用不同的方法证明勾股定理-证明勾股定理多种方法

人类最古老的秘密：三种看三直角三角形 在这座无名小镇的角落里，总挂着一块庞大的砖墙，上面用褪色的红漆画着三个三角形。
有人说是古代工匠随手涂鸦，有人说是神庙主神的神谕，可甭管你如何看，只要你想仔细盯着那三条线看，总能看到一种让人头皮发麻的一致性。 说它是工匠涂鸦，是出于那线条粗糙，像是用粗麻绳织就的；说它是神庙神谕，是出于那角度一辈子完美，仿佛被某种看不见的力量锁死在了 90 度；说它是神谕，或许是出于它在无数个世纪里，默默提醒着后来人：甭管如何摆弄，斜边一辈子是最长的那条腿。 先说说那三个三角形，都是三直角三角形，勾股定理说的就是：直角边上两条短边的平方加起来，等于最长边（斜边）的平方。也就是 $a^2 + b^2 = c^2$。 方式一：皮克定理的荒诞与真相 这就得从一个叫皮克定理的噩梦启动讲。
这个定理听起来挺高大上，说的是在一个格点（网格点）里，多边形面积如何算。但要是你把数据填进去，会发现它自己就是个死循环。 取一个最好办的 3-4-5 三角形。在网格上画出来，你会发现三角形内部有 4 个格子。理论上面积是乘以 0.5 再乘上 4 等于 2。但要是你数格子，除了中间那个大格子，四周的格子加起来也只有 2。
这看起来不错，但要是你把坐标算得再准一点，你会发现网格点的数量会形成变化。 这就好比你在做乘法 $2 times 2 = 4$，然后你再除以 2 拿到 2。
要是你不用计算器，而是用手去数格子，你会发现这根本没法数清楚。皮克定理试图用一种几何方式解决面积难题，结局自己给自己开了个玩笑。它并没有真正解决难题，反而暴露了纯粹几何图形在离散数据面前的无力感。 故此，皮克定理不是证明勾股定理，而是证明白“数”和“形”有时候打架得特别了得。 方式二：婆罗摩笈多的小房间 接着看婆罗摩笈多（Brahmagupta），这位印度古代数学家，他有个著名的公式，专门用来求任意四边形面积。 我们能够把四边形拆成两个三角形，用公式算出来，再拼成那个直角梯形。 就拿那个经典的 3-4-5 三角形来做实验。直角边是 3 和 4，斜边是 5。我们在纸上画这个三角形，然后试着用婆罗摩笈多的公式去算面积。 公式大约是这样的：$sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$，其中 $s$ 是半周长。 先算一下半周长 $s$。$s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6$。 代入公式：$sqrt{(6-3)(6-4)(6-5)(6-3)} = sqrt{3 times 2 times 1 times 3} = sqrt{18} = 3sqrt{2}$。 算出面积是 $3sqrt{2}$。目前，做加法。直角三角形的面积是 $0.5 times 3 times 4 = 6$。 用婆罗摩笈多公式算出的两个三角形面积之和是 $2 times 3sqrt{2} approx 8.485$。 你看，$6$ 和 $8.485$ 差了不止一点点。
要是非要强行让它们相等，得如何做？得把那个斜边 $c$ 也换成 $c^2$。 要是公式里把 $c$ 换成 $c^2$，那么面积就变成了 $0.5 times (3 times (3+5) times (5+3)) / 2 = 0.5 times 3 times 8 times 8 / 2 = 48$。 这下好了，两个三角形的面积和是 $48$，直接乘以 2 就是 $96$。 而用婆罗摩笈多公式算出来的原始面积是 $3sqrt{2} approx 4.24$，在乘以 2 之后还是 $8.48$。 $48$ 和 $8.48$ 还是差一大截。
这说明婆罗摩笈多的方式，别看挺优雅，但依然无法直接推导出勾股定理。它更像是一个强大的工具箱，一个能算任何四边形面积的公式，但它本身是个“哑巴”，听不到勾股定理的呼唤。 方式三：毕达哥拉斯的墙壁与阴影 最终，我们看看毕达哥拉斯（Pythagoras）。他是个狂热的数学家，但他最得意的作品，就是那面把勾股定理变成法律的红砖墙。 那面墙分为三层。
第一层是质数的证明，第二层是平方数的构造，第三层才是勾股定理的真正诞生。 第一层挺好办，就是证明只有某些数字能被 2 整除，其他的都不能。
