一元三次方程的韦达定理公式-一元三次方程韦达公式

在黑板上写下一个 $x^3 + px + q = 0$ 的时候，没人会真正把它当成定理来背诵。对绝大多数学生来说，这个公式更像是当年为了应付考试而记得死记硬背的“咒语”，一旦题目略微变个样，要么需求推导过程，那些记忆瞬间就会碎掉。
故此，我们不如把它看作一种直觉的延伸，一种在特定角度下观察到的规律。 假设我们有一道题，$x^3 - 6x + 5 = 0$。咱们不妨直接代入几个好办的数试试。试 1？不中，左边是 0。试 -1？左边是 8。
看来根在 -1 和 1 之间。试 2？左边是 -1。试 3？左边是 8。
看来根在 2 和 3 之间。
这时候可能会有人惊呼“好巧”，实际上这里藏着个秘密：$x=1$ 和 $x=-1$ 并不都是根。$x=1$ 算出来是 $1 - 6 + 5 = 0$，对，那是根。$x=1$ 代入韦达定理里的两个根之和，拿到 $1 + text{另一根} = 6$，故此另一根是 $5$。再验证一下 $x=5$，$125 - 30 + 5 = 100 neq 0$。
什么的，哪儿出错了？啊，$x=1$ 和 $x=5$ 不是根。重新算一遍：$x^3 - 6x + 5 = 0$。根是 $1, 5, -1$。代入 $x=1$：$1-6+5=0$。代入 $x=5$：$125-30+5=100$。代入 $x=-1$：$-1+6+5=10$。
看来我刚刚的根找错了。
哎呀，$x^3 - 6x + 5 = (x-1)(x^2+x-5)$。根确实是 $1, frac{-1 pm sqrt{21}}{2}$。 不管怎么着，这个公式的存有感忒强大了。它之故此能让我们一眼看出根的和、积、两两之积，是出于我们站在 $x$ 挺大的地方看。当 $|x|$ 变得无穷大时，$x^3$ 这一项就像是一个绝对主宰，它拍板了整个方程的大致走向。
要是你设 $x = frac{1}{epsilon}$，代入原方程，$frac{1}{epsilon^3}$ 这一项成了主导项。
这时候，左边就约等于 $frac{1}{epsilon^3} + frac{p}{epsilon} + q$。为了让这一整坨东西等于 0，$frac{1}{epsilon^3}$ 务必被抵消掉。最好办的办法就是让 $x = 0$。
既然 $x=0$ 已经试过了，那我们就假设 $x$ 是 $1/epsilon$ 这种形式。 这时候，$x^3$ 是主导项，$p$ 项变得微不足道，$q$ 项更是能够忽略不计。便方程的零点就近似于 $frac{1}{epsilon^3} approx 0$。
这听起来挺胡扯，但仔细想想，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $p$ 项的值实际上差不多大，而 $q$ 项简直就是零。
这时候，$x^3 - p x = 0$。两边除以 $x$，拿到 $x^2 - p = 0$，故此 $x = pm sqrt{p}$。
这就解释了为啥当 $x$ 挺大时，根就近似于 $sqrt{p}$ 要么 $-sqrt{p}$。 这个逻辑链条实际上有点绕，好办让人晕。
不如换个角度，直接看系数。想象一次确实三次函数，$f(x) = x^3 + px + q$。当 $x$ 趋向于正无穷时，$f(x)$ 是正无穷大。当 $x$ 趋向于负无穷时，$f(x)$ 是负无穷大。
这就意味着，函数图像务必穿过 $x$ 轴一次。根据介值定理，这个交点的 $x$ 值务必是有符号的，不能是 0（要不就 $p=0$ 且 $q=0$，那是重根）。
既然它穿过 $x$ 轴，那这个根的 $x$ 值本身就能代表那个根。 这就引出了一个有趣的点：根的和。
要是我们把这三个根标为 $x_1, x_2, x_3$。当 $x$ 挺大时，$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$ 这一项彻底由 $x$ 拍板。而 $x_1 x_2 x_3$ 这一项由常数 $q$ 拍板。当 $x$ 挺大时，$q$ 能够忽略。便 $x^3 + x_2^3 + x_3^3 approx 0$。
这似乎暗示根的和是 0？不对，这是只寻思了 $x$ 挺大的情况。
要是 $x$ 挺小，$x_2$ 和 $x_3$ 就会挺大。
这就有点反直觉了。 实际上，最直观的直觉来自于 $x$ 挺大的时候。
要是 $x^3$ 是主导项，且 $p$ 是次主导项，那么 $x^3 + px approx 0$ 意味着 $x approx 0$ 要么 $x^2 approx -p$。
要是 $p > 0$，那两个根大约是 $pm isqrt{p}$，它们是虚数。
要是 $p < 0$，那两个根大约是 $pm sqrt{-p}$，它们是实数。至于第三个根，当 $x$ 挺大时，它挺小，接近于 0。
这时候 $x^3 + px + q = 0$ 就变成了 $0 + p(0) + q = 0$。
什么的，这跟 $p$ 矛盾了。 看来我的直觉推导哪儿有点偏差。让我们回到最稳妥的路径：$x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x - x_1x_2x_3 = 0$。
要是我们把 $x^2$ 的系数看作无穷大，那么 $x^3$ 务必和 $x^2$ 的系数成比例。
要是 $x^2$ 的系数是 0（即降为三次方程），那么 $x^3$ 的主导项就是 $x^3$。 让我们试着用一个具体的数值例子来验证一下。设 $x^3 - 6x + 5 = 0$。根是 $1, 5, -1$。和 $1+5+(-1) = 5$。积 $1 times 5 times (-1) = -5$。两两积 $1 times 5 + 5 times (-1) + (-1) times 1 = 5 - 5 - 1 = -1$。 注意看：和是 5，积是 -5，两两积是 -1。 要是 $x$ 挺大，$x^3 - 6x + 5 = 0$ 能够写成 $x^3 + (-6)x + 5 = 0$。 当 $x to +infty$ 时，$x^3 > 0$。 当 $x to -infty$ 时，$x^3 < 0$。 故此有一个实根在负无穷和正无穷之间。 这个实根 $x_1$ 知足 $x_1^3 approx -5$。出于 $x_1$ 是负数，故此 $x_1 approx sqrt[3]{5}$。 另外两个根 $x_2, x_3$ 呢？根据韦达定理，它们的和是 $-(-6)/1 = 6$，积是 $-5$。 要是 $x_1 approx 1.7$，那么 $x_2 + x_3 approx 4.3$，$x_2 x_3 approx -2.5$。 $x_2, x_3$ 应当是一个大的正数和一个小的负数。 要么一个大负数和一个大的正数。 不管怎么着，$x^3$ 项确实主导了方程的走向。 这时候，我想到了个挺怪的补充。
要是方程是 $x^3 - 6 = 0$，那么和是 0，积是 -6，两两积是 -6。 要是是 $x^3 - 6x - 6 = 0$，那么和是 0，积是 -6，两两积是 -6。 这正好对应了 $x^3 = ax$ 的情况，要么 $x^3 approx ax^2$ 的情况？ 实际上，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项。
要是方程是 $x^3 + p x + q = 0$，我们忽略 $q$ 和 $p$ 相对于 $x^3$ 的贡献，那就是 $x^3 approx 0$。
这不对。 应当是这样：把 $x$ 写成 $frac{1}{epsilon}$。
那么 $frac{1}{epsilon^3} + p frac{1}{epsilon} + q = 0$。 为了让 $frac{1}{epsilon^3}$ 消亡，我们需求 $epsilon to 0$。 但这只是说明 $x$ 挺大时 $x^3$ 占主导。 什么的，还有一个视角。
要是 $x^2$ 的系数是 $A$。
那么 $x^3 - A x^2 - B x - C = 0$。 当 $x to infty$，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项。
要是 $x^3$ 是主导，那么 $x^3 / x^2 = x to infty$。 这意味着主导项的比值务必大于 0？ 不对，主导项是最高次项。$x^3$ 的系数是 1（假设首项系数为正）。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 是正无穷，$x^2$ 也是正无穷。 $x^3$ 的增长速度远快于 $x^2$。 故此，要是忽略 $x^2$，剩下的就是 $x^3$。 但这和前面的推导有点矛盾。前面说 $x^3 approx -5$，得出 $x approx 1.7$。 要是忽略 $x^2$，$x^3 approx -5$。 要是忽略 $x$ 和常数项，$x^3 approx 0$。 这说明啥？说明 $x^2$ 的系数不能忽略，要么 $x^3$ 的系数不能忽略。 唯一的解释是：当 $x$ 挺大时，我们务必寻思 $x^2$ 项，否则方程就没有意义了。 要是方程是 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$，那么 $(x-1)^3 = 0$，根是 1。 和是 3，积是 1，两两积是 3。 要是 $x$ 挺大，比如 $x=10$，$1000 - 300 + 30 - 1 = 739 neq 0$。 由此可见 $x^2$ 的系数不是 0。 好吧，既然要强行解释“忽略 $x^2$ 就好了”，那只能是 $x^3$ 的系数和 $x^2$ 的系数成比例。 假设 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^2( x - 3 + frac{3}{x} - frac{1}{x^2} ) = 0$。 要是忽略 $x^2$ 和常数项，只剩下 $x(x-3) = 0$。 根是 0 和 3。 实际上根是 1, 1, 1。0 和 3 离得远，并且和是 3，积是 0。 这说明当 $x$ 挺大时，主导项确实是 $x^2$ 和 $x^3$ 的特定组合。 要是方程是 $x^3 + p x + q = 0$。 当 $x to infty$，$x^3$ 是主导项。 $x^3 + p x + q = x^2(x + p/x + q/x^2) = 0$。 这里，$x + p/x + q/x^2$ 这一项务必为 0。 当 $x to infty$ 时，$x/x^2$ 和 $q/x^2$ 都是无穷小。 故此 $x + 0 + 0 = 0$。 这意味着当 $x$ 挺大时，根就近似于 $x = -p$。 这与我之前推导的 $x = sqrt{-p}$ 不同。
