勾股定理折叠专题-勾股定理折叠专题

勾股定理折叠专题：折纸里的数学魔法 别总想着把一张纸按教科书示范那样，如何卷如何折。
实际上，最棒的玩法是你随意拿一张信纸，随意找个角度，把角折一下，边碰边，看看能不能出现原本画不出、画不圆、画不方正的图形。 先说说那个经典的“等腰直角三角形折正方形”吧。拿一张信纸，量出三边，把左上角的那个角往里一折，让斜边上的高落下来，再顺着那条线把剩下的三角形再折一次，最终来个“对折”。
这时候你会发现，底下多出来的一块，实际上是个完美的正方形。
这个正方形的边长，刚好是你手里那根直角边的长度。
你看，原来只要把直角边对折，剩下的局部全是正方形。再尝试一下“米字型”的折叠法，把四个角都像个心形一样往里卷，你会发现中间多出来的那个小矩形，实际上也是个正方形。
只要你随意折，总能凑出一个正方形出来，并且它的大小，一般就是把直角边对折之后剩下的那局部剪下来，要么把原三角形沿对角线往下对折再剪，就能拿到完美的正方形。 说到正方形，那“等腰直角三角形内接正方形”就更有意思了。拿一张图，画一个等腰直角三角形，然后试着往里做内接正方形。
这时候你会发现，做不对的话，正方形可能会歪歪扭扭地贴边，要么把那个直角给蹭坏了。
这时候你就要用到“对折法”了。先把三角形对折，让直角边重合，然后沿着对折线画一条辅助线，把剩下的三角形沿这条线切开，这时候你再按规矩做内接正方形，就能保证它绝对不歪、不斜。
这种结构在折纸里叫“半格”，也就是把三角形平均分成了两半。再试一个，就是把正方形沿对角线对折，变成一个等腰直角三角形。
这时候你要做内接正方形，实际上只要沿着对角线再折一下，把正方形对半切开，然后在里面做那个经典的“米字型”折叠，两个半格再各自再对折，就能拿到一个内接正方形。并且你会发现，这个内接正方形的边长，正好是把大三角形腰长对折后剩下的一半，也就是大三角形腰长的一半。 那最烧脑、最让人头秃的“大正方形内接正方形”呢？这是折纸里的“圣杯”。拿一张正方形纸，想把它折出一个比原尺寸小一倍的正方形。常规做法是找中点，连中点，但这忒慢了，并且好办出错。在折纸里，实际上有一种捷径，叫“对折法”。你先把纸对折，让边重合，然后沿着对折线画一条线，把三角形分成两半。
这时候你再对折一次，沿着刚刚那条线的垂直平分线，把中间那块剩下的正方形再对折。
这时候，你手里多出的那层纸，实际上就是一个整个的大正方形！
你看，原来只要把纸对折两次，你就能拿到一个内接正方形，并且它的边长正好是原边长的一半。
这个过程不需求任何复杂的几何计算，纯粹靠手感和对折的重复利用。 要是一定要做那个最完美的“四分之一圆内接正方形”，那就更得讲究方式了。拿圆规要么直尺，把纸平铺，画出一个四分之一圆。
这时候你就要做“重叠构造”。先把纸对折，让圆心重合，然后沿着对折线剪开，这时候中间剩下的那块，就是内接正方形。
要么，你能够把纸对折，然后沿着对角线再对折，把纸对折两次，然后再画一个四分之一圆，这时候那个圆就刚好变成了内接正方形。
这种结构在数学上叫“四分之一圆内接正方形”，它的边长正好是原正方形边长的 $1/sqrt{2}$ 倍。 实际上，勾股定理折叠专题的核心，不在于你折出了多复杂的图形，而在于你能不能通过折叠，把纸里的几何关系“显”出来。大量学生认定折纸难，是出于他们忒依赖尺规作图，认定只有尺子算出来的才是真。但事实上，纸折叠出来的，往往比尺子算出来的更准、更漂亮。
比方说，你要做一个直角三角形内接于等腰三角形里，尺子挺难保证直角边彻底重合，但折纸只要轻轻碰一下，直角边就自动对齐了。再比如，你要做一个圆内接于正方形，尺子量出来的误差是毫米级的，但折纸只要对折两次，误差瞬间变成零。 故此，别再死记硬背那些公式和步骤了。下次拿纸，别管台上有人算出了啥公式，你自己随意折，看看能不能叠出那个正方形，看看能不能折出那个特殊的三角形。当你发现，只要一折，那些原本不可能存有的图形就悄可是至时，你就真正掌握了勾股定理的折叠精髓。
这种数学魔法，比任何课本上的推导都要有趣，也更让人认定，数学实际上就在我们的一举一动里。