勾股定理的逆定理课件-勾股定理课件

勾股定理和它的逆定理：看看是不是确实“真” 墨家那段“九章算术”里的口诀，说是“以勾股数三数，邪修之”。好办说，就是边长给了，看看能不能拼成一个直角三角形。 实际上啊，古人早就把这事琢磨透了，直接给了定理：勾
三、勾
四、勾五，要么勾 5、勾 12、勾 13，边长知足勾股数，那这个三角形必然是直角三角形。 咱们如何验证呢？那会儿用测角器，量角是准的，但量边儿呢？得把三块木头搓成洞口再套进去，误差大得不中。
后来刘徽用“勾股法”，把三角形剖成两个小直角三角形，把直角边移上去拼，要么用弦图把角拼在一起，这样用木棍量边就行，不过那得是整数边，不然拼凑起来挺费事。 今天咱们直接翻越城墙，把“边角边”全量一遍。
要么用卡尺量边儿，再量个角，要么用激光测距仪，要么用万用表测电阻。
不管哪种方式，只要边、角全量了，结论就是：要么它是直角三角形，要么它根本不是。 这听起来是不是有点绕？实际上核心就在那儿：给定了三边长，算出平方和，看是不是等于一边平方。 比如，有一棵树，影子长 3 米，根下的横木影子长 4 米，树高和横木连起来就是直角。算一下：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。根下横木的平方是 $5^2 = 25$。$25 = 25$，彻底吻合，这就是著名的“勾三勾四勾五”。 再换个例子，看到一个三角形，边长分别是 13、14、15。先算一下：$13^2 = 169$，$14^2 = 196$，加起来 $169 + 196 = 365$。再看 $15^2 = 225$。$365$ 和 $225$ 不一样啊，如何就不是直角三角形了呢？
什么的，算错了，$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$，而 $15^2 = 225$。
不对，$13^2 + 14^2$ 不等于 $15^2$。
这说明这个三角形不是直角三角形。 再看一个，边长是 5、12、13。$5^2 = 25$，$12^2 = 144$，加起来 $25 + 144 = 169$，正好等于 $13^2 = 169$。对上了！
这就是直角三角形。 我想来想去，认定“勾三勾四勾五”这几个数特别好记。勾股定理是直角三角形的三边关系：直角边平方和等于斜边平方。逆定理就是看三边是不是符合这个关系，要是符合，那就是直角三角形；要是不符，就不是。 实际上，数学这东西，大量时候比教科书讲得还复杂，但本质上就是如此个理。 初中数学课本里，这定理讲得特别直白：要是三角形三边知足$a^2 + b^2 = c^2$，那它就是直角三角形。
这个定理在高中里也没停过，高中再说一次，说得更深了：直角三角形的面积等于斜边乘斜边的一半。 说到这儿，你们发现没有？这定理实际上是个“身份鉴定师”。拿边长去送审，要是拼不上一块直角，那它就是斜三角形；要是拼得上一块，那就是直角三角形。 再说说实际应用，比如测量distance。
要是山上有个点，没法直接量下来，那你得放个标杆，量出标杆的边和距离，看能不能凑成 5、12、13。
要是能凑上，那你的标杆是不是就在山的边缘？这个逻辑在航海、航空、建筑里都特别用得上。 像古代航海家，测出距离和方位，算出坐标，再用三角形边长关系判断是不是直角，就找到了目标岛。 就连更了得的是，这逆定理还能用来“补全”图形。目前有两条线段，长度是 3 和 4，还缺一条 5，要是第三边是 5，这就是直角三角形。
要是第三边是 6，那这就是钝角三角形。 咱们还能够把三边摆成三角形，看看能不能拼成直角。
比如边长 8、15、17，$64 + 225 = 289$，等于 $17^2$，这肯定是直角三角形。 还有个小技巧，能够把三角形分成两个小三角形，看能不能拼成 5、12、13。
比如取中点，连接中线，看看能不能拼成那个经典图形。 实际上啊，这逆定理的应用无处不在。
只要有一组数知足勾股数，那就是直角三角形。
比如 13, 14, 15 这种，别看不是标准勾股数，但依然知足三角形不等式和勾股定理的关系。 有时候，我们就连能反过来想：要是知道一个三角形是直角三角形，那它的三边一定知足这个关系。
比如一个 12, 5, 13 的直角三角形，它的面积是 $12 times 5 / 2 = 30$。 这定理的魅力在于，它不管你如何量，只要你量对了，结局就是一样的。它把“形状”和“大小”联系了起来。 最终说句大实话，这个定理别看好办，但它是人类智慧结晶的体现。从商朝到唐朝，从刘徽到祖冲之，大家都爱用它。 今天咱们聊完，是不是认定这“勾股数”不那么难记了？
是不是认定这定理没那么神秘了？ 只要记住：三边知足平方和等于斜边平方，那就是直角三角形。 这大约就是数学最朴实也最动人的地方吧。