费马小定理-小费马定理

费马小定理这东西，说白了就是给“模运算”安上了一把身份证。想象一下，你手里有个大_prime 数 $p$，比如咱们今天用 $101$ 试个例子，它是个素数。再给你一堆跟它互质的整数 $a$，比如 $3, 7, 10$，然后问你 $a$ 在模 $p$ 下是不是个“平方剩余”？也就是能不能找到某个数 $x$，使得 $x^2 equiv a pmod p$？ 这事儿那会儿靠穷举，得把 $x$ 从 $1$ 试到 $p-1$，忒慢了。费马小定理直接告诉你，只要你在 $p$ 的倍数减一里选个幸运儿 $a^{-1}$，算个 $a^{(p-1)/2} pmod p$ 就行。 拿 $p=101$ 来说，$a=3$。先找 $3$ 的逆元，$3 times 67 = 201 = 2times101 + 1$，故此逆元是 $67$。算指数 $(p-1)/2$ 也就是 $50$。$3^{50} pmod{101}$ 是多少呢？$3^4=81 equiv -20 equiv 81$。$3^8 equiv (-20)^2 = 400 = 3times101+87 equiv -14$。$3^{16} equiv 196 equiv 95 equiv -6$。$3^{32} equiv 36$。最终 $3^{50} = 3^{32} cdot 3^{16} cdot 3^2 cdot 3^4 cdot 3^0$，$36 cdot (-6) cdot 9 cdot 81 cdot 1$。算下来是 $50$。也就是 $3^{50} equiv 50$。$50 neq 3$。 什么的，这里仿佛有点不对劲。$3$ 是平方剩余吗？$1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100 equiv -1$。$11^2=121 equiv 20$。$12^2=144 equiv 43$。$13^2=169 equiv 68$。$14^2=196 equiv 95 equiv -6$。$15^2=225 equiv 24$。$16^2=256 equiv 55$。$17^2=289 equiv 87$。$18^2=324 equiv 22$。$19^2=361 equiv 59$。$20^2=400 equiv 39$。$21^2=441 equiv 39$。$22^2=484 equiv 81$。$23^2=529 equiv 30$。$24^2=576 equiv 75$。$25^2=625 equiv 24$。$26^2=676 equiv 87$。$27^2=729 equiv 27$。$28^2=784 equiv 79$。$29^2=841 equiv 81$。$30^2=900 equiv 89$。$31^2=961 equiv 66$。$32^2=1024 equiv 99 equiv -2$。$33^2=1089 equiv 88$。$34^2=1156 equiv 54$。$35^2=1225 equiv 24$。$36^2=1296 equiv 54$。$37^2=1369 equiv 76$。$38^2=1444 equiv 43$。$39^2=1521 equiv 30$。$40^2=1600 equiv 59$。$41^2=1681 equiv 87$。$42^2=1764 equiv 39$。$43^2=1849 equiv 68$。$44^2=1936 equiv 95$。$45^2=2025 equiv 24$。$46^2=2116 equiv 43$。$47^2=2209 equiv 87$。$48^2=2304 equiv 30$。$49^2=2401 equiv 59$。$50^2=2500 equiv 55$。$51^2=2601 equiv 88$。$52^2=2704 equiv 73$。$53^2=2809 equiv 41$。$54^2=2916 equiv 76$。$55^2=3025 equiv 89$。$56^2=3136 equiv 81$。$57^2=3249 equiv 52$。$58^2=3364 equiv 46$。$59^2=3481 equiv 94 equiv -7$。$60^2=3600 equiv 98 equiv -3$。 看来 $3$ 不是平方剩余。
那我的计算哪儿错了？啊，费马小定理说的是 $a^{(p-1)/2} equiv 1$ 要么 $-1$。
要是结局是 $50$，那就显然不是 $1$ 也不是 $-1$，故此它是不可约剩余。 举个更现实点的例子，$p=17$。想算 $2^{(17-1)/2} pmod{17}$ 是不是 $1$。$17-1=16$，一半是 $8$。$2^1=2, 2^2=4, 2^4=16 equiv -1$。$2^8 equiv (-1)^2 = 1$。
故此 $2$ 是平方剩余，$3^{(17-1)/2} equiv 1$。 这个定理最妙的地方在于它把一次遍历变成了 $O(log p)$ 次运算。
那会儿你得挨个数，目前只要算一下幂，就知道能不能填坑。