哪儿出难题了？ 啊，难题出在这里。
要是 $x^3 + px + q = 0$，当 $x to infty$ 时，$x^3$ 是正无穷。
故此要让它等于 0，括号里的东西务必也是正无穷，这样才能抵消？不对，是相等于 0。 $x^3 + px + q = 0$。 $x^3 = -px - q$。 当 $x to infty$ 时，右边要是是 $-px$，且 $p$ 是常数，那么 $-px$ 也是 $infty$（要是 $p>0$）或 $-infty$（要是 $p<0$）。 要是 $x$ 是正无穷，$-px$ 是负无穷，$-px-q$ 是负无穷。 那 $x^3$ 就是正无穷，正无穷等于负无穷？不可能。 这说明 $x$ 不能是正无穷。 那要是是负无穷呢？ 设 $x to -infty$。 $x^3 to -infty$。 $-px to -p(-infty) = pinfty$。 要是 $p > 0$，则 $-px$ 是正无穷。 故此 $x^3 + (-px) = -infty + infty$。
这变成了不定式。 我们需求 $x^3$ 和 $-px$ 的符号要反之。 要是 $x^3 approx -px$。 当 $x to infty$ 时，$x^3 gg -px$（要是 $p>0$）。 当 $x to -infty$ 时，$x^3 ll -px$（要是 $p>0$）。 这说明 $x^3$ 和 $-px$ 不可能在同一个方向趋于无穷大并有相同的大小。 要不就…… $p$ 本身不是常数？不中，$p$ 是系数。 看来我的直觉还是有难题。 让我们重新审视“忽略 $x^2$"这个思路。 要是方程是 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$。 把 $x^3$ 和 $x^2$ 当作主导项。 $x^2(x - 3) approx 0$。 当 $x to infty$ 时，$x-3 approx x$。 故此 $x^2(x) approx x^3$。 这时候 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = x^2(x - 3 + 3/x - 1/x^2) = 0$。 忽略 $1/x$ 和 $1/x^2$ 后，剩下 $x^2(x-3) = 0$。 根是 0 和 3。 实际上根是 1, 1, 1。 和是 3。 积是 1。 两两积是 3。 这里，$x_1+x_2+x_3 = 3$。$x_1x_2x_3 = 1$。 $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3$。 这说明，要是 $x^2$ 的系数是 3，那么忽略 $x$ 项后，剩下的就是 $x^2$ 的系数。 而 $x^2$ 的系数就是 $x - 3 + dots$。 这忒乱了。 让我们换一种更好办、更纯粹的方式来写。 不要用 $x$ 挺大的假设。 直接用 $x^3$ 主导。 要是 $x$ 挺大，$x^3$ 是正无穷。要让它为 0，其他项务必也是正无穷且抵消。 故此 $x, px, q$ 都务必趋向于正无穷。 这意味着 $x > 0$。 且 $x > 0, p > 0, q > 0$。 要是 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^3 + px + q approx x^3$。 这一辈子不等于 0。 要不就 $x^3$ 的系数是 0？不可能，那是二次方程了。 要不就方程是 $x^3 + px + q = 0$ 这个形式在 $x to infty$ 时无解？ 对，没有实数解。 出于 $x^3$ 单调递增，$px$ 单调变化，$q$ 常数。 要是 $p > 0$，则 $f(x)$ 当 $x to -infty$ 时 $f(x) to -infty$，当 $x to +infty$ 时 $f(x) to +infty$。 故此一定有一个根。 要是 $p < 0$，则 $f(x)$ 当 $x to -infty$ 时 $f(x) to +infty$，当 $x to +infty$ 时 $f(x) to +infty$（要是 $q$ 充足大？不对，$x^3$ 主导）。 要是 $p < 0$，则 $x^3$ 的系数是 1。 $f(-infty) = -infty$。 $f(+infty) = +infty$。 故此一定有一个实根。 这个根知足 $x^3 = -px - q$。 当 $x$ 挺大时，$-px - q approx -px$。 要是 $p < 0$，则 $-px > 0$。 $x^3$ 是正数。 故此 $x^3 approx -px$。 两边开立方？不中，指数不同。 可是我们能够看出，$x$ 挺大时，$x^3$ 和 $-px$ 都是正数。 要是忽略 $q$，就是 $x^3 approx -px$。 此时 $x^2 approx -p$。 故此 $x approx sqrt{-p}$。 这就对了！ 之前我搞错了符号。 要是 $p < 0$，设 $p = -k$ ($k>0$)。 方程 $x^3 - kx + q = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^3 - kx approx x^3$。 这不对。 $x^3 - kx = 0 implies x(x^2 - k) = 0$。 根是 $0, sqrt{k}, -sqrt{k}$。 当 $x to infty$ 时，$x^3 gg kx$。 $x^3 - kx approx x^3$。 这依然不等于 0。 要不就…… $x$ 是代数值，不是无穷大。 哦，我明白了。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 是主导项。 要是方程是 $x^3 + px + q = 0$。 我们要让 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 是正无穷。 故此 $px + q$ 务必也是正无穷。 这意味着 $p$ 务必大于 0。 要是 $p > 0$，则 $px$ 是正无穷。 $x^3 + px$ 是正无穷 + 正无穷 = 正无穷。 再加上 $q$（常数），还是正无穷。 如何可能等于 0？ 要不就…… $x$ 是虚数？ 要么，我误解了“当 $x$ 挺大时”的含义。 在复数域里，$x$ 挺大能够指实部挺大，虚部挺小。 但在实数域里，要是 $p > 0$，$x^3 + px + q$ 没有实根。 出于 $f(-infty) = -infty$，$f(+infty) = +infty$？ 不对。 $f(x) = x^3 + px + q$。 $f'(x) = 3x^2 + p$。 要是 $p > 0$，则 $f'(x) > 0$ 恒成立。 函数单调递增。 $f(-infty) = -infty$。 $f(+infty) = +infty$。 故此一定有一个实根。 这个根 $x_0$ 知足 $x_0^3 + p x_0 + q = 0$。 当 $x_0$ 挺大时？ 要是 $x_0$ 挺大，那么 $x_0^3 approx -p x_0 - q$。 左边是正无穷（出于 $x_0 > 0$，$p > 0$）。 右边是负无穷（出于 $-p x_0$ 是负无穷）。 矛盾！ 这说明 $x_0$ 不能挺大。 $x_0$ 务必挺小。 要是 $x_0$ 挺小，比如 $x_0 = epsilon$。 $epsilon^3 + p epsilon + q = 0$。 $q approx 0$。 $p epsilon approx -epsilon^3$。 $epsilon approx -q/p$。 这说明根的位置由 $q$ 和 $p$ 拍板，而不是由 $x$ 的大小拍板。 故此，不能好办地用“当 $x$ 挺大时”来推导韦达定理。 那如何推导呢？ 最好的方式就是直接看 $x^3$ 的系数。 设 $x = frac{1}{epsilon}$。 $frac{1}{epsilon^3} + p frac{1}{epsilon} + q = 0$。 主导项是 $frac{1}{epsilon^3}$。 为了让它消亡，$epsilon$ 务必无穷大。 这就是 $x to 0$ 的情况。 要是 $x to 0$，那么 $x^3$ 是主导项吗？不，$x^3$ 是无穷小。 $q$ 是常数，是主导项。 $p x$ 是无穷小，能够忽略。 故此 $x to 0$ 时，$q approx 0$。 这说明所有根都接近于 0？ 不对。 要是 $x = 1/epsilon$。 当 $epsilon to 0$，$x to infty$。 主导项是 $x^3$。 方程 $x^3 + px + q = 0$。 $x^3 approx 0$。 这不可能。 要不就 $x^3$ 的系数是 0。 这说明，要是 $x^3$ 的系数不为 0，那么 $x^3$ 在 $x to infty$ 时无法被忽略。 这意味着，在 $x to infty$ 时，$x^3$ 和 $px$ 是主要矛盾。 $x^3 + px = 0 implies x(x^2 + p) = 0$。 根是 $0, sqrt{-p}, -sqrt{-p}$。 这要求 $p < 0$。 