这在数学里是个大新闻，出于它用纯逻辑推导出了数的性质。 第二层是构造平方数。勾股定理说 $3^2 + 4^2 = 5^2$，这意味着 $9 + 16 = 25$。毕达哥拉斯要做的，是证明 25 除了能被 5 整除外，还能拆如何拆，除了 $1 times 25$ 和 $5 times 5$ 之外，如何拆都拆不开。 这就像是在测试一种化学分子式的稳定性。
要是你把 25 拆成别的因子，它就不存有了。
这种“不可分性”是平方数的身份证。 但真正的突破点在于那面墙的第三层。
这里有个巧妙的几何构造。 想象一个边长为 1 的小正方形，把它放在直角三角形的直角处。
然后往外面拼一个边长为 1 的正方形，再把剩下的小正方形拼上去（也就是把 3 和 4 拼成 5）。 在这个新拼成的图形里，你会看到一些阴影局部。
有时候阴影是白色的，有时候是黑色的。 毕达哥拉斯把这三类阴影分开了。他证明白，所有的黑色阴影，加起来正好等于一个 $25$ 的正方形。所有的白色阴影，加起来正好等于一个 $9$ 的正方形。所有的黑色加白色，加起来是 $34$。 但这还不够。他还要把这三块阴影切出来，拼在一起。 要是你把 $1 times 1$ 的正方形拿出来，把 $25$ 那块阴影拿出来，把 $25$ 另一块阴影拿出来，你拿到了一个大一点的图形。 要是你把 $3 times 3$ 的正方形拿出来，同样操作，你又拿到了一个图形。 再把 $4 times 4$ 的拿出来，再拼接。 神奇地形成了。所有的黑色局部、所有的白色局部，全体拼在一起，刚好填满了一个新的 $3 times 3$ 的大正方形。 什么的，这不对。$3 times 3$ 是 9，如何填满了？ 哦，不对，我看错了。应当是 $3 times 3$ 的正方形里，包含了所有的阴影。 让我们换个角度。
那个 $3 times 3$ 的阴影，实际上是由 $1 times 1$、$2 times 2$、$3 times 3$ 还有另一个 $2 times 2$ 组成的吗？不，那是另一种拼法。 标准的构造是：把三个小正方形拼成一个大正方形，边长是 $a+b$。 在这个大正方形里，有 $25$ 个单位正方形。 要是你拿走边长为 $c$ 的直角三角形，剩下的就是两个直角三角形。 什么的，这仿佛回到了皮克定理的怪圈。 让我们重新梳理毕达哥拉斯的墙壁逻辑。他并没有直接证明 $a^2 + b^2 = c^2$。他证明的是：$25$ 这种数具有特殊的分解性质。 但在他的墙壁被拆解后，那个核心的几何结构出现了。 想象你把 $25$ 分解成 $9$ 和 $16$。 $9$ 是 $3 times 3$。 $16$ 是 $4 times 4$。 $9 + 16 = 25$。 在墙壁的构造中，那个 $25$ 的正方形，实际上是由 $5 times 5$ 的格子组成的。 要是你看那面墙，你会发现，所有的黑色阴影加起来，确实等于一个 $5 times 5$ 的正方形。 所有的白色阴影加起来，确实等于一个 $3 times 3$ 的正方形。 黑色的 $16$ 加白色的 $25$，加起来正好是 $41$。 但这依然不是勾股定理。 啊，我明白了。毕达哥拉斯的伟大之处在于他引入了“数字的不可分性”。 当他说 $c^2$ 务必是一个彻底平方数时，他就锁死了它的形态。 要是 $c$ 不是整数，那么 $c^2$ 就不是整数。 要是 $c^2$ 不是整数，那么 $c^2 - b^2$ 就不是整数。 要是 $c^2 - b^2$ 不是整数，那么 $a^2$ 就不是整数。 要是 $a, b, c$ 都不是整数（假设原点是格点），那么勾股定理就不成立。 故此，勾股定理本质上是说：在整数范围内，要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那么 $c$ 务必是某个平方数。 这听起来像个结论，但毕达哥拉斯把它变成了一个公理。他告诉后人：这就是真理。 你不需求去算方程，你只需求信任这个规则。 一旦你接纳了“斜边务必是彻底平方数”这个规则，你就再也无法去挑战它。 你无法去证明 $3^2 + 4^2 = 5^2$。 出于你连 $5$ 这个数，在这个规则下都是合法的。 故此，勾股定理不是被证明出来的，是被规则“强制”出来的。 就像你每天步行，你不需求去算每一步的距离，你只需求信任“步行就是移动”。 一旦你接纳了步行的规则，你就不需求去证明“你走一段路，离原点就有距离”。 那面墙壁，就是那个终极规则。 它告诉我们：整数世界里，直角三角形的斜边，一辈子长于两条直角边。 它告诉我们：两条直角边的平方，一辈子加起来等于斜边的平方。 这就是勾股定理。 不需求证明。 只需求信任。