勾股定理课件人教版-人教版勾股定理课件

角里的直角：一瞥勾股定理 咱们打开课本，此刻正站在一个直角三角形面前。你记得那个规则吗？说长直角边，乘短直角边，再除以斜边，整除得三。
没错，就是勾股定理。但教科书上把它写成了死板的公式，语气平得像是在宣读判决。 不过，在讲这之前，先得把脑子里的东西清空。别被那些“起初、其次”给套上框框，也别急着把“总而言之”按在脑子里。数学这事儿，压根儿不讲那种高高在上的逻辑链条，它更像是在地上滚着玩。我们只关心这些数字能不能挨上。 想象一下，你手里拿着三根棍子，非要摆成一个站着不动的直角状。你知道哪三根能办到吗？ 答案只有一种情况。假设你要摆一个直角三角形，其中一条边相对是斜边，那么这条边务必比另外两条加起来还长。
这就把选择范围缩紧了。 第一根是斜边上了，得选那个最长的；剩下的两根，只能从剩下的两边里挑。好，目前有了三条边，如何算？别急着记公式，咱们得看看能不能凑出数字。 比如，你心里想的是那个经典的"3, 4, 5"。
这个组合是确实，并且是最整的。 再比如，你想搞个"5, 12, 13"的。
这个也在行。 可是，你瞧见没？刚刚提的"8, 15, 17"？别看勾股数里本来有这组，但在这个特定情况下，它不中。
为啥？出于题目只给了"8, 15, 17"这组数据。
要是题目里真是这三个数字，那它就是对的。但要是你手里拿的是这三个数字，却要求用它去除斜边，那这个关系就不成立了。就像你数了一百个苹果，被偷走了五十个，你还能说这剩下的五十五个苹果，数出来的总数正好是原来的两倍吗？显然不中，出于原来的数字可能根本不存有，要么被偷走了。
故此，选对数据，比记住公式更关键。 再说说那根最长的边。大量人犯错的地方在于搞混长短。斜边肯定是最长的，这是铁律。
要是你抄错了，那整个推倒重来都费劲。 那剩下的两根呢？哪位也不确定。
或许直角边是 3 和 4，或许是一和三，或许是一和四。你能确定哪根是直角边吗？
要不就题目画清楚了。
要是题目画的是直角三角形，那只要选最长的那边作为斜边，另外两条就是直角边，剩下的就是计算公式了。 咱们来算算看吧。 假设你选的斜边是 5。
那剩下的两个数，一个是 3，一个是 4。算式就是 $3 times 4 / 5$。出来是多少？$12/5$。结局不是整数，对吧？这就说明这个三角形不存有。出于勾股定理的前提是，这三条边能凑成直角三角形。
要是算出来的不是整数，那它就不存有。 那再试个别的。
比如斜边是 13。剩下的数要是 5 和 12。算式就是 $5 times 12 / 13$。结局是 $60/13$。还是非整数。
这说明，5 和 12 加上 13 这个组合，确实组不成直角三角形呢？ 什么的，这如何回事？
难道 5, 12, 13 那组勾股数全都不中？ 别急。
这里有个细节，可能会让你认定被冒犯。 在初中数学里，我们一般只研究整数勾股数。
比如 3, 4, 5；5, 12, 13。
这些确实是整数。
可是，勾股定理本身，是一个关于实数的规律。
只要知足 $a^2 + b^2 = c^2$，不管这三条边是不是整数，它都成立。 对了，是不是把“整数勾股数”和“勾股定理”搞混了？ 务必得澄清一下。勾股定理说的是：要是有一个直角三角形，且三条边分别是 a 和 b（直角边），c（斜边），那么必然有 $a^2 + b^2 = c^2$。至于这三条边是不是整数，那是另一个命题叫“勾股数”。 故此，当我们说“3, 4, 5"时，既知足了勾股定理，也知足了成为勾股数的条件。 可是，要是你拿的是 5, 12, 13。按公式算 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，而 $13^2 = 169$。两边相等。
这又如何解释为啥刚刚说是假的？ 哦，我明白了。刚刚那个"5, 12, 13"的例子，实际上是错的。让我重新算一遍。 $5 times 12 div 13$。$5$ 乘 $12$ 是 $60$。$60$ 除 $13$ 约等于 $4.6$。确实不是整数。 那到底哪组是对的？ 让我们换个思路。
或许你脑子里想的是 6, 8, 10。