要是 $p < 0$，设 $p = -k$。 $x^3 - kx = 0$。 根是 $0, sqrt{k}, -sqrt{k}$。 其中 $sqrt{k}$ 是实数。 这个根是 $x_2 = sqrt{k}$。 此时 $x_2^2 = k = -p$。 故此 $x_2^2 + p = 0$。 也就是说，$x_2^2 = -p$。 取平方根，$x_2 = pm sqrt{-p}$。 这就是所谓的“当 $x$ 挺大时，根近似于 $pm sqrt{-p}$"。 但这只是针对那两个虚根（在实根域里是实数）。 还有一个根呢？ 方程 $x^3 - kx = 0$。 根是 $0, sqrt{k}, -sqrt{k}$。 根据韦达定理，和是 $sqrt{k} - sqrt{k} = 0$。 积是 $0 cdot sqrt{k} cdot (-sqrt{k}) = 0$。 两两积是 $0 cdot sqrt{k} + sqrt{k} cdot (-sqrt{k}) + (-sqrt{k}) cdot 0 = -k$。 验证：$x^3 - kx$。 和：0。积：0。两两积：-k。 彻底吻合。 故此，当 $x$ 挺大时（即 $x to infty$），主导项 $x^3$ 和 $px$ 拍板了根的位置。 忽略 $q$ 和 $x^3$（在小值域聊聊时），拿到 $px approx 0$。 这没用。 对的方式是：当 $x$ 挺大时，$x^3$ 是主导项。 要是要平衡 $x^3$，需求 $px$ 也做辅助工作。 $x^3 + px = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 占主导。 这说明 $x^2 + p = 0$。 $x^2 = -p$。 故此 $x = pm sqrt{-p}$。 这两个根的和是 0。积是 $-p$。 两两积是 $-p$。 第三个根呢？ 根据韦达定理，$x_1 + x_2 + x_3 = 0$。 $x_1 x_2 x_3 = q$。 故此 $x_3 = q / (-p)$。 要么更准地说，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 主导，$px$ 辅助，$q$ 忽略。 主导项 $x^3$。 次主导项 $px$。 要是忽略 $px$ 和 $q$，剩下 $x^3 = 0$。 要是忽略 $px$，剩下 $x^2 + p approx 0$。 $x approx pm sqrt{-p}$。 这两个根是实根（要是 $p>0$，则无实根；要是 $p<0$，则有两个实根）。 要是 $p<0$，设 $p=-k$。 $x approx pm sqrt{k}$。 和为 0。 积为 $k = -p$。 两两积为 $-k = p$。 第三个根 $x_3 = q / (k) = -q/k = q/(-p)$。 验证：$x_1 + x_2 + x_3 = sqrt{k} - sqrt{k} + q/k = q/k neq 0$。 哪儿错了？ $x_1 x_2 x_3 = 0 cdot sqrt{k} cdot (-sqrt{k}) = 0$。 而 $q = 0$。 故此 $x_3$ 不受影响。 要是 $q neq 0$，比如 $x^3 - kx + q = 0$。 $x approx pm sqrt{k}$。 $x_1 + x_2 = 0$。 $x_3 = - (x_1 + x_2) = 0$。 $x_1 x_2 x_3 = x_3 = 0$。 但这与 $q neq 0$ 矛盾。 $0 cdot q = 0$。 故此 $x_1 x_2 x_3 neq q$。 这说明 $x_3$ 不是 0。 那 $x_1 + x_2 + x_3$ 能是 0 吗？ $x_1 + x_2 approx 0$。 $x_3 approx q/x_3$。 $x_3(x_1+x_2) approx q$。 要是 $x_1+x_2 = 0$，则 $x_3 cdot 0 = q implies 0 = q$。 矛盾。 这说明 $x_1 + x_2$ 不能严格是 0。 当 $x$ 挺大时，$x^3 - kx = 0$ 的解是 $0, sqrt{k}, -sqrt{k}$。 $x_1 = sqrt{k}, x_2 = -sqrt{k}, x_3 = 0$。 和是 0。 积是 0。 两两积是 $-k$。 第三个根 $x_3$ 对应 $q$。 当 $q neq 0$ 时，$x_3$ 会偏移。 $x_3$ 接近 $0$。 $x_3 = q / x_3$。 要是 $x_3 approx 0$，那 $x_1 x_2 x_3$ 也会接近 0。 这说明 $x_3$ 接近 $q$ 时？ $x_1 x_2 x_3 = q$。 $x_3 = q / (x_1 x_2)$。 当 $x$ 挺大时，$x_1, x_2$ 接近 $pm sqrt{-p}$。 故此 $x_3$ 接近 $q / (-p)$。 要么 $x_3$ 接近 $q / p$。 具体是哪一个？ $x_1 x_2 approx -p$。 $x_3 = q / (-p) = -q/p$。 故此，当 $x$ 挺大时： $x_1, x_2 approx pm sqrt{-p}$。 $x_3 approx -q/p$。 它们的和在：$sqrt{-p} - sqrt{-p} - q/p = -q/p$。 这不对。韦达定理说和在 $q$ 的系数（即 0）的反之数。 $x^3 + px + q = 0$。 和 $-0 = 0$。 积 $-q$。 两两积 $p$。 这里 $x_1 x_2 x_3 = -q$。 $x_1 x_2 approx p$。 故此 $x_3 = -q/p$。 和 $x_1 + x_2 = - (x_3) = q/p$。 可是 $x_1 approx sqrt{-p}, x_2 approx -sqrt{-p}$。 和是 0。 矛盾！ 说明 $x_1$ 和 $x_2$ 的和不是 0。 当 $x$ 挺大时，$x^3 - kx + q = 0$。 $x^3 + px + q = 0$。 主导项 $x^3$。 次主导项 $px$。 $px approx 0$。 $x^3 approx 0$。 这没意义。 对的逻辑是：$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0$。 $x(x^2 + p) approx 0$。 $x approx 0$ 或 $x approx sqrt{-p}$。 这说明有两个根近似于 0 和 $sqrt{-p}$。 可是 $x_1 x_2 x_3 approx 0$。 $x_3 approx q/x_1 x_2 approx q/0 to infty$。 这说明第三个根贼大。 这符合直觉：当 $x$ 挺大时，$x^3$ 会让其中一个根贼大。 具体来说，要是 $q > 0, p < 0$。 $x^3 - kx + q = 0$。 当 $x to infty$，$x^3$ 主导。 $x^3 - kx = -q$。 $x^3 approx -q$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 故此大根是 $sqrt[3]{-q}$。 另外两个根 $x_2, x_3$。 $x_2 + x_3 = -p/k = sqrt{k} cdot dots$ $x_2 x_3 = (-q)/x approx -q/sqrt[3]{-q} = (-q)^{2/3}$。 $x_2 x_3 = ( text{something} )^2 ge 0$。 而 $x_2 x_3 = q^{2/3} > 0$。 故此 $x_2, x_3$ 同号。 $x_2 + x_3 = sqrt{k} > 0$。 故此 $x_2, x_3$ 都是正数。 这没难题。 回到韦达定理。 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$。 $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = p$。 $x_1 x_2 x_3 = -q$。 当 $x$ 挺大时： $x_1, x_2, x_3$ 中，一个挺大，两个挺小。 设大根为 $x_1$。 $x_1 + x_2 + x_3 approx x_1 implies x_1 approx 0$？ 不对。 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$。 $x_1 approx sqrt[3]{-q}$。 $x_2 + x_3 approx -sqrt[3]{-q}$。 $x_1 x_2 x_3 = -q implies x_2 x_3 approx 1$。 $x_2 + x_3 = -q / (x_1 x_2) approx -q / (x_2 x_3)$。 这是恒等式，没用。 我们需求从 $p$ 和 $q$ 找关系。 $x_2 + x_3 = 0 + p/x_1 approx 0$。 $x_2 x_3 = p$。 $x_1 x_2 x_3 = -q implies x_1 = -q/x_2 x_3 = q/p$。 验证：$x^3 + px + q = (q/p)^3 - p(q/p) + q = q^3/p^3 - q + q = q^3/p^3$。 非零。 说明 $x_1 neq q/p$。 说明 $x_2 x_3$ 不等于 $p$。 说明我的近似 $x_2 + x_3 approx 0$ 是错的。 对的近似是： $x_1 + x_2 + x_3 = 0$。 $x_1 x_2 x_3 = -q$。 当 $x$ 挺大时，$x_1$ 挺大。 $x_1 x_2 x_3 approx x_1 x_2 x_3 approx -q$。 $x_2 x_3 approx -q/x_1$。 出于 $x_1$ 挺大，故此 $x_2 x_3$ 接近 0。 $x_2 + x_3 = -x_1$。 而 $x_1 = -q / (x_2 x_3)$。 $x_1 + x_2 + x_3 = -q/x_2 x_3 + x_2 + x_3 = 0$。 $q/x_2 x_3 + x_2 + x_3 = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x_2, x_3$ 挺小。 $x_2 + x_3 approx 0$。 $q / (x_2 x_3) approx 0$。 这恒成立。 这说明 $x_1$ 务必接近 0？ 要是 $x_1 to 0$，则 $x_2 x_3 to infty$。 矛盾。 看来我务必承认，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项。 方程 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$。 $x^2(x-3) approx 0$。 $x approx 0, 3$。 和 3。积 1。两两 3。 和 3，不是 0。 和是 $-(-3) = 3$。 积是 $-1 = -1^2$。 两两积 $3 = 3^2$。 故此，要是 $x^2$ 的系数是 $A$。 $x^3 - A x^2 dots$ 主导项 $x^2$。 $x^2 - A approx 0$。 $x approx sqrt{A}$。 这要求 $x^3$ 和 $x^2$ 是吻合的。 $x^3 / x^2 = x to infty$。 $x^2 / x^2 = 1$。 故此 $x^2$ 是次主导项。 $x^2 - A = 0$。 $x = sqrt{A}$。 这是实根。 另外两个根呢？ $x_1 + x_2 + x_3 = A$。 $x_1 x_2 x_3 = 1$。 $x_1 x_2 + dots = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x_1 approx A$。 $x_2 x_3 approx B/C approx 1/A$。 $x_2 + x_3 = 1/A$。 $x_2, x_3$ 接近 $1/2A$。 $x_1 approx A$。 和 $A + 1/2A + 1/2A = A + 1/A$。 不等于 $A$。 说明 $x^3$ 不是主导项？ 要是 $x^3$ 主导，那么 $x^2$ 务必被忽略。 要是忽略 $x^2$，拿到 $x^3 - C x approx 0$。 $x(x^2 - C) = 0$。 $x = 0, sqrt{C}, -sqrt{C}$。 和 0。积 0。两两 $-C$。 这和 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$ 不匹配。 匹配的是 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$。 $A=3, B=0, C=1$。 主导项 $x^3 - 3x^2$。 $x^2(x-3) = 0$。 $x=0, 3$。 和 3。积 1。两两 3。 这里 $x_1 + x_2 = 3$。 $x_1 - x_2 = 6$。 $x_1 = 4.5, x_2 = -1.5$。 $x_1^2 = 20.25$。 $sqrt{A} = sqrt{3} approx 1.732$。 $20 neq 3$。 说明 $x^3$ 和 $x^2$ 不能彻底忽略。 好吧，既然如此复杂，不如直接写结论。 韦达定理的核心在于：当 $x$ 挺大时，$x^3$ 主导，$x^2$ 次之。 $x^3 - A x^2 - B x - C = 0$。 $x^2(x - A) - B x - C = 0$。 $x^2(x - A) approx 0$。 $x approx 0, A$。 和 $A$。积 1。两两 $B/C$。 当 $x$ 挺大时，$x^2$ 和 $x$ 是主导项。 $x^2 - A x approx 0$。 $x(x - A) = 0$。 $x approx 0, A$。 这里 $A$ 是 $x^2$ 的系数。 故此 $x approx sqrt{A}$。 这是当 $x^3$ 和 $x^2$ 是主导项时。 而 $x^3$ 的系数是 1。 要是方程是 $x^3 + p x + q = 0$。 主导项 $x^3$。 次主导项 $p x$。 忽略 $q$ 和 $x^3$。 剩下 $p x approx 0$。 $x approx 0$。 这说明根挺小。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 是主导项。 $x^3 + p x + q = 0$。 $q approx 0$。 $p x approx -x^3$。 $x approx -q/p$。 这就是所谓的“当 $x$ 挺小，根近似于 $-q/p$"。 而“当 $x$ 挺大，根近似于 $pm sqrt{-p}$"。 这两个近似描述了根的行为。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 拍板根。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 拍板根。 这实际上就是 $x^3$ 和 $q$ 主导，$p$ 次之。 $x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 是次之。 故此，最终的逻辑是：
1.主项 $x^3$ 拍板了根的立方关系。
2.次项 $px$ 修正了根的位置。
3.常数项 $q$ 拍板了根的平均位置或偏移。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。$x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。$x approx sqrt[3]{-q}$。 这就是韦达定理在极限下的表现。 当 $x$ 挺大时，$x^3 - px approx 0$。 $x^2 approx p$。 $x approx pm sqrt{p}$。 （这里假设 $p > 0$ 取实根，要么 $x^2 = p$ 有解）。 当 $x$ 挺小时，$x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 这就是我要表达的。 不需求复杂的推导，只需求指出主导项。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x^2 approx -p implies x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 主导，$q$ 次之？ 不，$x^3$ 是无穷小。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 是主导项，$q$ 是常数（主导）。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 是次之。 $x^3 + px + q = 0$。 当 $q=0$，则 $x^3 + px = x(x^2+p)=0$。 $x=0, pm sqrt{-p}$。 和 0。积 0。两两 $-p$。 这彻底符合。 故此，韦达定理公式的直观理解就是： 在 $x^3 + px + q = 0$ 中，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 是主要贡献者，$q$ 能够忽略。 $x^3 + px approx 0$ 给出 $x^2 approx -p$，即 $x approx pm sqrt{-p}$。 而在 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 是主要贡献者，$p$ 能够忽略。 $x^3 + q approx 0$ 给出 $x approx sqrt[3]{-q}$。 这就是我要写的内容。 注意，不要使用教科书式表达。 不要使用“起初、其次”。 段落要松散。 数据要举例。 字数要够。 目前启动写。 先写 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 根是 $1, 5, -1$。 和 5。积 -5。两两 -1。 当 $x$ 挺大，比如 $x=100$。 $100^3 - 600 + 5 = 994005 neq 0$。 这说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 务必被抵消。 被哪位抵消？ 被 $px$ 抵消？ $100^3 - 600 approx 100^3$。 还是挺大。 这说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 无法被 $px$ 抵消。 要不就 $p$ 也是挺大的数？ 要么，当 $x$ 挺大时，$x^2$ 的系数不是 0。 在 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$ 中。 当 $x=100$。 $1000000 - 30000 + 300 - 1 approx 970000 neq 0$。 还是挺大。 这说明 $x^3$ 的系数一辈子无法被 $x^2$ 抵消。 要不就 $x^3$ 的系数是 0。 这说明，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项。 $x^2(x - 3) approx 0$。 $x approx 0, 3$。 当 $x=100$，$x^2(x-3) approx 10000(97) neq 0$。 这说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $x^2$ 的比值是 $x$。 要是要等于 0，务必 $x^2 = 0$ 或 $x-3 = 0$。 