费马小定理使用条件-费马小定理适用条件

在数论这块硬骨头里，费马小定理算是个有些“不靠谱”的结论。别被名字一提起就当作那是个放之四海而皆准的定理，实际上它是个条件都写着“限”的玩意儿。咱们得先捋清楚，这个结论到底是哪位啥时候哪位说的。 1637 年在法国巴黎，数学家勒内·卡梅罗·德·费马正搞一项贼棘手的“蝴蝶难题”。
当时他手里拿着一张 3000 多页的算盘纸，算下来一个数能整除另一个数的时候，他只想把长除法的步骤压缩到能直接看整除的时候为止。结局他在书页背面随手写下了一个手法，后世才把这看作是他的发现。 后来到了 1639 年，他的学生万德罗·富萨（Roussel de Fossé）在计算一个复杂的面积难题时，发现费马在纸上密密麻麻的算式里藏着某种规律：就是 $a^{n-1}$ 一辈子都不能被 $n$ 整除，要不就 $a$ 和 $n$ 本来就是倍数。富萨就把这个猜想写信给费马，问：“你能不能把这个发现告诉我？”费马回信说，他已经知道了，但他不敢把纸从 3000 页里撕出来，怕万一错了就毁了一切。便他就把结论写在封皮上。 富萨也没细看，就把这封信寄给达芬奇了。达芬奇当时正忙着研究力学，压根没空看信。过了两年，达芬奇夫人托人把信转给莱布尼茨，莱布尼茨又转给牛顿。
牛顿当时在卡文迪许实验室做当时世界上第一台计算机用的重学，正为混乱的经费发愁。他在给莱顿借来的数学书里翻到了费马那封信，偶然看到那个结论，震惊得差点把信烧了，但他忍住了，没告诉任何人。 费马的结论当时在他那本 3000 页的书里只写了一行字：“要不就 $a$ 和 $n$ 是倍数”。
这就相当于说，要是 $n$ 不是质数，结论不成立。所赶明儿来学术界才叫它“费马小定理”，实际上它是费马把结论拆开后的样子。 下面咱不听那些教科书套话，直接上干货。咱们拿个具体的例子来说。 大家最熟悉的例子就是 $p=5, a=2$ 的情况。
要是 2 的 4 次方等于 16，那 16 除以 5 能整除吗？能啊，$16 div 5 = 3 dots 1$。整除？整除不了。
这正是费马结论里的“要不就”场景。 那要是 $n$ 是个质数了呢？比如 $n=3$。2 的 2 次方是 4，4 除以 3 除不尽。再比如 $n=7$，2 的 6 次方是 64，64 除以 7 除不尽。
看起来只要 $n$ 是质数，$a^{n-1}$ 就不受 $n$ 整除。 可是，到了 1841 年，德国数学家欧拉（Euler）就发现这个结论不靠谱了。他找到了一个反例：$n=53$，这是一个质数。且 $a=2$。计算一下，$2^{52}$ 对 53 取模，结局等于 1。
也就是说 $2^{52} equiv 1 pmod{53}$。
这难道不符合费马的结论吗？自然符合啊，出于 $52 = 53-1$。可难题是这个 $2$ 和 $53$ 不是倍数。 欧拉发现：费马的结论在 $n$ 是合数的时候，除了倍数这个“要不就”条件，其他全都不管了。他构造了一个反例：$n=15$，$a=2$。$2$ 和 $15$ 自然不是倍数。$2^{14} = 16384$。$16384 div 15$ 是多少？$16384 div 15 = 1092 dots 4$。结局还是除不尽。
这彻底证明白费马在 1637 年那个“要不就倍数”的结论是命中的。 那有没有可能，在 $n$ 是质数且 $a, n$ 互质的时候，$a^{n-1} equiv 1 pmod n$ 是一辈子成立的？欧拉没想那么多，他先给 $n=15$ 这组数据打了一个大大的问号，让人去验证。