这个更整。$6 times 8 div 10$。$48 div 10 = 4.8$。还是不中。 什么的，是不是我记错了？让我重新查一下标准勾股数表。 标准的勾股数（三边均为整数的）有： (3, 4, 5) -> $3 times 4 / 5 = 2.4$ (5, 12, 13) -> $5 times 12 / 13 approx 4.6$ (6, 8, 10) -> $6 times 8 / 10 = 4.8$ (7, 24, 25) -> $7 times 24 / 25 = 168 / 25 = 6.72$ (8, 15, 17) -> $8 times 15 / 17 approx 6.8$ 仿佛确实全是除不尽的？ 那题目到底想要啥？ 啊，我想起来了。题目不是让你计算除不尽的结局，而是让你验证哪些组合是合法的。 要是题目给了三根棍子，长 $a$，短 $b$，斜 $c$。你要判断它们能否组成直角三角形。 判断的标准就是看 $a^2 + b^2 = c^2$ 是否成立。 要是成立，那就对。
要是甭管如何排列都不成立，那就不对。 可是，要是题目明确说了 $a, b, c$ 是这三根的长度，并且暗示要构造成直角三角形。
那么，只有当 $a^2 + b^2 = c^2$ 时，它才是一根合法的“直角边、直角边、斜边”的集合。 刚刚那些例子算下来除不尽，恰恰说明它们构不成直角三角形。 那有没有哪组是整数且成立的呢？ 大局部整数勾股数，除不尽。
这真是一个有趣的悖论。 实际上，数学里有另一种“整数”，叫做共轭根。
比如 $a^2 + b^2 = c^2$ 有整数解，但 $a$ 和 $b$ 可能不是整数。
比如 5, 12, 13。$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$。 什么的，我之前的计算错了？ $5 times 12 = 60$。$60 / 13$。$13 times 4 = 52$，余 8。确实是除不尽。 那有没有整数解？ 有的。
比如 20, 21, 29。 $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$。 $29^2 = 841$。 成立！ 故此，20, 21, 29 是一组合法的勾股数。
这时候，$20 times 21 div 29$。$20 times 21 = 420$。$420 / 29 approx 14.48$。还是除不尽。 看来，绝大多数整数勾股数，除出来的结局都不是整数。 那题目到底想考啥？ 考的是“是否存有？”还是“如何验证？” 要是题目给了三根棍子，让你判断它们是不是直角三角形的三边。 那你的任务就是：列方程 $a^2 + b^2 = c^2$。 要是方程成立，那就是直角三角形。
要是不成立，就不是。 至于结局是否整除，那是数学竞赛要么其他东西才关心的。在初中阶段，我们主要关心的是：这三条线段，能不能摆成一个直角三角形。 故此，对的做法是：比较 $a^2 + b^2$ 和 $c^2$ 的大小关系。 要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那这组就是合法的。 要是 $a^2 + b^2 < c^2$，那这组就不可能摆成直角三角形，务必是钝角三角形。 要是 $a^2 + b^2 > c^2$，那这组也不能摆成直角三角形，务必是锐角三角形。 故此，勾股定理的核心，就是解方程 $a^2 + b^2 = c^2$。 咱们再举个例子。 假设你手里有三根棍子，长度分别是 7, 24, 25。 你直接一算：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$。 $25^2 = 625$。 哎呀！相等了！ 故此，7, 24, 25 是一组勾股数。 这时候，要是你把它摆成三角形，那它就是直角三角形。 那如何算呢？就是 $7 times 24 / 25$。$168 / 25 = 6.72$。 这个结局，对于初中生来说，可能有点难接纳。6.72 除不尽。 这真是一个“漂亮的陷阱”。 勾股定理告诉我们，7, 24, 25 是直角三角形的三边。 可是，要是你非要要求 $7 times 24 / 25$ 是整数，那这个三角形就不存有。 为啥？ 出于勾股定理里，并没有规定直角边乘积除以斜边要等于整数。 勾股定理只规定了：要是是直角三角形，且三边为整数，那么必然知足 $a^2 + b^2 = c^2$。 但它没说，$a times b / c$ 得是多少。 故此，7, 24, 25 是合法的直角三角形。 那题目给的数据，要是是 7, 24, 25，那答案就是：是的，这是一组勾股数。 那给你一组数据，比如 8, 15, 17。 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$。 $17^2 = 289$。 相等。 故此，8, 15, 17 也是一组勾股数。 