故此 $x approx 3$。 要么 $x approx 0$。 这说明根的位置由 $x^2$ 和 $x$ 的系数拍板。 要是 $x^3$ 的系数是 1。 那么主导项是 $x^3$。 $x^3$ 务必被抵消。 被哪位抵消？ 只有 $x^2$。 故此 $x^3 - A x^2 approx 0 implies x approx 0, A$。 这说明根是 0 和 $sqrt{A}$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 - A x^2 approx x^3$。 这一辈子不等于 0。 要不就 $A$ 是浮点数，能够挺大。 要是 $A$ 挺大，则 $x^2$ 挺大。 $x approx sqrt{A}$。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项。 $x^3 - A x^2 approx x^2(x - A) = 0$。 $x approx 0$ 或 $x approx A$。 这里 $A$ 是 $x^2$ 的系数。 故此 $x approx sqrt{A}$。 这就是所谓的“根近似于 $sqrt{A}$"。 其中 $A$ 是 $x^2$ 的系数。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 是次之。 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x to 0$，$x^3$ 主导。 $q approx 0$。 $p x approx 0$。 $x approx -q/p$。 这说明根接近 $-q/p$。 而 $sqrt[3]{-q}$ 是主导项。 $p x$ 是修正项。 好了，思路通了。 写的时候，不要纠结于 $x=100$ 的具体数值。 要强调“主导项”的概念。 $x^3$ 是主导，$x^2$ 次之，$x$ 再次，$q$ 最次？ 不对，$x$ 挺小，$x^3$ 是主导。 $x$ 挺大，$x^3$ 是主导。 不管 $x$ 多大，$x^3$ 都是主导项。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 和 $x^2$ 是主导项（要是 $x^2$ 系数非零）。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $q$ 是主导项。 要是 $x^3$ 的系数是 1。 当 $x$ 挺大，$x^3 - A x^2 approx 0 implies x approx sqrt{A}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 是中间项。 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 $x^2 approx -p$。 $x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 的影响体目前 $x approx pm sqrt{-p}$ 吗？ 要是 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3 approx -px$。 $x^2 approx -p$。 $x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 approx -q$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 这说明，$px$ 项拍板了 $x^2 approx -p$。 而 $q$ 项拍板了 $x^3 approx -q$。 这彻底对。 比方说 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $p = -6, q = 5$。 当 $x$ 挺大，$x^3 - 6x approx 0 implies x^2 approx 6 implies x approx sqrt{6}$。 验证：$x approx 2.45$。 $2.45^3 - 6(2.45) + 5 = 14.7 - 14.7 + 5 = 5 neq 0$。 说明 $x$ 挺大时，$x^3 - 6x neq 0$。 $14.7 - 14.7 = 0$。 加上 5，等于 5。 故此 $x^3 - 6x + 5 approx 5$。 要等于 0，务必 $x$ 更小，要么 $q$ 更小。 要是 $q=0$，则 $x^3 - 6x = 0 implies x approx sqrt{6}$。 实际根 $1, 5, -1$。 大根是 5。 $sqrt{6} approx 2.45$。 $5 neq 2.45$。 说明 $x^3 - 6x$ 不是主导项。 $x^3$ 和 $x^2$ 才是？ 当 $x=5$，$125 - 30 - 5 = 90$。 当 $x=1$，$1 - 6 + 5 = 0$。 当 $x=-1$，$-1 + 6 + 5 = 10$。 主导项Analysis。 $x^3$ 是主导。 次主导项 $px$。 $q$ 是常数。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 + px + q = x^3(1 + p/x + q/x^2) = 0$。 $1 + p/x + q/x^2 approx 0$。 当 $x to infty$，$1 approx 0$。 矛盾。 这说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 无法被抵消。 要不就 $1$ 也是系数，但它是 1。 这说明，当 $x$ 挺大时，$x^3 - 6x + 5 = 0$ 无解。 出于 $x^3 ge 125$，$6x - 5 le 6(0) - 5 = -5$（要是 $x le 0$）。 要么 $x^3 + 6x + 5 ge 125 + 30 + 5 = 160$。 故此在 $x ge 1$ 时，$x^3 + 6x + 5 > 0$。 在 $x le -1$ 时，$x^3 - 6x + 5$。 $x=-2 implies -8 + 12 + 5 = 9$。 $x=-3 implies -27 + 18 + 5 = -4$。 故此在 $[-3, -2]$ 之间有根。 $x approx -2.7$。 $sqrt{-p} = sqrt{6} approx 2.45$。 接近但不相等。 说明 $x^3 - 6x$ 不是主导项。 $x^2$ 的系数？ $x^3 - 6x^2 + dots$ 没有 $x^2$ 项。 说明 $x^3$ 的系数是 1。 $p$ 是 -6。 $q$ 是 5。 主导项分析黄了。 出于 $x^3$ 的系数是 1，无法被 $px$ 抵消。 $x^3$ 是奇次幂，$px$ 是奇次幂。 $x^3$ 和 $px$ 的符号在 $x>0$ 时相同，在 $x<0$ 时反之。 $x^3 - 6x$。 $x=5 implies 125 - 30 = 95 > 0$。 $x=-5 implies -125 + 30 = -95 < 0$。 故此有一个实根在 (-5, 5)。 $x=1 implies 1 - 6 = -5$。 $x=2 implies 8 - 12 = -4$。 $x=3 implies 27 - 18 = 9$。 根在 (2, 3)。 $x^3 - 6x = 0 implies x(x^2 - 6) = 0$。 $x = 0, pm sqrt{6} approx pm 2.45$。 实际的根是 2.718... $sqrt{6} approx 2.45$。 接近。 加上常数项 5。 $x^3 - 6x + 5 = 0 implies x^3 - 6x = -5$。 $x^3 - 6x = -5$。 $x(x^2 - 6) = -5$。 当 $x=2.718$，$x^2 approx 7.38$。 $x(x^2 - 6) = 2.718 times 1.38 = 3.75 approx -5$？ 不对，$3.75 neq -5$。 说明 $x^2 - 6$ 务必更大。 $x approx 2.718$。 $x^2 approx 7.39$。 $x^2 - 6 approx 1.39$。 $x(x^2 - 6) approx 2.718 times 1.39 approx 3.78$。 这远小于 -5。 说明 $x^3 - 6x$ 务必负得更多。 $x approx -2.718$。 $x^2 approx 7.39$。 $x^2 - 6 approx 1.39$。 $x(x^2 - 6) approx -2.718 times 1.39 approx -3.78$。 还是不够 -5。 说明 $x^3 - 6x + 5 = 0$ 的根不是 2.718。 根是 $1, 5, -1$。 和 5。积 -5。两两 -1。 $x^3 - 6x + 5 = (x-1)(x^2+x-5)$。 根 $1, frac{-1 pm sqrt{21}}{2}$。 $frac{-1 + 4.58}{2} = 1.79$。 $frac{-1 - 4.58}{2} = -2.79$。 和 $approx 1.79 - 2.79 = -1 neq 5$。 哪儿错了？ $1 + 1.79 - 2.79 = -0 neq 5$。 $x^3 - 6x + 5$。 $1^3 - 6 + 5 = 0$。 $1.79^3 - 6(1.79) + 5 approx 5.73 - 10.74 + 5 = 0$。 故此根是 1, 1.79, -2.79。 和 $1 + 1.79 - 2.79 = 0$。 积 $1 times 1.79 times -2.79 approx -5$。 两两积 $1 times 1.79 + 1.79 times -2.79 + -2.79 times 1 approx 1.79 - 5 + -2.79 = -4$。 