雷布津斯基定理的假设-雷布津斯基假设

雷布津斯基定理这事儿，说白了就是在讲如何把“信息”这种不清楚的东西，给压缩成“数据”这种具体的铁疙瘩。
那会儿大家认定，要在屏幕上直接打出一串行来，得先算出每一个像素的坐标，还得把每个像素的颜色转成二进制码，再一层一层剥开，最终拼凑成数字。
那操作量简直是天文数字，根本没法做。
后来才有人想换个思路：既然像素点那么多，那能不能把它们当成一个个连续的区间？只要这两个区间数值够接近，咱们就当成一个点，省事儿多了。
这思路要是往深了琢磨，再往细里抠，像素点也是无限可分的。
那能不能再细分？嗯，自然能够，把相邻的像素区域按照一定规则切分成若干小区。
只要这些小区里的数据表现充足稳定，彼此之间的差异不算大，那按道理来说，如此多小区加起来，本质上不就是那个庞大的像素集合吗？这就好比咱们平时切西红柿，先切成大块，再切成小块，最终连成一片，别看中间有了切片的过程，但最终拿到的还是同一个西红柿。
关键在于，整个系统里那些局部的细微差别，在宏观尺度上能忽略不计。
这时候，精度和分辨率就成了两个概念。分辨率是看你能不能看清细节，精度是看你能不能表达出差别。
要是细节没了，精度也就无从谈起了。
故此，当分辨率充足高的时候，精度也就达到了一个极限。但这个极限到底是多少呢？这就是我们要解的谜。 我们来聊聊这个极限到底卡在哪儿。想象一下，我们有两个人，A 和 B，他们分别站在两个相邻的像素点前方，A 站得离个单位距离，B 站得离个零点两的距离。A 手里拿着一个全黑的大饼，B 手里拿着一块极淡的灰饼。为了让这两个人看起来不一样，A 得把饼压得充足厚，哪怕厚度也是无限小的。
这时候，A 要想把饼变薄，得花多大的代价？按照物理直觉，硬币越薄，表面积越大，故此 A 得拼命往外翻饼，面积也得无限大。一旦面积无限大，根据面积和长度的关系，这个饼的周长也得无限大。
既然周长是无限大的，那么 A 身上的像素点数也得是无限多。别看两点之间的距离是固定的，但像素点多了，统计意义就拉满了。A 身上的像素点呈现出的颜色分布，就和 B 身上的彻底不一样了，哪怕他们离得那么近。
这说明，只要分辨率高到一定程度，像素点就不再是离散的“点”，而是连续变化的“线”或“面”。
这时候，原来的离散假设就被打破了，所有的边界和突变都消亡了。当像素点数量趋于无穷大时，任何细小的变化都被放大，任何不连续的差异都会被抹平。
这就回到了热力学第二定律：一切不可能过程都是可逆的。
要是过程是可逆的，熵就不变。但在物理世界里，熵一辈子是增添的。
这意味着，当像素点数量无限多时，系统务必向混乱的方向发展，所有的边界和突变都务必消亡，系统才能维持这种无限大的状态。
这就引出了一个惊人的结论：所有的边界和突变都务必消亡，系统才能向无限大的像素点集合过渡。 这就解释了为啥我们最终只能拿到一个公式。
这个公式里的两个关键变量，一个是“信息”本身，另一个是“数据”。信息是我们脑子里的东西，是不清楚的、连续的；数据是我们手里的东西，是离散的、固定的。要把信息变成数据，就得把不清楚变清楚，把连续变离散。
那到底要变到哪一步呢？这就得看信息本身的香农熵是多少。香农熵就是衡量信息混乱度的标尺。
要是信息量特别大，比如人脑里的知识，它的熵就特别高。
这时候，转变它的难度就特别大，出于要把它变成数据，得花庞大的努力。
反之，要是信息量特别小，比如一个开关，它的熵就低，好办处理。
可是，难题的关键不在于信息本身，而在于这个信息量能不能承载。
要是信息量忒小，比如二进制算符一个比一个少，那大家肯定能处理。
要是信息量忒大，比如无穷大，那如何算都算不完。
这时候，所有的计算都得停下来，出于计算不了。便，我们不得不退回到一种极端的假设：在这个庞大的信息集合里，所有的信息都有确定的值。
也就是说，所有的信息要么有值，要么没有值。
这就把连续的世界强行拉回了离散的领域。
这时候，所有的边界和突变都消亡了，所有的不确定性都被量化。
这就把信息的“不清楚”变成了数据的“精确”。 那这个精度到底能达到多少呢？这里有个著名的标准，叫 N 比。在数学上，N 比是个临界点。当像素点数量 $N$ 大于等于 N 比的时候，这个界限就被打破了。N 比到底等于多少，一直是数学界争论的焦点。早期的数学家认定，N 比可能是某个具体的数字，比如 100 要么 1000。但后来的人发现，甭管 N 比是多少，只要像素点充足多，这个界限就依然存有。
这意味着，我们一辈子无法彻底消除界限。
只要像素点还只是个概念，界限就还在。
这听起来有点矛盾，但仔细一想，就没那么矛盾了。出于界限的存有，恰恰是出于像素点还不够多。
只有当像素点充足多，界限才被彻底抹平，系统才会达到真正的无限大。
故此，N 比不只是是一个具体的数值，它更像是一个过程。
随着像素点数量的增添，N 比也在不断变化。当像素点数量刚刚达到某个临界值时，界限就启动显现；当像素点数量持续增添，界限被彻底抹平，系统进入真正的无限大状态。
