6$。 没难题。 实际上公式就是这样的，它不依赖“完美”的整数。 只要 $sin$ 和 $cos$ 的值是合理的，公式就成立。 这就是为啥我们要学习这个公式，出于它就是连接几何和代数的桥梁。 要是你认定它还让人困惑，那可能是出于你还没见过它在三维空间里如何用。 但在二维里，它就是那么简洁。 就像数学美学的本质，就是用最少的符号表达最丰富的内容。 三角形面积公式 $frac{1}{2}absin C$ 好办，余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ 也好办。 但这“好办”背后，是无数种推导方式的博弈。 有的地方用向量，有的地方用坐标，有的地方用海伦公式。 但核心思想都是不变。 不变的是啥？是三角形本身的性质。 不变的是啥？是角度。 不变的是啥？是边长。 不变的是啥？是它们之间的关系。 故此，一辈子不要试图去发明新的公式。 要不就你明白它为啥存有。 就像理解牛顿定律，不需求再发明一个新的物理定律，出于牛顿定律已经包含了万有引力定律。 理解余弦定理，不需求再发明一个新的几何定理，出于它已经包含了勾股定理（当 $C=90$ 时）。 理解面积公式，不需求再发明一个新的公式，出于它已经包含了底乘高的一半。 这真是数学的魅力。 有时候，你认定数学是枯燥的，是出于你只看到了公式的背面，没看到公式前面的过程。 有时候，你认定公式是僵硬的，是出于你只看到了结局，没看到它是如何从无数个可能的过程里长出来的。 但当你真正推导一遍的时候，你就明白了。 就像看导数，你只需求知道它代表函数的变化率。 你不需求知道它是 $frac{d}{dx}$ 这个微积分符号。 你只需求知道它代表“变化”。 而余弦定理就是那个最基础的“变化率”的几何体现。 $C$ 角的变化，害得 $c$ 长的变化。 这就是为啥我们要死磕这个公式。 出于它就是你的坐标原点。 你能够从这里出发，走到任何地方。 甭管你在哪个年级，甭管你在哪个复杂的定理面前，只要你能想起这个公式，你就能想起你为啥会在这里。 就像你记不住乘法口诀，是出于你根本就不会做加法。 同理，要是你不会推导余弦定理，你也就不会理解面积公式。 这就是数学的逻辑。 层层递进，环环相扣。 一不连，就不通。 故此，不要恐惧它。 把它当成一个老哥们儿。 它不会讲话，但它从不回绝。 它只是静静地在那里，等着你去理解它的含义。 在理解它的含义之前，你就连不需求把它写在纸上。 你只需求在心里笃定地信任它。 像信任重力一样。 当你在空中自由落体时，每时每刻都在利用这个公式。 你不需求去推导重力是如何来的。 你只需求利用它。 这就是高二的课程。 这就是高中数学。 简洁，深刻，永恒。 就像这个公式一样。 一辈子不变。 一辈子存有。 一辈子可靠。 这就是数学。 这就是生活。 这就是三角形。 这就是余弦定理。 这就是面积。 这就是 $S$。 这就是 $S_{triangle}$。 这就是 $S_{ABC}$。 这就是全体。