谁发明了勾股定理-勾股定理何时发现

中国古称“勾股术”，欧洲叫“毕达哥拉斯定理”，但这片古老的数学田野，实际上早就有人在这里干过活，只是大家后来把功劳全记在了哪位身上。 话说回古代，中国人最早就是靠算出来的。早在先秦时代，大禹治水的时候，为了丈量土地面积，就得算直线长度；到了后来勾股定理真正成型，那是商鞅变法前后。
那时候的人喜爱画图，把直角三角形的两条直角边看作“勾”，斜边看作“股”，斜边比勾长的那条叫“股”，这两条边知足平方和的关系。更绝的是，那个流传至今的“弦图”，实际上就是把四个全等的直角三角形拼在一起，中间围出一个正方形，证明白勾股数的组合关系。就连到了汉代赵爽的《勾股圆方图》，直接把四个全等的直角三角形像搭积木一样拼成一个中正方形，剩下的空隙填满了四个小正方形，面积上边明显，就证明白 $a^2 + b^2 = c^2$。
那时候的人叫它“形”，意思是形状。 到了战国，中国已经有人对这个概念做了贼系统的总结。说真正的“定理”出来，那还是法家法家商鞅变法前后。
那时候的人喜爱画图，把直角三角形的两条直角边看作“勾”，斜边看作“股”，斜边比勾长的那条叫“股”，这两条边知足平方和的关系。更绝的是，那个流传至今的“弦图”，实际上就是把四个全等的直角三角形拼在一起，中间围出一个正方形，证明白勾股数的组合关系。就连到了汉代赵爽的《勾股圆方图》，直接把四个全等的直角三角形像搭积木一样拼成一个中正方形，剩下的空隙填满了四个小正方形，面积上边明显，就证明白 $a^2 + b^2 = c^2$。
那时候的人叫它“形”，意思形状。 而在希腊，这事儿又是另一番光景。毕达哥拉斯学派最早可能是在公元前 6 世纪中叶，就启动研究这个了。
据说他们在给王宫广场建房子时，要么是在争论关于天体运动的时候，碰见了这个关系。公元前 500 年左右，毕达哥拉斯学派发现，要是直角三角形的两直角边分别为 $a$ 和 $b$，斜边 $c$ 知足 $a^2 + b^2 = c^2$，那么 $a, b, c$ 就是一组勾股数。
这个发现忒关键了，出于之前大家都算错了。
比如一个常见的例子，直角边是 3 和 4，斜边就是 5；要是是 5 和 12，斜边就是 13；10 和 24，斜边是 26。
这些数大家目前熟，是出于它们证明白勾股数的组合关系。 可是，这个定理在希腊走的时候，实际上经历了不少波折。毕达哥拉斯的学生希帕索斯在研究如何找到勾股数的时候，用数学证明白：要是 $3, 4, 5$ 是一组勾股数，那么任何勾股数都能够写成 $k(3, 4, 5)$ 的形式。
可是，当希帕索斯算出一个难题后，结局让他暴怒了。他发现，要是计算某组勾股数 $k=1000$ 时，边长是 $300, 400, 500$，那么其中一个直角边的平方是 $40000$，开方后是 $200$，可 $200$ 是两个连续自然数的平方和（$14^2 + 15^2 = 196 + 225 = 421$），这意味着平方根里包含了 $sqrt{2}$，也就是无理数。而毕达哥拉斯学派认定万物皆由平方和构成，含有无理数就是他们不喜爱的。
故此，他们把这个发现当成异端，就连要把希帕索斯杀了。 后来，泰勒斯这些哲学家用几何证明证明白勾股定理，并且这个证明比毕达哥拉斯那个猜想式的要靠谱。泰勒斯就坐在海边，看到海潮退下去留下的痕迹，发现海岸线是直的，然后利用相似三角形的性质。他画了一个直角三角形，把两直角边延长交于一点（也就是无穷远点），利用射影定理证明白 $a^2 + b^2 = c^2$。
这个证明后来被古希腊的欧几里得整理成《几何原本》的第十三卷，成了整个西方数学的基石。 不过，这个故事里还是藏着几个有趣的矛盾。西方把功劳全给毕达哥拉斯，实际上只是出于毕达哥拉斯是个狂热的数学家，他坚信全体真理都藏在数字里。而中国的人早就早就做对，只是后来出于文化差异，把功劳都分成了两半。
比如那个“弦图”，中国人管成“形”，西方管成“代数”，就连管成“方程”，实际上都只有一个意思：就是画个图，证明个关系。
还有啊，那个著名的“数学家被杀”的故事，西方传得特别神，说希帕索斯为了证明 $sqrt{2}$ 是无理数，被杀头了。
实际上那事儿没那么血腥，希帕索斯是自己把那个毛病证明写下来的，后来传出去才被灭口。他死的时候，只有两岁，也没留下啥遗言，全靠传说的渲染才显得那么惊心动魄。 实际上，数学这东西，大量时候不是哪位发明的，而是哪位最懂如何用。中国古人早就在用算式的语言里把勾股定理说透了，只是后生不敏，总认定这是西方发明的，结局把自己发明的东西给隔断了。到了欧洲，他们又把中国的那个“形”，硬生生地翻译成了“代数”，最终才在公元 16 世纪，被梅钦（John Machin）用级数方式算出了更精确的勾股数。
那时候的人发现，勾股数既能够整数算，也能够分数算，就连能够无限循环小数算。
要是非要分个高下，中国人在这个领域早就领先了。 说到具体的例子，大家肯定都听过勾股数表。
那是宋朝朱载堉发明的“钧天律”，但那是个天文学概念。数学上最经典的例子就是勾股三元组。
比如最常见的 $(3, 4, 5)$，这是勾股数。再比如 $(5, 12, 13)$，这是另一组。
还有 $(8, 15, 17)$，这组数字大家也见过。
要是我要往这个领域深挖，还能够说，勾股数的生成规则实际上挺复杂，涉及到模运算、同余定理这些数论知识。
比方说，要是 $m$ 和 $n$ 是互质的，且 $m$ 是偶数，那么 $(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)$ 就是一组勾股数。
这种规则不仅能用整数算，还能用分数算，还能用无理数算。 为啥偏偏是勾股定理？出于它忒好办了，也忒实用了。盖房子时，如何算梯子够不够长？航海时，如何算两点之间直线多远？就连算面积、算速度，都能用到它。它是连接几何、代数和数论的桥梁，是无数科学家、工程师用来解决难题的工具。它让人类学会了如何用最少的材料盖最坚固的房子，用最精准的计算走最稳的路。 最终再聊聊一下，为啥这个故事总被美化了。出于数学被赋予了忒多浪漫色彩。中国人称它为“勾股术”，是讲究“术”，就是方式，是套路，是拿来用的本事。而西方流行叫“定理”，是讲究“理”，是真理，是基础。
实际上本质上，它就是两个东西：一个是“形”，一个是“数”。中国古人画个图，就懂了；西方人写个式子，也就懂了。直到目前，当我们还在聊聊哪位先哪位后的时候，实际上已经没有啥意义了。关键的是，人类终于在这个古老的数学田野里，找对了路，并且这条路，已经被无数人走了千万年，走得那么深，走得那么远。 故此，当有人问起哪位发明的勾股定理时，最好的回答是：中国人为它留住了根，西方人给它长出了叶。根在中国，叶在欧洲，叶子是绿色的，根是泥土的，但这片叶子，是从泥土里长出来的。