弦切角定理证明及例题-弦切角定理证明例

弦切角定理这东西，实际上挺直观的，就是画个图就能看懂。 起初你拿一把直尺，随意切一块圆，切出一条弦，然后从弦的端点出发往圆外画一条线。
哦，不对，要是切线呢？对，就是切线。画好后，角就画出来了。
这时候你会发现，甭管你如何转，只要那条切线和圆剩下的局部（剩下的弦）成一条直线，那个角的大小，一辈子等于它夹的那段弧长的一半。你能够随意绕圆走一圈，这个关系不变。 再比如正方形，边长一厘米，内角是九十度，四条边一样长。
要是我想在边上画个直角三角形，那斜边肯定是长度，底和高也得是整数。
要是我不强制底和高都是整数，那斜边长度可能会是根号二之类的。但这跟弦切角没关系。 画个大圆，半径十厘米。画一条切于点 A 的线，在切线上取点 B，让 AB 长度是四厘米。从 A 点连到圆上的另一点 C。
这时候三角形 ABC 就画出来了。角 A 的度数，等于角 A 夹的那段弧 AC 所对圆心角的一半。 具体如何算？先把角的一半算出来。角的一半是多少？是四五十除以十，等于四。
那整个角就是四乘二，等于八度。
如何搞的，仿佛跟这张白纸上的直径有啥关系？ 嗯，可能跟直径没关系。直径长度是一十厘米。
这个角是八度。 再举个例子，圆半径是二厘米。画切线于点 A，在切线上取点 B，让 AB 是四厘米。连接 A 到圆上另一点 C。
这时候三角形 ABC 画出来。角 A 的度数，等于角 A 夹的那段弧 AC 所对圆心角的一半。 具体如何算？先把角的一半算出来。角的一半是多少？是四五十除以二，等于两。
那整个角就是两乘二，等于四度。
如何搞的，仿佛跟这张白纸上的直径有啥关系？ 直径长度是四厘米。
这个角是四度。 再比如正方形，边长一厘米，内角是九十度，四条边一样长。
要是我想在边上画个直角三角形，那斜边肯定是长度，底和高也得是整数。
要是我不强制底和高都是整数，那斜边长度可能会是根号二之类的。但这跟弦切角没关系。 画个大圆，半径十厘米。画一条切于点 A 的线，在切线上取点 B，让 AB 长度是四厘米。从 A 点连到圆上的另一点 C。
这时候三角形 ABC 就画出来了。角 A 的度数，等于角 A 夹的那段弧 AC 所对圆心角的一半。 具体如何算？先把角的一半算出来。角的一半是多少？是四五十除以十，等于四。
那整个角就是四乘二，等于八度。
如何搞的，仿佛跟这张白纸上的直径有啥关系？ 嗯，可能跟直径没关系。直径长度是一十厘米。
这个角是八度。 再比如圆，半径为 5cm。画切线于点 A，在切线上取点 B，使 AB = 8cm。连接 A 到圆周上另一点 C。此时三角形 ABC 成立。角 A 的度数，等于角 A 所夹弧 AC 所对的圆心角的一半。 具体计算：先算角 A 的一半。角度是 80 除以 2，等于 40 度。
故此整个角 ABC 的度数是 40 2 = 80 度。 类似的例子忒多了，但核心逻辑就是这样：切线、弦、圆、角。
这四种元素组合在一起，总能推出那个角等于弧的一半。 再比如圆，半径为 3cm。画切线于点 A，在切线上取点 B，使 AB = 5cm。连接 A 到圆周上另一点 C。此时三角形 ABC 成立。角 A 的度数，等于角 A 所夹弧 AC 所对的圆心角的一半。 具体计算：先算角 A 的一半。角度是 150 除以 2，等于 75 度。
故此整个角 ABC 的度数是 75 2 = 150 度。 再比如圆，半径为 15cm。画切线于点 A，在切线上取点 B，使 AB = 12cm。连接 A 到圆周上另一点 C。此时三角形 ABC 成立。角 A 的度数，等于角 A 所夹弧 AC 所对的圆心角的一半。 具体计算：先算角 A 的一半。角度是 240 除以 2，等于 120 度。
故此整个角 ABC 的度数是 120 2 = 240 度。 再比如圆，半径为 4cm。画切线于点 A，在切线上取点 B，使 AB = 16cm。连接 A 到圆周上另一点 C。此时三角形 ABC 成立。角 A 的度数，等于角 A 所夹弧 AC 所对的圆心角的一半。 具体计算：先算角 A 的一半。角度是 90 除以 2，等于 45 度。
故此整个角 ABC 的度数是 45 2 = 90 度。 这些例子别看都是算角度，但弦切角定理确实没变。 最终总结一下，弦切角定理就是证明角等于弧的一半。 如何证明？用反证法。假设角不等于弧的一半，那它就不等于圆心角。
要是角不等于圆心角，那它就不是圆周角。
要是它不是圆周角，那它就不是弦切角。但这跟事实矛盾。
故此角务必等于弧的一半。 这就是弦切角定理的全体内容。 实际上这个定理在解题的时候特别好用。
比如目前有个圆，半径是 5cm。画切线于点 A，在切线上取点 B，使 AB = 8cm。连接 A 到圆周上另一点 C。此时三角形 ABC 成立。角 A 的度数，等于角 A 所夹弧 AC 所对的圆心角的一半。 具体计算：先算角 A 的一半。角度是 80 除以 2，等于 40 度。
故此整个角 ABC 的度数是 40 2 = 80 度。 这就够了。
不用写那些废话。