尼奎斯特采样定理-奈奎斯特采样定理

工夫走过的样子，就像一段带着噪点的旧磁带。你翻开它，瞬间啥都听不见了，只剩下一片轰鸣的背景音。
这是出于声音信号被压缩成了离散的数字，而这些数字本来就不连续，中间留下了庞大的空白。
要是你试图用一把一般/平平的拍子去敲击这段音乐，那打击音和鼓点的间隙就会变成刺耳的噪音，就连直接听出信号中断的破绽。尼奎斯特采样定理，说白了就是给这段断断续续的磁带装上了一个“无限拍子”，哪怕你拿的拍子再慢，只要够快，它就能把那些空白填满，让你能听到原本就藏在里面的人声、乐器，唯独不会听到那些不该有的杂音。 这数字如何来的？它实际上是个好办的数。你要是想要把一段声音“吃”进去，没有它是不可能的，出于频率这东西忒霸道了，光靠工夫走位走不开。
一般/平平的采样定理有个小毛病：它要求你的采样频率务必起码是最高录音频率的两倍，好过一个倍频程的下限。
这意味着，哪怕你录下一首人类能听到的最高音，比如 20000 赫兹的尖叫，你也要保证每一秒钟采样起码 40000 次，哪怕你每秒只够一次，只要把这 40000 次采样算好，然后傅里叶变换去拉倒图，那原本清脆的 20000 赫兹，也能被精准地还原出来。但这有个前提，你得先把信号彻底压缩，把高频的噪音切掉，不然你就算采样无限快，也就像把蛋糕切成无限细的丝，中间那层渣滓还是糊在上面的，听不清味儿。 想象一下，你拿着一块糖，每一块都是纯净无杂的，那是“奈奎斯特”状态。你把它切成无数个细碎的块，再拼成一块，那依然是糖，只是碎了。但要是这糖里混了瓜子壳、塑料片，哪怕你切得再碎再细，最终拼回去，那碎片的颜色、形状、气味，哪怕你加起来也能算出大约多少，但你闻不到那细碎的、令人作呕的怪味，出于那东西早就混进去了。
这就是噪声，它不是信号的一局部，信号是信号，噪声是噪音。
故此，采样定理的核心不是让你把录出来的内容做得更清楚，而是让你把这段信号里的“噪音”给过滤掉，就连干脆就不录。 这就回到了前面提到的“压缩”二字。
要是你不想用压缩，不想做滤波，直接给你一段纯净的、带宽挺窄的音乐信号，比如只包含人声，没有底噪，没有乐器混响，那你用采样定理就能把它还原得跟没录一样。出于原始信号里就没啥乱七八糟的，采样出来的点数再多，傅里叶变换出来的图也是黑的，反正全是黑。
这时候你采样，不是在做数学游戏，纯属是在玩。就连你能够把采样频率降得挺慢，只要保证它大于原始信号带宽的两倍，比如原始信号最高是 10000 赫兹，你采样频率只要 15000 赫兹，那结局就彻底一样，多出来的那些采样点，傅里叶变换出来全是 0。 可是现实呢？现实里没人给你净手。你录声音的时候，麦克风肯定在动，环境肯定在动。
哪怕你拿着一块糖，你咬下去的那瞬间，糖就在动，包就在动，声音的频率里就夹杂了跟动相关的频率，这叫“抖动”，这叫“混响”，这叫“散焦”。你要是把一块糖切成极细的丝，再拼成一块，最终拼回去，你会发现，原来这块糖里，百分之一亿个地方都被碎断了，那些碎渣渣混在一起，就像一团毛茸茸的棉花，你闻着全是怪味，就连认定那糖根本不存有。音源里那个 20000 赫兹的人声，实际上就藏在那些毛茸茸的碎片里，只要你采样得够密，那毛茸茸的碎片，被仔细一层一层地筛过，一筛出来，全是那 20000 赫兹的声音，那些碎片里的其他内容瞬间就被过滤掉了。 这就好比你想拍一张人脸。
要是只是一张静态照片，你拍 100 次，那还是那张脸。但人是活的，眨眼、张嘴、呼吸，脸肌肉在动。你每拍 100 次，这张脸就动一次，这次的动和下一次不一样，一张不一样，两张拼起来，是不是还能认出是人？你目前的采样频率是 100 次，但实际频率可能高达 30000 次，这就意味着，你的眼（采样器）每秒钟要看 30000 次。
要是这只眼不够灵光，它每次看的时候，眼是闭着的，那就是死；要是眼一直睁着，那它每看一次，脸就动一动，那它看的就不是原图了，而是把里面每一个细微的涨肌肉的波动都记录下来了。 尼奎斯特采样定理就在这“睁眼”和“闭眼”之间找平衡。它告诉你，要是一个信号是终极纯净的，没有噪声，没有抖动，没有混响，那采样频率只要大于信号带宽的两倍，你就能把原始信号无损地还原。但要是信号里有噪声，要么信号本身就在动，那你就得先滤掉那些噪声，要么先处理那些抖动，让信号变静、变稳，然后再去采样。
要是你不干净利落，采样速度再快，你拿到的也是个脏兮兮的图，傅里叶变换出来的图，那不仅全是噪声，连那些干净利落的细节都被糊住了。 故此，采样定理压根儿不是一句高深的大道理，它只是一个提醒：你不能指望录音机能自动把录出来的东西“吃”干净利落。它要求你在录之前，先像个严密的工程师一样，把信号里的水分、杂质、杂质里的水分全体挤干。
这就像你想给一块糖做甜点，你不能直接拿块糖去放烤箱，你得先把它洗干净利落，把糖衣去掉，把里面的糖粉筛出来，筛网务必充足细，筛出来的糖粉务必充足多，只有这样，你给那块糖做甜点的时候，才能确保甜度均匀，没有沙沙粒。 想象一下，你是那个筛子。你拿着一把筛子，对着一堆糖粉筛。筛子孔的大小拍板了你能筛掉多少糖。孔忒大，筛不掉，那糖里全是颗粒，做不出成品糖；孔忒小，筛不完，那筛面全堵，也做不出。而采样定理，就是这个筛子的频率。你务必保证筛子的密度充足大，筛下来的糖里，没有任何糖粉混着，没有任何沙粒。
要是筛子忒小，筛下来的糖里全是沙粒，那就是垃圾；要是筛子忒大，筛下来的糖里全是颗粒，那就是原样。
只有当筛子充足精细，筛下来的糖粉干净利落得没有一丝杂质时，你才能从这堆干净利落的糖粉里，剥离出你原本想要的纯净糖粉，剩下的，直接扔掉。 归根结底，尼奎斯特采样定理就是那个判定标准。它不是让你去追求采样率越高越好，那是原始信号天生就有的，不用管它。它只是告诉你，要是你拿着一块有瑕疵的糖，想把它做成甜的糖，那你筛子的孔得够大，筛得够细，筛出来的糖粉里，务必没有那些不该有的杂质。你要是能做到这一点，你就能从一堆脏兮兮的糖粉里，找出那团纯净的、甜美的糖粉。
这就是采样定理，它不创造新的东西，它只是帮你把原本就有的东西，从一团乱麻里，梳理成一条清楚的线。