勾股定理习题讲解-勾股定理习题讲解

勾股定理：把直角拆成斜边和两条腿 如何算？不用公式。
看着图，你就知道如何拆。 拿那个直角三角形，$a, b, c$ 分别是短边、短边、长边。别管啥“平方和”，先把直角三角形里的小三角形给切出来，再把它们拼成那个大直角三角形。 你看啊，$AB$ 务必比 $AC$ 还长，这不是废话吗？故此 $a$ 是直角边，$b$ 是直角边，$c$ 是斜边。
要是 $a$ 和 $b$ 都不比 $c$ 长，那这就是个钝角三角形，跟勾股定理没关系。
故此第一步，得挑出那个最长的边，那个就是 $c$。 有了这个基准，你就知道 $a$ 和 $b$ 的相对大小了。哪边长，哪边就代表 $a$ 或 $b$。 别光看数字，要看过程。假设你要算 $3, 4, 5$。你先把 $5$ 的平方算出来，$5 times 5 = 25$。
然后看 $3$ 的平方，$9$，还有 $4$ 的平方，$16$。把这些加起来：$16$ 加 $9$ 等于 $25$。
哎，对了，正好凑出 $25$。
这就通了。 那要是数据给少了如何办？比如只给了 $c=50$，让你求 $a, b$。
这时候你就得反推。先算 $c^2 = 2500$，减去 $b^2$ 还剩多少，那就是 $a^2$。剩下的，就得拆分成两个整数，一般要知足整数平方和的性质。 举个实际的例子。假设题目是求一个直角三角形，斜边 $10$，一条直角边 $6$。你先算 $100$ 减去 $36$，剩 $64$。
然后问 $64$ 能写成哪两个数的平方和？答案是 $4$ 和 $8$。 哦，什么的，你问 $8$ 是多少的平方？$8$ 不是彻底平方数啊。
那如何办？得换思路。题目可能不是整数，要么数据没给全。常见的勾股数有 $3, 4, 5$，$5, 12, 13$，$8, 15, 17$。
这些数字你熟吗？要是你给的是 $8, 15, 17$，那你直接就知道 $a=8, b=15, c=17$。你不需求做加减乘除，出于你脑子里有这些标准答案。 自然，要是题目是 $a=3, b=4, c=?$ 这种给定了两直角边求斜边的情况，就得老老实实用公式了。$c = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9+16} = sqrt{25} = 5$。 那要是数据更复杂点呢？比如 $a=5, b=12, c=?$。先算 $25$ 加 $144$，等于 $169$。$sqrt{169}$ 是多少？$13$。$13$ 是彻底平方数，这题就稳了。 再试一个有点不清楚的。假设 $c=100, a=120$。$c^2 = 10000, a^2 = 14400$。
这是钝角三角形，直接拉倒。 那要处理非整数如何办？比如 $a=1, b=2, c=?$。$1+4=5$，$sqrt{5}$ 是个无理数。
这在初中阶段可能不常见，但在高中要么竞赛里挺常见。
这时候你就得用计算器，要么找近似值。$c approx 2.236$。 还有，要是你给的是 $a$ 和 $c$，求 $b$。$a^2 + b^2 = c^2$。
这就意味着 $b = sqrt{c^2 - a^2}$。
这时候要注意根号里的数务必是非负数，并且要能开根号。
要是开不尽根号，那就说明数据给错了，要么题目需求保留根号形式。 另外，直角三角形里，斜边一辈子是最长的边。
这点挺关键。
要是题目给的是 $a, b, c$，你先要确认哪个最大。
要是是钝角三角形，$c$ 就不是斜边了。
这时候就得重新画个图，要么重新判断哪个角是直角。假设 $c$ 是斜边，那 $a, b$ 就是直角边。假设 $b$ 是斜边，那 $a, c$ 就是直角边。假设 $a$ 是斜边，那 $b, c$ 就是直角边。基准定了，公式才能用。 再深入一点，勾股定理反过来如何用？比如已知面积求周长，要么已知三边求面积。
要是三条边都是整数，你能够用海伦公式算面积。先算半周长 $s$。$s = (a+b+c)/2$。
然后 $A = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$。算出来之后，周长就是 $a+b+c$。 比如题目给的是等边三角形，但题目说是直角三角形，那肯定不是等边三角形。等边三角形三个角都是 $60$ 度，没直角。
故此要是题目说是直角三角形，那它肯定不是等边三角形。
这点好办混淆，得分清。 还有，勾股定理在比例上也有用。
要是三个数是 $3, 4, 5$，那 $6, 8, 10$ 也是。$6=3times 2, 8=4times 2, 10=5times 2$。比例保持住，定理依然成立。 再举一个生活化的例子。
你想搭一个房间的墙角，如何保证它是直角？量一下墙的两边，要是长度分别是 $3$ 米和 $4$ 米，你不用尺子算，你心里默念 $9+16=25$，然后 $sqrt{25}=5$ 米。你拿个 $5$ 米长的木条靠那会儿，要是刚好重合，那就是直角。
这就是勾股定理的实际应用。 实际上，勾股定理不仅用于数学题，还用于建筑、导航就连编程。
比如在找最短路径的时候，直角是常见的约束条件。 最终总结一下，不用死记硬背公式。先看图，定哪位是斜边，那是大胖大腿。再算平方，看看能不能凑整。
要是能凑整，恭喜你，勾股数，直接抄下来。
要是不能凑整，要么用公式无理根，要么重新审视数据是否合理。 这就是勾股定理的全体精髓。好办，粗暴，直接。