费尔马大定理完全解析-费马定理完全解析

为啥圆想变成正多边形简直是不可能的？ angenon 如今在巴黎的咖啡馆里点单，点了个最一般/平平的莫斯卡托，但手舞足蹈地把它喝完了。他说：“这酒忒烈，我喝不进去。” 身边坐着个特别的老头，提着一把旧伞，上面钉着九条线，露出里面只有四条线的骨架，也喝得挺猛。老头对angenon 说：“年轻人，喝酒要慢慢来，得给胃留出空间。” 这让他挺来气，出于年轻人的喝酒方式跟老头不一样，年轻人不喜爱被教导慢下来。 angenon 并不理解老头的话。他是个狂热的数学家，整天盯着那些密密麻麻的公式和证明看，彻底没工夫去喝一口酒。他的脑海里全是圆周率 $pi$ 和斐波那契数列的极限。他认定世界是个庞大的数字迷宫，每一个分支都通向未知的真理。 最近，他拍板研究一个更有趣的难题：为啥圆想变成正多边形简直是不可能的？这难题听起来挺傻，但在高等数学里是个深不可测的难题。费尔马大定理就是针对这个难题的。 想想看，圆的周长一直固定于直径的两倍。
要是你拉长它，它就是个椭圆。
要是你把它压扁，它就变成两个小圆。
你想把它拉成正多边形的话，就得给圆加“棱角”。但这不可能。出于圆的任何直线段都是弦，而正多边形的内角都小于 $180$ 度。弦比它高的所有弦都要短。圆是最圆的，所有的其他圆都要更圆。
故此，圆一辈子不可能变成正多边形。 这听起来挺绝对，但数学证明里充满了灰色地带。
特别是当圆半径无限接近于零的时候，一切都会变得不清楚起来。
那个悖论形成在极限的边界上，而不是实数世界的中心。 阿里·侯赛尼（Ali Hourani）是奥地利数学家，也是一位高阶数学家。他有一门手艺，就是把那些枯燥的数学模型打磨得让人忍不住想喝下一杯来。 “数学就是喝酒，”阿里说，“你得给概念留出空间。” 要是你试着证明费尔马大定理，你会发现过程贼繁琐，并且充满了陷阱。最费事的是当 $n$ 挺大的时候，$sin(frac{2pi}{n})$ 的值是多少。
要是 $n$ 是偶数，$sin(frac{2pi}{n})$ 是有理数。但要是你把 $n$ 换成奇数，比如 $n=5$，那么 $sin(frac{2pi}{5})$ 就是一个无理数。
这本身就有点怪，出于一般我们会期待它是有理数。 阿里喜爱用类比法来解释。他说：“想象你在画一个圆，你要画成正多边形。每走一步，你就得把角度变小。但圆是有弹性的，它一直试图变圆。一旦你试图画正五边形，就像在画一个不可能存有的圆一样，它会在中间断开。” 这是一个物理模型的类比，别看不能严格证明，但能让人类直观地感受到那种“不可能”。 目前，我们来看看具体的计算。费尔马猜想说的是：大于 3 的奇数，不可能作正多边形。
这意味着正五边形不可行，正九边形不可行，正十一边形不可行。但正十七边形呢？正十七边形是能够的。 为啥正十七边形能够，而正五边形不中？关键在于 $cos(frac{2pi}{17})$ 这个值。
要是你用 $cos(frac{2pi}{17})$ 去乘以 $cos(frac{4pi}{17})$，再乘以 $cos(frac{8pi}{17}) dots$，你会发现这些余弦值加起来正好是 1。
这意味着它们构成一个完美的正十七边形。 但对于正五边形，$cos(frac{2pi}{5})$ 是 $frac{1+sqrt{5}}{4}$，这是一个无理数。当 $n=5$ 时，这个值害得了一些数学上的矛盾，使得整个图形无法封闭。 阿里说：“数学家们发现，当 $n$ 是 5 的倍数时，情况就变了。正五边形不中，正十五边形也不中，但正十七边形能够。” 这里有个数据细节需求特别提一下：在模 5 的剩余类（mod 5）中，所有 的奇数都无法构成正多边形。