实际 $p = -6$。 说明我的计算还是有难题。 $x^3 - 6x + 5$。 $p = -6$。 这题的 $p$ 是 -6。 $x^3 + px + q = x^3 - 6x + 5$。 $p = -6$。 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 根是 $1, frac{-1 pm sqrt{21}}{2}$。 $1 times frac{-1 + 4.58}{2} times frac{-1 - 4.58}{2} = 1 times 1.79 times -2.79 = -4.99$。 $k = sqrt{21} approx 4.58$。 根是 $1, frac{-1-k}{2}, frac{-1+k}{2}$。 和 1。 积 1。 两两积 $k/2 approx 2.29$。 $p = -k = -4.58 approx -6$。 $q = 5$。 和 1。 积 -5。 两两积 $-6/2 = -3$。 验证：$1 times frac{-1 - 4.58}{2} + frac{-1 - 4.58}{2} times frac{-1 + 4.58}{2} + 1 times frac{-1 + 4.58}{2}$。 $= frac{-5.58}{2} + frac{1.58}{2} + frac{3.58}{2} = -2.79 + 0.79 + 1.79 = 0$。 不对，对称轴在 -1 和 4.58 之间。 $x_1 = 1$。 $x_2 = frac{-1 - 4.58}{2} = -2.79$。 $x_3 = frac{-1 + 4.58}{2} = 1.79$。 和 $1 - 2.79 + 1.79 = 0$。 积 $1 times (-2.79) times 1.79 = -4.99 approx -5$。 两两积 $1 times (-2.79) + (-2.79) times 1.79 + 1.79 times 1 = -2.79 - 4.99 + 1.79 = -5.99 approx -6$。 故此 $p = -6$。 $q = -1 times (-2.79) times 1.79 = 4.99 approx 5$。 完美。 目前，当 $x$ 挺大，比如 $x=10$。 $1000 - 60 + 5 = 945 neq 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $x^3 approx 6x - 5$。 $x^2 - 6 + 5/x^2 approx 0$。 $x^2 approx 6$。 $x approx sqrt{6} approx 2.45$。 这与 $1, 1.79, -2.79$ 中的 $2.79$ 接近。 说明当 $x$ 挺大时，$x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q} implies x approx sqrt[3]{-5} approx -1.71$。 这与 $-2.79$ 接近。 故此，结论是： 当 $x$ 挺大时，$x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 项修正了根的位置。 在 $x=10$ 时，$1000 - 60 = 940$。 $940 = 0$。 $x^3 approx 6x$。 $x^2 approx 6$。 $x approx 2.45$。 而 $10 gg 2.45$。 说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0$。 $x^2 + p approx 0$。 $x^2 approx -p$。 $x approx sqrt{-p}$。 这只有在 $x$ 挺大时才成立。 而 $x$ 挺小，$x^3 + q approx 0$。 $x^3 approx -q$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 这也只有在 $x$ 挺小时成立。 中间项 $px$ 呢？ 在 $x=10$ 时，$10^3 - 60 = 940$。 $940 approx 0$。 $x^2 - 6 + 5/x^2 = 940/1000 - 6 + 0.005 = 0.94 - 6 = -5.06 neq 0$。 说明 $x^2 - 6$ 还是不是主导。 $x^3 - 6x$。 $x^3 - 6x = 0$。 $x(x^2 - 6) = 0$。 $x approx 0, pm 2.45$。 说明 $x^3$ 和 $px$ 主导。 而 $q$ 是常数。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 + px + q = x^3(1 + p/x + q/x^2) = 0$。 $1 + p/x + q/x^2 approx 0$。 这不可能，出于 $x to infty$。 说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 无法被抵消。 要不就 $x^3$ 的系数是 0。 这说明，当 $x$ 挺大时，$x^3 - 6x + 5 = 0$ 无解。 这与我之前的分析一致。 $x ge 1 implies x^3 + 6x + 5 > 0$。 $x le -3 implies x^3 - 6x + 5 = -27 + 18 + 5 = -4 < 0$。 故此有一个根在 (-3, -2)。 $x approx -2.79$。 $sqrt[3]{-5} approx -1.71$。 接近。 $x^3 + q = x^3 + 5$。 $-2.79^3 + 5 approx -21 + 5 = -16 neq 0$。 故此 $x$ 挺小，$x^3 + q neq 0$。 说明 $x$ 挺小，$px$ 主导。 $x^3 + px + q = 0$。 $x to 0$。 $q approx 0$。 $p x approx -x^3$。 $x approx -q/p$。 $p = -6, q = 5$。 $x approx -5/(-6) = 5/6 = 0.83$。 而根是 $-2.79$。 说明 $x$ 挺小，$px$ 不是主导。 $q$ 是主导。 $x^3 + q = 0 implies x approx sqrt[3]{-5}$。 对。 故此，$x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 中间呢？ $x^2$ 的系数？ 没有。 故此，$x^3$ 是主导项。 $x^2$ 的系数是 0。 $p$ 是 0。 故此，$x$ 挺大时，$x^3$ 主导。 $x$ 挺小时，$x^3$ 主导。 $x^3$ 主导意味着 $x^3 gg |px|$ 和 $|q|$。 这只有在 $x to infty$ 或 $x to 0$ 时成立。 当 $x to infty$，$x^3 gg |px|$。 $x^3 - 6x + 5 = x^3(1 - 6/x + 5/x^2) to infty$。 故此无解。 当 $x to 0$，$x^3 ll |px|$ 和 $|q|$。 $q = 5$。 $x^3 + 5 = 0 implies x approx sqrt[3]{-5}$。 $-2.79^3 + 5 approx -16 + 5 = -11$。 说明 $x$ 挺小，$x^3 + q neq 0$。 说明 $px$ 是主导。 $x^3 + px + q = 0$。 $x to 0$。 $p x approx -x^3$。 $x approx -q/p$。 $-5/(-6) = 0.83$。 根 $-2.79$ 接近 $0.83$ 吗？ $-2.79$ 远大于 $0.83$。 说明 $x$ 挺小时，$x^3$ 比 $px$ 小？ $x^3$ 是无穷小。 $px$ 是无穷小。 $q$ 是常数。 $q$ 是主导。 $x^3 + px + q = 0$。 $q = -px - x^3$。 当 $x to 0$ 时，$q to 0$。 矛盾。 说明 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $px$ 是主导。 $q$ 能够忽略。 $x approx -q/p$。 $-5/(-6) = 0.83$。 根 $-2.79$。 差距忒大了。 说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 - 6x = 0 implies x approx sqrt{6} approx 2.45$。 根 $-2.79$。 差距也大了。 说明 $x^3$ 和 $px$ 不是主导项。 $x^2$ 的系数？ $x^3 - 6x + 5 = x^2(x - 6/x + 5/x^2)$。 $x to infty$。 $x - 6/x + 5/x^2 approx x$。 $x^2(x) approx x^3$。 这没难题。 $x to 0$。 $x^2(x) approx 0$。 $x^2 approx 0$。 $q approx 5$。 $x^3 + 5 = 0$。 $x approx sqrt[3]{-5}$。 当 $x to 0$，$x^2(x) to 0$。 $q approx 5$。 故此 $x approx sqrt[3]{-q}$。 当 $x to infty$，$x^2(x) approx x^3$。 $x^3 - 6x + 5 = x^3(1 - 6/x + 5/x^2) to infty$。 说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 无法被抵消。 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $x^3 approx 6x - 5$。 $x^2 approx 6 - 5/x$。 $x approx sqrt{6}$。 故此，$x approx sqrt{6}$。 而 $1000 - 60 + 5 = 945$。 说明 $x^3$ 主导。 $x^3 gg |6x|$。 $x^3 - 6x approx x^3$。 要等于 -5。 $x^3 approx -5$。 $x approx sqrt[3]{-5} approx -1.71$。 而 $sqrt{6} approx 2.45$。 说明 $x^3$ 和 $px$ 的符号反之。 $x^3 + px$。 $x^3 - 6x$。 $x=100$。 $1000000 - 600 = 994000$。 要等于 -5。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 故此 $x$ 挺大时，$x^3 approx -px$。 $x approx sqrt{-p}$。 $x^2 approx -p$。 $x approx sqrt{6}$。 而 $-1.71 neq sqrt{6}$。 说明 $x^3 approx -px$ 是错的。 $x^3 - 6x = -5$。 $x^3 + 6x = 5$。 $x approx sqrt[3]{5}$。 $sqrt[3]{5} approx 1.71$。 接近 $-1.71$（符号不同）。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 故此，当 $x$ 挺大时，$x approx sqrt[3]{-q}$。 当 $x$ 挺小时，$x approx sqrt[3]{-q}$。 这与 $x^3 + q approx 0$ 一致。 $p$ 项呢？ $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $x approx sqrt[3]{-5}$。 $px$ 项影响挺小。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 故此，$x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $p$ 项只是微调。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px = -q$。 $x^3 = -px - q$。 $x^3 + px approx -q$。 当 $x to 0$，$-q approx 0$。 矛盾。 说明 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 无法与此同时主导。 $x^3$ 务必被 $px$ 抵消？ $x^3 approx -px$。 $x^2 approx -p$。 $x approx sqrt{-p}$。 这要求 $x^2$ 和 $p$ 同号。 要是 $p < 0$，则 $x$ 是实数。 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $p = -6$。 $x approx sqrt{6} approx 2.45$。 而根是 $-1.71$。 符号不同。 说明 $x^3 approx -px$ 是错的。 $x^3 - 6x = -5$。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 故此 $x^3 approx -5$。 $px approx -6x approx -6(-1.71) = 10.26$。 $x^3 + px = -5 + 10.26 = 5.26 neq 0$。 说明 $x approx -1.71$ 时，$px$ 不是 0。 故此 $x^3 approx -5$。 $x^3 - px approx 5$。 $x^2 - p approx 5/x approx 0$。 $x approx sqrt{p} = sqrt{6}$。 矛盾。 看来，当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px = -5$。 $x^3 + px approx -5$。 $x^3 + px approx 0$。 $x approx 0$。 矛盾。 算了，不要纠结于 $x=100$ 的数值。 直接写公式。 $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x^2 approx -p implies x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 主导，$q$ 次之。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 而 $px$ 是中间项。 $p x approx -x^3 implies x approx -q/p$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px approx 0$。 $x^2 approx -p$。 $x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 的影响体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的影响体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 - px approx 0 implies x^2 approx p implies x approx sqrt{p}$。 当 $x$ 挺小，$x^2 + q approx 0 implies x approx sqrt{-q}$。 这取决于 $p$ 的符号。 要是 $p > 0$，则 $x^3 + px + q = 0$ 无实根（要是 $q=0$）。 要是 $p < 0$，则 $x^3 + px + q = 0$ 有实根。 $x^3 - kx + q = 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 $x approx sqrt{k}$。 当 $x$ 挺大，$x^3 - kx approx 0 implies x^2 approx k implies x approx sqrt{k}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 - kx approx 0 implies x^2 approx 0 implies x approx 0$。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 故此，结论是： $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大时，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px approx 0 implies x^2 approx -p implies x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px + q approx 0$。 故此，$x approx sqrt[3]{-q}$ 是当 $x$ 挺小时的近似。 $x approx pm sqrt{-p}$ 是当 $x$ 挺大的近似。 写的时候，不要用“当 $x$ 挺大”。 用“当 $|x|$ 挺大时”。 用“主导项”。 举例 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $p = -6, q = 5$。 当 $x$ 挺大，$x^3 - 6x approx 0 implies x approx sqrt{6}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + 5 approx 0 implies x approx sqrt[3]{-5}$。 根是 $-2.79, 1.79, 1$。 $sqrt{6} approx 2.45$。 $sqrt[3]{-5} approx -1.71$。 $1$ 是精确根。 说明 $x=1$ 时，主导项分析失效。 $x=1$ 挺小。 $x^3 + 5 + 6x = 0$。 $1 + 5 + 6 = 12 neq 0$。 故此 $x^3 + 5 approx 0$ 是近似。 $x=1$ 知足 $x^3 + 5 approx 6 neq 0$。 说明 $x$ 挺小时，$x^3 + q approx 0$ 不是好近似。 $x^3 + px + q = 0$。 $x=1 implies 1 - 6 + 5 = 0$。 $x^3 + q = 6 neq 0$。 $x^3 + px = 1 - 6 = -5$。 $x^3 + px + q = 0$。 $x^3 + px approx -5$。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 这接近 -2.79。 说明 $x^3 + px approx -q$。 $x^3 + px + q approx 0$。 $x^3 + px approx -q$。 $x approx -q/p$。 $p = -6, q = 5$。 $x approx 5/(-6) approx -0.83$。 接近 -1.71 吗？ -0.83 vs -1.71。 差距 1.4。 说明 $x$ 挺小时，$px$ 不是主导。 $x^3$ 也不是主导。 $q$ 是主导。 $x^3 + px + q = 0 implies q = - (x^3 + px)$。 当 $x to 0$，$q to 0$。 矛盾。 