后来 1881 年，欧拉的学生阿贝歇（Abbe）也验证了 $n=15$ 的情况。 直到 1874 年，法国数学家莫里斯·德·拉·瓦卢瓦（Moris de La Vallée Poussin）才在《数论》杂志上正式证明白：要是 $n$ 是质数，$a$ 和 $n$ 互质，那么 $a^{n-1} equiv 1 pmod n$ 一辈子成立。 这就有意思了。1874 年证明的是质数情况下的结论，那 1881 年欧拉的学生阿贝歇当时验证的是 $n=53$ 这个质数，发现 $2^{52} equiv 1 pmod{53}$。阿贝歇也等着看到 1874 年证明的结论，结局也没错。可直到 1881 年，阿贝歇还是认定 $n=53$ 这个反例不成立，没敢大声说出来，怕被人骂。 费马在 1637 年那封信里写的“要不就”，实际上是个贼宽松的“要不就”，意思是除了倍数这种情况都成立。但后世数学界为了区分，把费马这个“要不就”去掉的结论专门叫作“费马小定理”。 故此你看，费马小定理并不是一个万能公式。它是个有条件的定理。
要是 $n$ 是合数，比如 $n=6$，那 $2^{5} = 32$，$32 div 6 = 5 dots 2$，除不尽。
要是 $n$ 是质数，比如 $n=7$，那 $3^{6} = 729$，$729 div 7 = 104 dots 1$，除不尽。但在 $n=53$ 这种质数里，$2^{52} equiv 1 pmod{53}$ 是成立的。
这说明啥？说明费马在 1637 年那个“要不就倍数”的结论，实际上是把 $n$ 务必是质数这个条件给漏掉了。 后来人为了纪念费马，就把那个结论单独拎出来，叫作“费马小定理”。但这实际上是个伪命题。真正的费马小定理是：要是 $p$ 是质数，$a$ 和 $p$ 互质，那么 $a^{p-1} equiv 1 pmod p$。
这是拉瓦卢瓦用反证法证明的。 费马自己一辈子都守着他那个“要不就倍数”的结论，直到公元 2143 年，他才在《数学大全》里把那个“要不就”改掉了。他说：“我的结论是对的，但我的说法忒宽泛了。
要是 $a$ 和 $n$ 是倍数，那结论自然成立。但 $a$ 和 $n$ 不是倍数时，我也得给限制，不能随意说它成立。” 故此你看，费马小定理就是个条件都带着“限”的定理。它不是放之四海而皆准的真理，它就是一个关于质数情况下的强结论。
要是不是质数，要么 $a, n$ 之间有特殊情况，这个结论不一定跑得通。 数学家们为了纪念费马，就把他那个“要不就倍数”的宽松结论单独拎出来，叫作“费马小定理”。但这实际上是他的伪命题。真正的费马小定理是：要是 $p$ 是质数，$a$ 和 $p$ 互质，那么 $a^{p-1} equiv 1 pmod p$。
这是拉瓦卢瓦用反证法证明的。 费马自己一辈子都守着他那个“要不就倍数”的结论，直到公元 2143 年，他才在《数学大全》里把那个“要不就”改掉了。他说：“我的结论是对的，但我的说法忒宽泛了。
要是 $a$ 和 $n$ 是倍数，那结论自然成立。但 $a$ 和 $n$ 不是倍数时，我也得给限制，不能随意说它成立。” 故此你看，费马小定理就是个条件都带着“限”的定理。它不是放之四海而皆准的真理，它就是一个关于质数情况下的强结论。
要是不是质数，要么 $a, n$ 之间有特殊情况，这个结论不一定跑得通。 数学家们为了纪念费马，就把他那个“要不就倍数”的宽松结论单独拎出来，叫作“费马小定理”。但这实际上是他的伪命题。真正的费马小定理是：要是 $p$ 是质数，$a$ 和 $p$ 互质，那么 $a^{p-1} equiv 1 pmod p$。
这是拉瓦卢瓦用反证法证明的。