平行向量基本定理-平行向量基本定理

在高中数学的坐标系里，平行向量实际上是个挺“实在”的概念，它不像单位向量那样讲究优雅和标准，却也是最底层的那块基石。你根本不需求去推导优美的几何证明，只要记住一眼就能看出的规则，就能搞定绝大多数题目。 先说说如何一眼认出两个向量平行。最笨但也最有效的方式，就是看它们的坐标符号。比方说向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和$vec{b}=(x_2, y_2)$，只要其中一个数是零，另一对应系数比等于另一个数除以那个零的数，那它们就平行。
比如$vec{a}=(1, 3)$和$vec{b}=(3, 9)$，这儿$y_1/y_2 = 3/3=1$，而$x_1/x_2 = 1/3$，不对，什么的，算错了吧？啊，$3/9=1/3$，确实相等，故此它们平行。再比如$vec{a}=(1, 0)$和$vec{b}=(0, 0)$，后者就是零向量，一辈子被认定和任意向量平行，出于它没有方向可言，要么说它和所有方向都“躺平”。 说到“零向量”这事儿，别当作它是“空”的向量，它实际上是个等温点，跟其他向量没啥区别。别看教材里一般会特别强调这点，但在做题时，只要看到后面那个分量全是 0，那它就能和任何前向的向量“抱结”。
举个例子，$vec{a}=(4, 7)$和$vec{b}=(8, 14)$，这里$14/4=3.5$，$14/8=1.75$，不平行。但要是$vec{b}=(8, 16)$，那$16/4=4$，$16/8=2$，也不对。倒是$vec{a}=(2, 4)$和$vec{b}=(1, 2)$，$2/1=2$，$4/2=2$，完美匹配，这俩平行，并且$|vec{a}|=2sqrt{2}$，$|vec{b}|=sqrt{2}$，长度刚好是两倍。 再聊聊如何判断两向量共线但夹角不一定是 0 或 180 度。
这个实际上就是看斜率相等。
要是两个向量的方向角 $alpha$ 和 $beta$ 知足 $alpha = beta + k cdot 360^circ$，那它们就平行。斜率公式 $k = y/x$ 是判定平行的利器。
比如$vec{u}=(3, 5)$，$k_u=5/3$；$vec{v}=(-6, -10)$，$k_v=-10/-6=5/3$，结局一样，平行无疑。但要是是$vec{u}=(3, 4)$，$k_u=4/3$；$vec{v}=(2, 3)$，$k_v=3/2$，这就不同了，不平行。 还有一个挺好办搞混的地方就是零向量和零向量的关系。别看零向量没有长度，但它和任意向量的夹角被认定是$pi$（180 度）。
这意味着在几何作图时，画一条从原点出发的射线，你会画出一条代表零向量的向量，它和任何一条非零向量都是共线的。但要注意，零向量一辈子不是单位向量，它的模长是 1（这是个毛病记忆，单位向量模长是 1，零向量模长是 0，千万别混了）。 在讲完定义和计算之后，实际上能够用个好办的性质来辅助思索：共线向量成比例。
要是$vec{a}$和$vec{b}$共线，那一定存有一个非零常数 $lambda$，使得$vec{b} = lambda vec{a}$。
也就是说，$vec{b}$就是$vec{a}$放大或缩小了那个系数。
这在解题时特别 handy，比如已知$vec{a}=(1, 2)$，求平行于它的向量$vec{b}$，你只需求把某个数乘进去就行，比如取$lambda=3$，那$vec{b}=(3, 6)$，$lambda=-2$，$vec{b}=(-2, -4)$。
这样做出来的向量肯定平行，并且长度分别是原长度的 3 倍和 2 倍。 实际运用中，你可能会遇到混合运算的情况。
比如已知$vec{a}=(2, 1)$，$vec{b}=(4, 2)$，求$vec{c}=(vec{a}-vec{b}) + vec{a}$。先算$vec{a}-vec{b}=(-2, -1)$，再加回$vec{a}$就是$(0, 1)$。
这时候你能够顺便检查一下，$(0, 1)$平行于$x$轴吗？是的，出于$y=0$时，$y/x$无意义要么说斜率为无穷大，而$(2, 1)$斜率是 0.5，确实不平行。 最终总结一下，向量平行的判定实际上就 boils down 到两个核心：坐标成比例（一般分母非零时），要么其中一个为 0。至于方向角的关系，本质上就是斜率相等。解题时保持这种直觉，少钻牛角尖，多套公式，题目自然就顺了。 题目给的例子，比如已知$vec{a}=(1, 2)$，$vec{b}=(3, 4)$，问这两个向量是否平行？算一下比例：$1/3$和$2/4$，一个是 0.333，一个算出来是 0.5，不相等，故此不平行。
这就挺直观了。再比如$vec{a}=(2, 4)$和$vec{b}=(-2, -4)$，比例都是 1，平行。
这时候你能够快速画个图，它们在一条直线上，只是方向反之，这归于“反向平行”。 还有啊，有些时候向量模长相等的平行向量，长度一样。
比如$vec{a}=(3, 4)$，长度是 5；$vec{b}=(-3, -4)$，长度也是 5，它们长度相等且方向反之，故此是反向平行。
这在实际应用里挺有用的，比如传送带上的物体速度矢量，要是反向，说明物体在减速要么反向运动，别看它们可能还是平行的。 要是我们要找平行于$vec{a}=(2, 1)$的向量，且模长为 3，那算一下斜率是 1/2，设$vec{b}=(x, y)$，则$y/x=1/2$，得$(x, y)$可能是$(6, 3)$要么$(-6, -3)$？不对，模长是 3。$(6, 3)$模长是 3，没错；$(6, -3)$模长是 3，但这不平行了，出于$-3/6 = -0.5$，$0.5$ 不相等。
故此只能是$(6, 3)$要么$(-6, -3)$。 总而言之，向量平行这事儿，看着挺好办，实际上就是看坐标比对不对，要么斜率是不是相等。
只要你不被那些复杂的几何证明绕晕，考场上直接套这两个条件，就能得分。毕竟数学题嘛，有时候就是看你一眼能不能认出规律，而不是你能不能写出最优解。