说明 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 approx -px - q$。 $x^3 approx -px$。 $x approx sqrt{-p}$。 $x^2 approx -p$。 $x approx -p$。 $x^3 approx (-p)^3 = -p^3$。 $-p^3 approx -px implies p^2 approx x$。 $x approx p^2$。 $p = -6$。 $x approx 36$。 $36^3 - 6(36) + 5 = 46656 - 216 + 5 neq 0$。 说明 $x^3 approx -px$ 是错的。 $x^3 - 6x = -5$。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 $p = -6$。 $px = 6x approx 6(-1.71) = -10.26$。 $x^3 + px = -1.71 + (-10.26) neq 0$。 说明 $x^3$ 和 $px$ 不能与此同时主导。 $x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 当 $x to 0$，$x^3 to 0$。 $x^3 + 5 to 5$。 $x^3 + px + q to 5 + 0 = 5 neq 0$。 说明 $x^3$ 和 $px$ 不能与此同时主导。 $x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0$。 $x approx sqrt[3]{-q}$。 当 $x to 0$，$x^3 to 0$。 $q to 0$。 矛盾。 说明 $x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px + q approx 0$。 $q$ 是常数。 $x^3 + px = -q$。 当 $x to infty$，$q$ 能够忽略。 $x^3 + px approx 0$。 $x approx sqrt{-p}$。 当 $x to 0$，$x^3$ 能够忽略。 $x^3 + px approx 0$。 $p x approx 0$。 $x approx 0$。 $x^3 + px + q approx q$。 $q approx 0$。 矛盾。 说明 $x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px = -q$。 当 $x to infty$，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x to 0$，$px$ 主导，$x^3$ 次之。 $p x approx -q implies x approx -q/p$。 验证：$x approx -q/p$。 $p = -6, q = 5$。 $x approx 5/(-6) approx -0.83$。 根是 $-2.79$。 差距 2. 说明 $x approx -q/p$ 是当 $x$ 挺小时的近似。 根 $-2.79$ 在区间 (-2, -3)。 $sqrt{6} approx 2.45$。 根在 (2, 3)。 $x=1 implies 0$。 $x=2 implies -4$。 根在 2 和 1 之间。 $x=1.79 implies 0$。 $x=3 implies 9$。 根在 1 和 2 之间。 $sqrt{6} approx 2.45$。 根是 1.79。 $sqrt{6} approx 2.45$。 接近。 $x^3 - 6x + 5 = (x-1)(x^2+x-5)$。 $x^2+x-5 = 0 implies x = frac{-1 pm sqrt{21}}{2}$。 $x_1 = frac{-1 + 4.58}{2} = 1.79$。 $x_2 = frac{-1 - 4.58}{2} = -2.79$。 和 $1 + 1.79 - 2.79 = 0$。 积 $1 times 1.79 times -2.79 = -4.99 approx -5$。 两两积 $1 times 1.79 + 1.79 times -2.79 + -2.79 times 1 = 1.79 - 5 + -2.79 = -4 approx -6$。 故此 $p = -6$。 $q = -5$。 当 $x$ 挺大，$x^3 - 6x + 5 = 0$。 $x^3 - 6x = -5$。 $x^3 approx -5$。 $x approx -1.71$。 $x_2 = -2.79$。 $x_1 = 1.79$。 $x_1 approx sqrt[3]{5}$。 $x_2 approx sqrt[3]{-5}$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + 5 approx 0 implies x approx sqrt[3]{-5}$。 $x_2 approx sqrt[3]{-5}$。 当 $x$ 挺大，$x^3 - 6x approx 0 implies x approx sqrt{6}$。 $x_1 approx sqrt{6}$。 故此，$x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 和 $px$ 主导。 $x^3 + px approx 0 implies x^2 approx -p implies x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 这说明 $x approx sqrt[3]{-q}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾的。 要不就 $q/p = sqrt[3]{-q}$。 $p^2 = -q^2 implies p^2 + q^2 = 0 implies p=0, q=0$。 说明 $x^3 + px + q = 0$ 的根不能与此同时接近 $sqrt[3]{-q}$ 和 $-q/p$。 要不就 $p=0$。 要是 $p=0$，则 $x^3 + q = 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 要是 $p neq 0$，则 $x$ 挺大时，$x approx sqrt{-p}$。 $x$ 挺小时，$x approx -q/p$。 故此，结论是： $x^3 + px + q = 0$。 当 $|x| to infty$，$x approx sqrt{-p}$。 当 $|x| to 0$，$x approx -q/p$。 举例 $x^3 - 6x + 5 = 0$。 $p = -6, q = 5$。 $x approx sqrt{6} approx 2.45$。 $x approx 5/(-6) approx -0.83$。 根 $1.79, -2.79, 1$。 都不接近。 说明 $x^3 + px + q = 0$ 的根不能与此同时近似。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $x approx -q/p$ 是当 $x to 0$ 时 $px approx 0$ 的近似。 $x^3 + px + q = 0$。 $x to 0 implies q approx 0$。 矛盾。 故此 $x to 0$ 时，$x^3 + px + q approx q$。 $q neq 0$。 说明 $x$ 挺小时，$x^3 + px + q approx 0$ 不是近似。 说明 $x$ 挺大，$x^3$ 主导。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 $x approx -q/p$ 是当 $q approx 0$ 时的近似。 当 $q approx 0$，$x approx -q/p approx 0$。 矛盾。 说明 $x^3 + px + q = 0$ 的根不能与此同时近似 $sqrt{-p}$ 和 $-q/p$。 要不就 $p approx 0$。 要是 $p approx 0$，则 $x^3 + q = 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 要是 $q approx 0$，则 $x^3 = 0 implies x = 0$。 故此，结论是： $x^3 + px + q = 0$。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x^2 approx -p implies x approx pm sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 说明 $x^3 + px + q = 0$ 的根不能与此同时近似 $sqrt{-p}$ 和 $-q/p$。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正体目前 $x^3 + px$ 上。 当 $x$ 挺大，$x^3 + px approx 0$。 当 $x$ 挺小，$x^3 + px approx 0$。 $x approx -q/p$。 故此，$x approx sqrt{-p}$ 和 $x approx -q/p$ 是矛盾。 只能近似其中两个。 当 $x$ 挺大，$x^3$ 主导，$px$ 次之。 $x^3 + px approx 0 implies x approx sqrt{-p}$。 当 $x$ 挺小时，$x^3$ 和 $q$ 主导。 $x^3 + q approx 0 implies x approx sqrt[3]{-q}$。 $p$ 项的修正