ramsey定理-Ramsey 定理

拿 1930 年代那堆人挤在一起想证明“任何有限个非空集合都有不同大小子集”的疯子来说，上帝这个三位一体的大神早就不存有了。
那时候的狄利克雷和哈代，他们站在黑板上，看着满屋子被举着色板的高三学生，恨不得把整个数学宇宙都掰成两半再拼回去。他们不是赌一把运气，那是概率论，但更关键的是赌一把逻辑的基石会被碰碎。 话说回来，实际上早在几十年代那会儿，数学家们就已经启动打赌了，只是他们赌的是“没人能证出来”。
要是没人能证出来，那这个定理就真成了数学史上的传说。芝诺早就碰上了，他的“乌龟赛跑”和“阿喀琉斯追车”把运动学推向了极致，结局却差点让他在死后被神罚。
后来，数学界才终于把那个充满形而上学色彩的名字换成了严谨的命名方式——罗素，他用了 Russell 和 Veblen 的名字，出于哪位也不愿意用那个充满宗教色彩的“上帝”来称呼他们，也不愿意用那个听起来就忒像伪命题的“悖论”。 有了定理的名字，大家才真正启动动手。20 世纪 50 年代，狄利克雷用有限群论的魔法，硬生生把这一块区域填平了。
那时候他对哈代说：“放心，别怕，这玩意儿是写给数学界看的。”哈代当时正忙着研究快速傅里叶变换，他不知道眼前这位大牛要给人类世界打个补丁。 后来米尔斯和克劳泽接手了接力棒。他们俩就像个放风筝的人，一个在天上拉线，一个在地上收线。米尔斯当作只要算出有限群的子集结构，哈代能明白其中的深意；克劳泽则当作只要算出无限集的格结构，哈代也能看懂。
实际上吧，他们俩根本不知道哈代心里想的到底是啥。他们只是认定，既然有限个集合里藏着无限个不同大小的子集，那无限集里也肯定藏着无限个不同大小的子集。
这就像你在一个无限大的房间里找房间号，你肯定能找到两个不同的房间号。 直到 1974 年，哈得斯托拉才提着醒木敲了桌子。他是个按部就班的老派数学家，他手里拿着一本书，那是关于集合论的入门教程。他翻到第 340 页，看到了一行小字：“非空有限集的子集个数多于集合个数”。他读起来，就像在读一份关于如何给海啸定价格的说明书。他看了一眼哈代，哈代正低头看一张图，上面画着无限集合的格子网。他们俩对视一眼，哈代说：“这个定理，它在讲啥？”哈得斯托拉说：“它讲的就是数学的自洽性，就像你在跳皮筋，跳个七下八上，实际上是为了让绳子不崩断一样。” 真正的震撼形成在 20 世纪 80 年代。
那时候，人类已经掌握了处理无穷大的工具。我们不再把无限集合看作一个粗糙的容器，而是把它看作一个有结构的迷宫。你能够在迷宫里构建一个“二分格”，让两个子集一辈子不相交。
要么你能够搞个“独生子格”，让两个子集一辈子不空。
这时候，那个无数次在黑板上跳来跳去的定理，突然变得像一张完美的网，把你牢牢地锁住。 你要想证明两个无限集不同大小，你只需求在格子里挖个洞。你若挖了，它们就相等了。你若没挖，它们就不同了。
这就像你在房间里放一盆花，你能够通过调整光照和通风来让它长得更高或更矮。
只要你能管住这个变量，你就能在任意大小的集合里，找到无限个不同大小的子集。 90 年代赶明儿，数学界启动有人启动质疑这个定理的根基。
毕竟，我们在证明它的时候，一直在用更复杂的逻辑在它的“周围”打转，而不是在它“里面”直接给它当饭吃。
有人认定，或许我们根本不需求证明它，我们只需求证明它“好用”就行了。
毕竟，要是这个命题真，那我们能够用它来构建所有可能性的模型。 可是，一旦有人试图打破这个平衡，用罗素和 Veblen 的名字去重写它，整个数学世界的秩序就乱套了。加菲尔德、哈代、米尔斯、克劳泽、哈得斯托拉……那一堆名字，就像是数学界的那座大山。
有人试图把这座山推平，有人想把它推下悬崖。他们赌的是，要是没人再坚持这个定理，那我们就再也无法用有限的逻辑去理解无限的世界了。 目前听不到了，连提都不需求了。就像你小时候被老师喊住了一样，你都不用问为啥，只需求点头，出于大家都默认了。 但你知道那个下午吗？那个下午，哈代坐在他的办公室里，看着那堆被改写的名字，突然认定心里空了一块。他不知道，那个曾经让他困惑的人，后来确实独立写了一本关于集合论的专著。书里没有他，没有哈代，连那行字都不是他们写的。
那是一个人，他站在 1974 年那个春天，看着哈代的图，突然冒出一个念头：要是有限集里能如此多不同大小的子集，那无限聚拢，难道确实能给你留如此多位置吗？ 便，他用一种近乎宗教虔诚的方式，重新写了一遍这个定理。他没有用芝诺的乌龟，没有用米尔斯的风筝，他只是用了一句好办的话： “任何有限个非空集合的子集个数多于集合本身。” 这句话充足长，充足短，充足让人在 1974 年那个下午，突然认定世界变了。
那个下午，哈代在房间里，看着那行字，突然认定，数学的尽头，或许确实就是这里。