抽样分布定理证明-抽样分布定理证毕

抽样分布定理实际上有点拗口，听起来像是在读数学公式。
实际上它说的就是那些没毛病，只要样本充足大，样本均值就这事儿。
比如你抛硬币，抛一百次，正反面各五十次，这个结局跟抛两百万次拿到的结局差不多，该正数正数，该负数负数，方差简直没变化。
这就是大数定律在起功能，样本均值就是一堆随机变量的平均数，而随机变量分布下来的样子，就是抽样分布。 最直观的例子，画个正态分布图，横轴是均值，纵轴是频率。均值是原点，那分布双曲线就对称着躺在那儿。标准差是宽窄程度，标准差大，曲线就细；标准差小，曲线就胖。
要是横轴上的数字变大，比如从 1 变成 11，曲线就缩得更小了。
这时候你会发现，分布还是那个分布，只是位置跟着平移了。
要是横轴上的数字变大 1 变成 12，曲线又缩窄了一点。
这时候你会发现，分布还是那个分布，只是位置又跟着平移了。 实际上这种平移关系挺有意思的。想象你手里有个正态分布的袋子，里面装着一堆随机数。
要是你把这堆数往右平移 1 个单位，那整袋子的位置就变了。
要是你再往右平移 1 个单位，位置又变了。
你看，每次平移都让曲线往右挪一点，但曲线的形状不变，标准差也没变，只是位置在变。
这就解释了为啥抽样分布图 plotted 出来，横轴上的均值和纵轴上的标准差，跟原始变量的均值和标准差是一一对应的。横轴上的标准差变大，纵轴上的标准差就跟着变大；横轴上的标准差变小，纵轴上的标准差就跟着变小。
这就是为啥我们说抽样分布是线性的。 不过，这里头有个细节要是注意了。
要是原始数据是正态分布，那样本均值本身也大约率会是正态分布。但要是你想做个统计图，让横轴上的值不是整数，而是小数点后的数，比如 1.25，1.32 这种，这时候曲线那就得拉得更细更窄了。出于数字多了，离散度就小了。
要是横轴上的值都是整数，比如 1 到 10，那曲线就得拉得特别挤。
这时候曲线就变扁了，离散度变大了。
这就有个矛盾，明明数值变大了，离散度却变小了；数值小了，离散度反而变大。
这跟直觉仿佛有点反，但逻辑上是通的。出于离散度的定义跟数值范围相关，范围大，离散度大；范围小，离散度就小。
故此抽样分布图上的曲线，横轴数值越大，曲线越细；数值越小，曲线越胖。 有些同学可能会想，这图如何画才好看？实际上画的时候，横轴上的数值要是整数比较好。
要是横轴上的数值都是整数，曲线就比较胖，这样就比较好理解。
要是数值都是小数，曲线就细了，这时候得小心别画得忒细，否则就不好看了。
不过就算画得细了也没关系，只要数据充足大，曲线还是能收敛到原来的正态分布形状。 实际上这个定理的核心思想挺好办的，就是随机变量分布下来的样子。想象你有一堆随机数，你取一个，它是正态分布的，比如 50 到 60 之间。你再取一个，它也是正态分布的，比如 52 到 58 之间。你把它们加起来，总和还是正态分布的。
只要样本量充足大，这时候分布下来的样子，就是抽样分布。 有时候你会认定这定理有点忒直白，不够深沉。但实际上它没那么深奥。它告诉我们，只要样本够大，样本均值就这事儿，它不会受样本量的影响。
比如你取 100 个样本，均值是 51；你取 1000 个样本，均值还是 51；你取 10000 个样本，均值还是 51。
你看，样本量从小到大，均值没如何变。
这就是大数定律，它让均值变得稳定，变成了随机变量分布的均值。 还有一个地方，有时候你会认定样本均值是正态分布，那抽样分布应当也是正态分布。但反过来，样本分布不一定是正态分布，样本均值也不是正态分布的。样本分布是正态分布，只是均值可能是非正态的，方差可能是非正态的。
这时候抽样分布就不是正态分布了，它可能是双峰的，可能会是偏态的，这会变得挺复杂。
这时候你就得小心了，别乱猜了。 实际上抽样分布定理的证明过程挺费事，涉及大量的积分和期望计算，但核心逻辑实际上就在那儿。它证明白样本均值是随机变量和的期望，而随机变量的和的分布，就是抽样分布。
故此抽样分布图，就是想看这个和的期望是多少，和是多少。 有时候你会认定，这定理能不能用？自然能够。
比如你做个民意调查，问你 100 个人，然后问 1000 个人，你会发现平均值差不多。
这说明样本均值是稳定的，就是随机变量分布的均值。
这时候你就能够做一个假设检验，认定那个平均值跟总体均值不一样，那就说明总体均值不一样的可能性挺大。 最终再提一句，这个定理也有它的适用范围。它主要适用于连续型随机变量，也适用于离散型。但对于样本分布，只要样本量充足大，不管原始变量是啥类型，样本均值都收敛到原始变量的均值。
这时候抽样分布就是原始变量的分布。
故此有时候你会认定，样本均值也是正态分布，样本分布也是正态分布。但要是样本量挺小，要么原始变量是非正态分布的，这时候样本均值就不是正态分布的，抽样分布也不是正态分布的。
这时候你就得小心了，别乱猜了。 总而言之，抽样分布定理就是告诉我们，样本均值是随机变量分布的均值，而随机变量分布的规律，就是抽样分布。
只要样本充足大，样本均值就这事儿，它不会受样本量的影响。