正规算子谱分解定理-正规算子谱分解定理

在讲量子力学之前，先扯点扯数学，出于物理学家和数学家有时候会聊得忒嗨。正规算子谱分解是量子力学里把幺正算子拆成“本征值”和“本征向量”那套庞然大物，但这一套东西在李萨如图形里也能找到影子。想象一下一条摆线，它的运动方程是参数化的，这里的参数 $t$ 跑遍实数轴 $(-infty, +infty)$，这就构成了参数曲线。
要是我们用 $t$ 当作波函数 $x(t)$，那这个曲面 $x(t)$ 实际上就是一个费曼图，电子在原子核周围转圈圈，$t$ 就是坐标。 在这个图里，每一个点都有定义，但光是位置还得加上动量，动量 $p$ 和坐标 $x$ 都是个功能域（domain）。
要是我们画一个区域 $D$，在这个区域里 $x$ 能够被理解成坐标，$p$ 能够被理解成动量，那整个 $D$ 就是一个希尔伯特空间。正规算子谱分解的核心思想，就是把一个算子 $A$ 变成一个对角矩阵 $D$。在矩阵的世界里，对角线就是特征值，那这就是 $A$ 的本征值；向量就是对角元组成的矩阵，那这就是 $A$ 的本征向量。在算子世界里，同一个特征值，可能对应不同的本征向量，每个都是希尔伯特空间里一个正交基。 可是，一般/平平的算子不一样。常见的算子，比如一维自由粒子哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$，它的本征函数是正弦和余弦，对应的本征值是一堆正数。
要是用傅里叶变换算出来，你会发现它的谱分解实际上就是 $frac{1}{sqrt{2pi}} int e^{ikx} e^{ikx} d^kx$。
你看，$e^{ikx}$ 就是位移算符，把粒子从原点移到了 $k$ 点。
这说明，只要算子是正规的，它的谱分解就是傅里叶变换。
要是算子不是正规的，比如二阶微分算子 $frac{d^2}{dx^2}$，它的谱分解就是狄拉克 $delta(x-y)$，但一般/平平的积分形式就不中了，出于它在空间上有支撑，不能直接积分，这就像你把一块蛋糕切成无数细小的切片后再拼回来，总量没变，但切片得无限多。 回到费曼图，要是 $x$ 是坐标，$p$ 是动量，那 $p$ 不是标量，它是矢量，要么说它是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是对角矩阵。
要是你选一个本征向量，比如基矢 $|xrangle$，那么 $p$ 在这个基底下就是 $frac{d}{dx}$，它是一个无界算子。
要是我们用 $0x$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
要是你用 $|xrangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这就挺有意思了，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|xrangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基（傅里叶基），$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，每一个点都有定义，但光是位置还得加上动量，动量 $p$ 和坐标 $x$ 都是个功能域（domain）。
要是我们画一个区域 $D$，在这个区域里 $x$ 能够被理解成坐标，$p$ 能够被理解成动量，那整个 $D$ 就是一个希尔伯特空间。正规算子谱分解的核心思想，就是把一个算子 $A$ 变成一个对角矩阵 $D$。在矩阵的世界里，对角线就是特征值，那这就是 $A$ 的本征值；向量就是对角元组成的矩阵，那这就是 $A$ 的本征向量。在算子世界里，同一个特征值，可能对应不同的本征向量，每个都是希尔伯特空间里一个正交基。 可是，一般/平平的算子不一样。常见的算子，比如一维自由粒子哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$，它的本征函数是正弦和余弦，对应的本征值是一堆正数。
要是用傅里叶变换算出来，你会发现它的谱分解实际上就是 $frac{1}{sqrt{2pi}} int e^{ikx} e^{ikx} d^kx$。
你看，$e^{ikx}$ 就是位移算符，把粒子从原点移到了 $k$ 点。
这说明，只要算子是正规的，它的谱分解就是傅里叶变换。
要是算子不是正规的，比如二阶微分算子 $frac{d^2}{dx^2}$，它的谱分解就是狄拉克 $delta(x-y)$，但一般/平平的积分形式就不中了，出于它在空间上有支撑，不能直接积分，这就像你把一块蛋糕切成无数细小的切片后再拼回来，总量没变，但切片得无限多。 回到费曼图，要是 $x$ 是坐标，$p$ 是动量，那 $p$ 不是标量，它是矢量，要么说它是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是对角矩阵。