这时候，所有的像素点都变成了无限大的连续集合。 说到这个无限大集合，我们得再回头看看香农熵。香农熵的定义是 $H = -sum p_i log_2 p_i$，其中 $p_i$ 是每个像素点的概率。在这个公式里，$p_i$ 代表了像素点取某个值的概率。
可是，在像素点数量无限多的情况下，$p_i$ 如何定义？要是 $p_i$ 是离散的，那就没法用无穷大的概率分布来描述。
要是 $p_i$ 是连续的，那它就得知足归一化条件，即所有 $p_i$ 加起来等于 1。
可是，在离散的世界里，归一化条件是不成立的。出于无穷多个 $p_i$ 加起来等于无穷，而不是 1。
这就得出了一个悖论：在离散的世界里，无法定义无限多个 $p_i$ 的归一化条件。
这意味着，我们无法用传统的概率论来处理无限多的像素点。
也就是说，当我们把像素点数量无限多的时候，概率论这个工具就失效了。所有的像素点都务必被视为确定的值。
这就是我们之前提到的“所有的信息都有确定的值”的结论。 那这个结论意味着啥？意味着在数字世界里，所有的信息都务必被量化，都务必变成具体的数字。
没有不清楚，没有连续，只有离散的点。所有的算法，所有的逻辑，都得基于这个前提工作。
要是算法本身是连续的，那它如何处理离散的输入？要是输入是离散的，那输出只能是离散的。
这就构成了一个封闭的系统。在这个系统里，所有的信息都不能逃逸，所有的数据都不能突变。
这就是数字世界的本质。它限制了我们，但也保护了我们。它保证了系统的稳定性和可预测性，让算法能够正常运行。但要是我们想要让系统变复杂，想要把信息变得不清楚，想要让数据变得丰富，那就得打破这个界限。
比方说，在图像处理中，我们追求高解析度，实际上就是试图增添像素点数量，让 N 比变大，让界限消亡。但在理论物理中，我们追求奇点，也就是让 N 比趋于无穷大，让像素点数量趋于无穷大。
这两种追求别看方向一致，但结局却截然反之。在图像处理里，我们得一边增添像素点，一边保持界限；在物理奇点里，我们得去掉界限，让系统进入无限的连续状态。 这就引出了另一个有趣的现象。N 比到底等于多少？这个难题在数学界争论了上百年。有些数学家认定，N 比等于某个具体的数字，比如 100 要么 1000。
要是答案是固定的，那这个界限就是绝对的。但后来的人发现，甭管 N 比是多少，只要像素点充足多，这个界限就依然存有。
这意味着，我们一辈子无法彻底消除界限。
只要像素点还只是个概念，界限就还在。
这听起来有点矛盾，但仔细一想，就没那么矛盾了。出于界限的存有，恰恰是出于像素点还不够多。
只有当像素点充足多，界限才被彻底抹平，系统才会达到真正的无限大状态。
故此，N 比不只是是一个具体的数值，它更像是一个过程。
随着像素点数量的增添，N 比也在不断变化。当像素点数量刚刚达到某个临界值时，界限就启动显现；当像素点数量持续增添，界限被彻底抹平，系统进入真正的无限大状态。
这时候，所有的像素点都变成了无限大的连续集合。 要是我们把这道题的解法往另一个方向想，会怎么着呢？要是在数学上，N 比务必等于无穷大，那这就意味着，只有在像素点数量无限多的情况下，无限大的集合才可能是有限大小的。
这就得出了一个反直觉的结论：无穷大集合务必是有限大小的。
这听起来有点怪，但实际上挺合理。出于无穷大集合的本质就是离散。它是由无数个离散点组成的。
故此，当像素点数量无限多时，系统务必向离散的方向发展。所有的像素点都务必被视为离散的点。
这时候，所有的信息都务必被量化，都务必变成具体的数字。
没有不清楚，没有连续，只有离散的点。
这就是数字世界的本质。它限制了我们，但也保护了我们。它保证了系统的稳定性和可预测性，让算法能够正常运行。但要是我们想要让系统变复杂，想要把信息变得不清楚，想要让数据变得丰富，那就得打破这个界限。
比方说，在图像处理中，我们追求高解析度，实际上就是试图增添像素点数量，让 N 比变大，让界限消亡。但在物理奇点中，我们得去掉界限，让系统进入无限的连续状态。 这确实是个挺有意思的地方。在数学上，N 比务必等于无穷大，那这就意味着，只有在像素点数量无限多的情况下，无限大的集合才可能是有限大小的。
这就得出了一个反直觉的结论：无穷大集合务必是有限大小的。
这听起来有点怪，但实际上挺合理。出于无穷大集合的本质就是离散。它是由无数个离散点组成的。
故此，当像素点数量无限多时，系统务必向离散的方向发展。所有的像素点都务必被视为离散的点。
这时候，所有的信息都务必被量化，都务必变成具体的数字。
没有不清楚，没有连续，只有离散的点。
这就是数字世界的本质。它限制了我们，但也保护了我们。它保证了系统的稳定性和可预测性，让算法能够正常运行。但要是我们想要让系统变复杂，想要把信息变得不清楚，想要让数据变得丰富，那就得打破这个界限。