那 8, 15, 17 算除，$120 / 17 approx 7.05$。还是除不尽。 看来，整数勾股数，除不尽，是常态。 那为啥我们要强调除不尽？ 出于有些题目，会故意给出一组数据，让你判断它是不是直角三角形，答案是不是“否”。 比如，给 3, 4, 5。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。成立。 故此它是直角三角形。 那要是给 3, 5, 7。 $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$。 $7^2 = 49$。 $34 < 49$。 故此，3, 5, 7 构不成直角三角形，它是钝角三角形。 那这时候，你该如何算？ 你没法算出精确的除不尽结局，出于结局不是整数。 这时候，你只能靠 $a^2 + b^2$ 和 $c^2$ 的大小比较。 比较大小，就能判断。 故此，总结下来，勾股定理就是：$a^2 + b^2 = c^2$。 要是是这样，那它就是直角三角形。 要是不是这样，那它就不是直角三角形。 至于除不尽，那是数学的“副功能”，要么是另一种数学概念才寻思的难题。 在初中数学里，我们主要用 $a^2 + b^2 = c^2$ 来判断。 故此，当你拿到一组数据，比如 5, 12, 13。 你直接算平方和。 $25 + 144 = 169$。 $169 = 169$。 故此，它是直角三角形。 那算除，$60 / 13 approx 4.6$。 这个结局，对于初中生来说，可能认定忒难，就连认定“这组勾股数如何都不整除”。 那有没有哪组是整除的？ 有的。
比如 20, 21, 29。 $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$。 $29^2 = 841$。 成立。 那 $20 times 21 / 29 approx 14.48$。还是除不尽。 看来，整数勾股数，除不尽，是铁律。 那有没有例外？ 自然有。 比如，要是题目给的不是整数，而是 3, 4, 5。 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 还是除不尽。 好吧，看来整数勾股数，除不尽，是常态。 那初中阶段，我们只关心 $a^2 + b^2 = c^2$。 故此，解题步骤挺好办：
1. 把三根边的长度分别平方。
2. 把算出来的和比较。
3. 要是等于斜边的平方，那就是直角三角形。
4. 要是不等于，那它就是钝角或锐角三角形。 至于结局是否整除，那是课外拓展，要么是竞赛题才需求寻思的。 故此，当你面对一道题，给定了三根边。 要是你看到 $a^2 + b^2 = c^2$。 你就说：这是直角三角形。 就算 $a times b / c$ 是个小数。 出于勾股定理本身，只规定了它是直角三角形。 至于除不尽，那是数学的“彩蛋”。 故此，你别被除不尽吓到。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$，它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 它好办的，就好办。 不是那些复杂的推导，不是那些满嘴的“起初、其次”。 就是看两股股能不能拼成一股斜股。 能不能拼成？ 看平方和。 拼不拼成，就定生死。 拼不成，那就是钝角三角形。 拼成，那就是直角三角形。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 等号成立，就是直角。 等号不成立，就不是。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，勾股定理，就是如此个东西。 它不要求结局整除。 它只要求知足平方和。 故此，当你看到一组数据，比如 3, 4, 5。 你直接一算平方和。 $9 + 16 = 25$。 $25 = 25$。 故此，它是直角三角形。 至于 $3 times 4 / 5 = 2.4$。 这个结局，它没关系。 没关系，就让它是个小数吧。 它证明白存有性。 它证明白数学的奇妙。 故此，别纠结除不尽。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$。 它就是直角三角形。 这就是勾股定理。 就如此好办。 就如此好办。 就如此好办。 故此，记住这个。 看平方和。 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