要是你选一个本征向量，比如基矢 $|xrangle$，那么 $p$ 在这个基底下就是 $frac{d}{dx}$，它是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这就挺有意思了，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|xrangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 假设我们有一个算子 $A$，它的谱分解是 $E_A(lambda)$。
要是我们想构造一个算子 $H$，让 $H$ 在能量表象下是对角的，那 $H = sum lambda_i E_A(lambda_i)$。
这个公式看起来挺好办，实际上就是把能量本征值按能量本征向量加权求和。能量本征值 $lambda_i$ 来自哈密顿量的本征值，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 来自哈密顿量的本征向量。在傅里叶变换里，能量本征值 $lambda_i$ 就是 $k^2/2$，而能量本征向量 $E_A(lambda_i)$ 就是 $|krangle$。 故此，正规算子谱分解在物理上意味着我们能够把任意厄米算子写成算符的线性组合，每个项都是“能量本征值乘以能量本征向量”。在量子场论里，这个能量就是场的能量，本征向量就是场的模式。场在真空态下没有能量，那真空态就是所有能量的本征向量。
要是我们想计算一个粒子散射的概率，我们就得算初始态和末态的内积。初始态就是真空态，末态就是粒子态。散射振幅就是这两个内积的模方。 这时候你就会发现，费曼图里的每一个顶点，都是算符的矩阵元。顶点代表算符 $O_1 O_2 dots O_n$ 在基矢之间的耦合。
要是选一个特定的基矢，比如动量为 $k$ 的平面波态，那这个基矢就是 $|krangle$。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是对角矩阵，对角线元素就是 $k^2/2$。
这意味着，要是一个粒子在基矢 $|krangle$ 上，那它的能量就是 $k^2/2$。
这听起来有点怪，出于 $k$ 是个动量嘛，动量平方除以质量就是能量。
这实际上就是能量 - 动量关系。 可是，要是我们选另一个基矢，比如位置波函数 $psi(x)$，那就是用 $|xrangle$ 基。在这个基底下，哈密顿量算符 $H$ 就是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
这表示，要是一个粒子的位置在 $x$ 附近，它的位置不确定度是 $Delta x$，动量不确定度是 $Delta p$，那它的能量就等于 $Delta p^2/2m + Delta x^2/2m^3$。
这实际上就是海森堡不确定性原理的表达式。 这两种基矢描述的是同一个物理系统，只是数学表达不同。在 $|krangle$ 基底下，能量是确定的，是 $k^2/2$。在 $|xrangle$ 基底下，能量是不确定的，只能用期望值 $langle x | H | x rangle = frac{1}{2} langle x | frac{d^2}{dx^2} | x rangle = frac{1}{2} psi''(x)$ 来描述。
这就是谱分解的妙处，同一个物理量，在不同的基底下，有不同的矩阵表示，有的对角，有的非对角。 再回过头来看费曼图。在费曼图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个例子，一维自由粒子的哈密顿量 $H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2$，对应的就是动量 $k$。 在这个图里，$t$ 跑遍实数轴，这就是参数曲线。
要是我们把工夫 $t$ 当作坐标，$p$ 当作动量，那 $p$ 就是算符。在 $0x$ 基底下，$p$ 的矩阵是 $frac{d}{dx}$，这是一个无界算子。
要是我们用 $|krangle$ 基，$p$ 的矩阵就是 $frac{d}{dx}$。
这说明，$p$ 在 $0x$ 基底下是算符，在 $|krangle$ 基底下也是算符，只是矩阵长得不一样。 再举个好办的例子，$H = -frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|xrangle$ 基，$H$ 的矩阵是 $frac{1}{2} frac{d^2}{dx^2}$。
要是我们用 $|krangle$ 基，$H$ 的矩阵就是 $frac{k^2}{2}$。
这两个是同一个物理系统，只是描述视角不同。在 $|krangle$ 基底下，$H$ 就是对角矩阵，本征值就是 $k^2/2