哪怕你一直遇到平方非剩余，算完这一刀，就知道未来的所有数能不能填坑了，这比直接算 $phi(p)$ 快多了。 不过话说回来，这个定理是有条件的。它只适用于质数 $p$。
要是 $p$ 是合数，比如 $p=4$，$a=1$，那 $1^{(4-1)/2} = 1$，符合 $a^2 equiv 1$，看似没难题。但要是 $p=6$，$a=1$。$1^{3} equiv 1$。
这仿佛也没难题？
什么的，$1$ 对任何模 $n$ 都是平方剩余啊？不对，费马小定理里的 $a$ 务必是 $1$ 对 $p-1$ 取余为 $1$ 的数才行。
要是 $p=6$，$p-1=5$，$a=1$，$1$ 的余数是 $1$，知足条件。但 $1$ 是任何模 $n$ 的平方剩余吗？不是，只有 $1$ 是。
那 $a=2$ 呢？$2$ 模 $6$ 的余数范围是 $1, dots, 5$。$1^2=1, 2^2=4, 3^2=3, 4^2=4, 5^2=1$。
故此平方剩余是 ${1, 3, 4}$。$2$ 不在里面。
那 $2^{(6-1)/2} = 2^3 = 8 equiv 2 pmod 6$。
这里 $2 neq 1$，符合“非 1"的情况。但定理要求 $a^{(p-1)/2} equiv 1$ 或 $-1$。
要是 $a$ 是 $1$ 模 $p-1$ 余数的数，算出来是 $1$。
要是 $a$ 不是，算出来可能是别的。 这实际上不叫费马小定理，叫威尔逊定理推广。费马小定理的核心逻辑是：在素数 $p$ 下，群有序同构 $mathbb{Z}_p^$，阶数是 $p-1$。便平方剩余就是阶数是 $2k$ 的元素，不可约剩余是阶数是 $2k+1$ 的元素。
故此 $a^{(p-1)/2}$ 就是 $a$ 的阶数的一半，要么是 $k$ 要么是 $k+1$。但群里的元素要么是 $1$ 要么是 $-1$ 的平方？不，是平方剩余构成子群 $P$，非平方剩余构成 $P^{-1}$。
故此 $a^{(p-1)/2} in P$。而 $P$ 是指数 $p-1$ 的群，故此 $x^{(p-1)/2} equiv 1$。
这个逻辑链忒顺了，就是 $1$ 或 $-1$。 故此回到 $p=6$ 的例子，$a=2$。$2$ 模 $5$ 是 $2$。$2$ 的阶是多少？$2^1=2, 2^2=4, 2^3=8equiv 3, 2^4=16equiv 1$。阶是 $4$。$4$ 模 $5$ 是 $4$。$4 equiv -1$。
故此 $2^{(6-1)/2} equiv -1$。完美符合定理描述。但这里有个细节，费马小定理一般表述为 $a^{p-1} equiv 1 pmod p$ 对于 $a$ 不整除 $p$。
这个直接蕴含了 $a^{(p-1)/2}$ 是平方剩余。 要是 $a$ 整除 $p$，那 $a equiv 0 pmod p$，$0^{(p-1)/2} = 0$。
这也是定理的一种特例，不过一般 $a$ 和 $p$ 互质。 故此结论就是，只要 $a$ 和 $p$ 互质，算这个幂，结局非 $1$ 就是不可约剩余。
这样你就能一眼看出，不用管所有数了，只需求试几个数，比如 $2, 3, 4 dots$，算完看结局是不是 $1$。
要是是，那它们都是平方剩余，好办解二次同余方程；要是结局不是 $1$，那它们都难解。
这就省去了 $p-1$ 次乘法，直接 $O(1)$ 次运算。 自然，这个定理有个隐含的假设：$p$ 务必是素数。
这是圆谎。
要是 $p$ 是合数，$a^{(p-1)/2}$ 可能等于 $1$，但这时候 $a$ 可能不是平方剩余。 举个反例，$p=4$，$a=2$。$p-1=3$，一半是 $1.5$。
不中，指数务必是整数。
故此定义域里 $p$ 务必是奇素数或 $2$。$p=2$ 时 $a=1, 3$（模 $2$）。$1^1=1, 1^1=1$。$3^1=1$。都是 $1$。平方剩余是 $1$。没难题。 $p=9$，$a=2$。$p-1=8$，一半是 $4$。$2^4=16 equiv 7 neq 1$。$7$ 不是 $1$ 或 $-1$。$7$ 模 $9$ 是 $7$。平方剩余有 $1, 4, 7$。$2$ 不在里面。$7$ 是平方剩余吗？$3^2=9equiv 0$，$4^2=16equiv 7$。
是的。$7^4 equiv (7^2)^2 equiv 7$。
故此 $2^4 notequiv 7$。
这就乱了。 故此费马小定理确实只能用在质数上。
这是它最精华的“坑”点。 实际上费马小定理的推广是拉格朗日定理，说任意 $n$ 的阶都是 $n$ 的因子。在素数 $p$ 下，阶一定是 $1$ 或 $p-1$，故此平方剩余一定是 $2$ 的幂次，非平方剩余一定是奇数次幂次。
这样就能判断有没有平方剩余了。 这就把模运算里的“能不能开根号”变成了“幂次奇偶”判断。
这在密码学里特别有用，RSA 加密算法就是基于这个原理，非平方剩余挺难求算术平方根，故此加密保险。 总而言之，费马小定理就是个给素数模域戴上的标签。拿到标签的数，要么是个“好办开平方”的平方剩余，要么是个“难啃的骨头”的非平方剩余。
不用数，直接算幂，就能知道。别看要求 $p$ 是素数，但这限制也挺合理，出于要是是合数，那些“非素数”的标签就乱套了。