内心定理证明平面向量-内心定理向量证明

咱们不整那些虚头巴脑的“证明”，咱就盯着坐标纸上看。 众所周知，平面向量大到让人头昏脑涨，特别是那个定方向向量，感觉像是一团被揉烂又团好的面团，摸不着边儿。大量人一上来就想套公式，代入韦达定理，最终还得得个“存有性证明”，最终还得回一句“故此它一定存有”。听着就难受，对吧？实际上，离真理最近的就是证明。 先不说别的，就说说最基础的那条线。在坐标系里画一条直线，那个方向向量实际上就是那个倾斜角度。你画个矩形，横着画一条线，那方向就是 $(1, 0)$；竖着画一条线，那就是 $(0, 1)$。
这两条线哪位都比哪位强，哪位都不待见。自然，反正有无数条平行线，随意取一条都行。 但这玩意儿有个坑，叫“斜率”和“方向”的区别。你盯着斜率算，没难题；一抬头看方向，它在上，你却在下，尴尬哪位？实际上这正是不严谨的根源。向量不讲究上下级，只讲究“能不能凑齐”。
比如你手里拿着一个 $(2, 3)$ 的箭头，它指向第一象限的深处；你拿着一个 $(-1, -1)$ 的箭头，它指向第三象限的深渊。
要是你非要凑成 $(1, 0)$，那是绝对做不到的。
这时候，向量就是那个“唯一解”，要么说，“唯一能指向的那个方向”。 大量人认定这玩意儿难，是出于他们脑子里装满了“线性组合”的公式。$avec{u} + bvec{v} = 0$。
听起来复杂，实际上就两只手。
要是 $vec{u}$ 是 $(1, 1)$，$vec{v}$ 是 $(2, 2)$，那 $a + 2b = 0$ 和 $a + 2b = 0$ 这两个方程一眼就能看出来，$a$ 和 $b$ 都得是 $0$。
这时候方程组退化成恒等式，意味着 $0 = 0$，所有东西都相等。
这没啥毛病，就是说明这两个向量本质上是同方向的，只是标量倍数不同。 可这也不是啥都能解出来的。
比如 $vec{u} = (1, 1)$ 和 $vec{v} = (1, 0)$。解一下 $a + b = 0$ 和 $a = 0$。$a$ 得是 $0$，那 $b$ 就得是 $0$。结局就是 $0 = 0$。
这也没错啊。再比如 $vec{u} = (1, 1)$ 和 $vec{v} = (2, 3)$。解起来就得费劲了，拿到一组参数方程，简直就是给出一堆解。
这时候，方程组不矛盾，但也没有唯一解。
这就意味着，$vec{u}$ 和 $vec{v}$ 不共线。 这是最关键的判断。
不是没有解，是解就不够“干净利落”。在数学里，啥样的算子算出来的结局才是“干净利落”的？就是“全”的，要么说“平凡”的。
要是解出来一堆乱七八糟的 $a=k, b=-k/2$，那说明这两个向量确实没成。
这时候，“存有”这个词就变成了一种“必然”。你不用证明它存有，出于它根本不存有。
这就好比你问一个“不可能”的命题，对它来说是废话，但对我们来说，就是真理。 再聊聊“唯一解”那个概念。
有时候方程组解出来了，是无数组数据，但它们的本质却是一样的。
比如 $x = 0, y = C$ 和 $x = -C, y = 0$。
这两个方程加起来就是 $x+y=0$。
这两个不同的参数方程，实际上描述的是同一个平面。
这时候，解不是唯一的，但它却是“本质”的。
这是向量空间里最迷人的地方，也是高中生最好办晕的地方。 还有那个“线性相关”和“相关”的混淆。大量人认定它们是一回事，实际上不是。线性相关是一个代数概念，讲究的是方程组的解空间结构；而向量相关（同向、反向、共线），是几何概念，讲究的是它们能不能乖乖叠在一起。
比如 $vec{u} = (1, 1)$ 和 $vec{v} = (-1, -1)$，它们线性相关，且方向反之。但 $vec{u} = (1, 1)$ 和 $vec{v} = (2, 2)$，它们线性相关，且方向相同。
这里面的区别，就像左手和右手的区别，别看都是手，但用的方向不一样，算出结局也反了。 大量时候，我们看书的时候，会认定“向量不共线”是两条平行线，那是错的是。
实际上那不是错，那是“相关”和“无涉”的微妙分界。当方程组有解，但解不唯一时，说明它们确实不共线。
这时候，它们就像两个好哥们儿，能够互相换位置，要么互相复制，但你没法让它们变成同一个东西。 最终，还得提提一下“零向量”。
这是向量里的“软钉子”。$(0, 0)$ 这个向量，它是个“空”的，它是个“既无长度也无方向”的空洞。它不参与任何运算，出于它啥都不是。当你说 $vec{u} = (1, 1)$ 和 $vec{v} = (0, 0)$ 共线时，实际上是在说 $1 = 0$，这显然是荒谬的。可要是方程组解出来是 $a=0, b=C$，那说明 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 确实共线，出于 $0$ 乘以任何数都是 $0$。
这个 $0$，就是向量的“基石”。 说到底，证明向量共线，就是证明方程组到底能不能解出来，还有解出来是不是只有“唯一解”要么“无穷多解”。
要是是无穷多解，那就说明它们共用一个轴；要是是唯一解，那就说明它们确实不能随意弄成一样；要是是矛盾，那就说明它们根本没法凑齐。
这就是平面向量最朴实、也最硬核的样子。