傅里叶变换的卷积定理-傅里叶卷积定理

傅里叶变换把信号从“工夫”搬到了“频率”的江湖里，这事儿新好男人都不乐意。
那会儿我们盯着波形，看它在横轴上如何弹跳，那是看着像，实际上那不过是各种频率成分在打架。傅里叶说，别在工夫轴上瞎扯皮了，直接看“频率轴”上哪位在占坑，哪位在称霸，那才叫真话。 这就好比把一张混乱的扑克牌面朝下铺开，你不用管花色和顺序，只数数有多少张红桃、多少张黑桃、多少张方块、多少张梅花，剩下的那几张显然是小概率事件，对整体局势没啥影响。信号处理里，频率就是那几大类扑克牌，工夫就是张牌在手里如何发。
那会儿听人讲话，你是在看声音如何随工夫变化，那是“工夫域”，听得人晕头转向；目前看频率谱，你就知道这声音里到底混着哪个高音、哪个低音，还有它们各占了多少比例。 举个例子，想象一段短工夫的电话留言。
要是你只看波形，你可能误当作这声音就是一条直线，要么乱七八糟的噪点。但一旦做了傅里叶变换，那声音就彻底崩溃了。
原来这段话里藏着“嗡嗡”的电流干扰，混杂着清楚的“滴滴”通知音，还有“吱吱”的煤气罐开关声，就连可能夹杂着频率刚好跟你的心跳一样的杂音。
这些在工夫域里是背景，一帧帧扫那会儿，频率域里它们就一个个显身手了。每个杂音都对应一个频率点，那个点的强弱，就代表了它的音量。 别当作这就完事儿了，要是信号里还有两个频率节点在靠得挺近，像两个邻居住在一栋楼里，那这就叫“混叠”了。在工夫域里它们可能看起来像一条整个的正弦波，但在频率域里，它们的波峰、波谷会像波浪一样重叠在一起，分不清哪一个是确实，哪一个是假的。
这时候，频率分辨率就得提上日程了。想要把频率越细分，工夫分辨率就得变粗，这就是香农极限。你只想看清某个细小目标的细节，却务必牺牲掉整个场景的感知范围。
这就像你想看清路边一只蚂蚁条纹的纹路，就得把你的望远镜凑得离得挺近，但这时候你的视野范围可能连蚂蚁个直径都看不到。 大量工程师喜爱拿经典的正弦波去忽悠人，认定“只要一个频率正弦波，傅里叶变换就挺好办”。
实际上不然。傅里叶变换是个全能的魔术师，它不挑对象，不管你给的是正弦波、方波还是随机噪声，它都能把其中所有的频率成分都抽出来。但抽出来的过程不省事。
要是你给一堆凌乱无章的音频文件，傅里叶变换后屏幕上会密密麻麻地堆满数据点，每个点代表一个频率的幅度和相位。要读懂这个图，你得先知道尺寸。 拿一个音频文件的例子，频率分辨率一般是 100 赫兹，也就是说相邻两个频率点间距 100 赫兹。
这 100 赫兹之间，藏着多少个具体的频率值？$100$ 赫兹的点数（Bin）等于采样率除以 2 再加 1。
比如采样率是 44100 赫兹，那频率轴上大约就有 22050 个数据点。对于这种低频段，比如 0 到 20 千赫（20kHz），也就是人耳能听到的范围，频率轴上就有 22050 个点，每个点大约只有 20 赫兹的跨度。
这个跨度算起来挺小，意味着在这个频段里，你可能能分出几百个具体的声音频率，不只是是您当作的两个主音。但这并不意味着每个频率点都关键。 关键的是，哪个频率点能贡献百分之九十的总能量？别盯着那些微不足道的边边角角，那是统计误差。真正拍板听力舒适度的，往往是那些在频谱图上显得特别高、特别亮的峰值。在音频波形图里，你看到 80 赫兹和 120 赫兹那两个点特别高，其他点低得简直看不见，但要是你只盯着低处的点，就根本听不到主要信息。 回到低频段，比如 2.4GHz 无线局域网要么 4G 信号。
这些频率别看能量不大，但在整个频谱里占比可能挺小，就连一个点的能量只有另一个点的千分之一。但在频域图上，为了看清细微差别，我们往往把频率轴上的点做得特别密集，要把这个频段里每一个可能的频率都算出来，哪怕每个点的能量只有 0.001 瓦。否则，你如何知道在这个频段里到底藏着多少干扰？能不能把某个特定的信噪比提升到 100 分贝？ 这就引入了另一个概念：能量。能量是信号里做功的本事，傅里叶变换算出来的能量，就是那个能量。它不关心信号具体是啥，只关心“在这个频率上，信号有多能打”。
有时候，一个杂音的频率挺低，但能量特别高，比如某个强干扰直接砸在 20 赫兹上，那你在工夫域里可能根本听不到，但在能量域里它会像一头老虎一样跳出来。
这时候，工夫域的观感就是个瞎子，能量域里就是位高权重。 你想不想把这种能量分布画得更直观？那就用分贝（dB）来表示，要么直接用对数刻度。分贝的益处是大数小写，小能量大数小写。
要是你看到一个频率点的能量是 -100 分贝，另一个是 -10 分贝，你立马就知道前者是后者的小几千分之一。但在画波形的时候，这种庞大的差异可能被压缩成简直看不出区别。
故此，听到一个声音，别光看波形上有没有波动，得看分贝刻度上它占了多大一块，这个“大”实际上对应着信号的强度。 不要把傅里叶变换当成一个静态的图表，也别把它当成一个处理步骤的终点。它更像是给信号做了一次彻底的大扫除，把所有纠缠不清的混合体拆解成一个个独立的原子。拆开之后，你会发现，原来你听到的声音，不过是无数个频率点按着它们的能量大小排成一列罢了。有些点能量大，就大声嚷嚷；有些点能量小，就乖乖沉默。至于那些能量微乎其微的点，就暂时冷板凳坐一坐。 最终，别忘了，信号处理里最费事的，往往不是没能分析出来，而是明明分析出来了，却不知道哪一个点才是关键。
有时候两个频率点靠得忒近，分不清哪位是哪位；有时候能量分布忒散，没法找特征。
这时候，就要依赖经验。专家看波形，他们能一眼看出哪段是语音，哪段是背景噪声。而用算法看频谱，他们得算出每个点的能量，然后判断哪个点超过了某个阈值。
这种“阈值”的设定，本质上也是基于他们对这个难题的理解，是基于长期积累的那些“混叠”、“旁瓣”、“噪声底”这些知识。
故此，再完美的傅里叶变换，要是没有人帮你解读那个密密麻麻的谱图，那它就是个冷冰冰的数据堆，毫无意义。