这意味着正五边形、正十一边形、正十七边形（别看是奇数，但不被 5 整除，故此不在模 5 的聊聊范围内，实际上 17 能够构成正多边形）都遵循不同的规则。 什么的，我仿佛记混了。让我重新梳理一下。 正五边形 ($n=5$)：不可行。出于 $frac{1+sqrt{5}}{4}$ 害得了 $sin(frac{2pi}{5})$ 是无理数，而根据几何性质，这会害得矛盾。 正九边形 ($n=9$)：不可行。出于 9 能够被 3 整除，害得内角是 $100$ 度，而正多边形的内角务必是 $180$ 的倍数。 正十边形：能够。 正十一边形 ($n=11$)：不可行。 正十三边形 ($n=13$)：不可行。 正十五边形 ($n=15$)：不可行。 正十七边形 ($n=17$)：可行。 根据阿贝尔 - 伽罗瓦理论，当 $n$ 是 5 的倍数时，本原根无法存有，故此正 $5k$ 边形（$k > 1$）都不中。但除了这个，其他的奇数都能够，只要它们不是 3 的倍数。 故此，哪些奇数不中？
1. $n=3$：可行（三角形）。
2. $n=5$：不可行。
3. $n=7$：可行。
4. $n=9$：不可行（3 的倍数）。
5. $n=11$：不可行。
6. $n=13$：可行。
7. $n=15$：不可行（5 的倍数）。
8. $n=17$：可行。
9. $n=19$：可行。
10.$n=21$：不可行（7 的倍数）。 看来，除了 5 的倍数和 3 的倍数，其他的奇数都能够。
这意味着正十一边形、正十三边形都是可行的。 阿里在讲的时候，眼神里总带着那种酒后的微醺。他说：“这就是数学的魅力，有时候你得喝下去才能明白真相。” 他举了个例子：要是你试图画出正十一边形，你需求把角度压缩到极小。但在某些特定的数域上，几何结构会崩塌。
这就是为啥数学世界里总有这种“不可能”的存有。 正五边形是一个挺好的例子。它的内角是 $108$ 度。
要是你试着在画布上画出一个正五边形，你会发现，当你把线条连起来时，最终一条线会落在前一条线的上方一点点，而不会重合。
这就是为啥它构成了一个“不可能”的图形。 正十七边形则不同。它的内角是 $frac{180 times 16}{17} approx 170.58$ 度。
要是你画出来，它会完美闭合，没有任何富余的线条。 阿里说：“数学不一直关于绝对真理。它更多是关于可能性。
有时候，可能性是存有的，有时候，它是被我们忽略了。” 他看了看窗外的夕阳，忒阳正慢慢落下，把整个城市染成金色。他举起酒杯，说：“敬数学。敬那些看起来不可能，但实际上能够存有的东西。” angenon 点了点头，但他还是想喝一口酒。他说：“好吧，老头，我懂了。圆想变成正多边形，就像圆想变成正方形一样，都是不可能的。但我目前认定，或许圆想变成正十五边形，要么正十七边形，才是确实不可能。” 老头笑了，说：“不，年轻人，圆想变成任何正多边形，都是不可能的。甭管你有多少条边，只要它不是无限边，它就不能变成正多边形。” “为啥？”angenon 问。 “出于圆是最圆的，所有的其他圆都要更圆，”老头说，“圆一辈子不会变成正方形。” “可正十七边形……" “正十七边形能够，但圆想变成它？”老头眨了眨眼，“这还不好办吗？” “不，”angenon 说，“出于 17 是质数，它的结构挺特殊。而 5 呢？” “5 挺好办，”老头说，“5 的倍数都会让几何结构崩溃。
这就是为啥圆想变成正多边形简直是不可能的——出于它一直试图去接近正方形，但一辈子离得忒远了。” “忒远了？” “是啊，”老头拍了拍angenon 的肩膀，“你喝醉了，年轻人。
那杯酒，正好是圆和正多边形之间的那个距离。你认定它忒远了，但事实上，它只是忒圆了。” “忒圆了？” “忒圆了，”老头说，“这就是为啥圆想变成正多边形，简直是不可能的。出于圆忒圆了，它不想变成任何东西。” angenon 叹了口气，端起酒杯，一饮而尽。他说：“好吧，老头。我懂了。圆、圆、圆。
这就是真理。” 老头看着那个喝光的杯子，说：“实际上，这杯莫斯卡托，正好是圆和正多边形之间的距离。你认定它忒远了，但事实上，它只是忒圆了。” “忒圆了？” “是啊，”老头说，“这就是为啥圆想变成正多边形，简直是不可能的。出于圆忒圆了，它不想变成任何东西。” “忒圆了？” “是啊，”老头说，“这就是为啥圆想变成正多边形，简直是不可能的。出于圆忒圆了，它不想变成任何东西。” ... 老头喝完了，说：“年轻人，别喝忒猛。慢慢来，给胃留出空间。” angenon 点了点头，低头喝了一口剩下的酒。他啥都没听进去，他只知道圆确实想变成正多边形，但这是不可能的。就像他认定圆想变成正多边形一样，圆想变成正多边形。 这是真理。