勾股定理的应用总结-勾股定理应用总结

讲整数三角形，实际上就几块板，心里头没那么多弯弯绕。 勾股定理这东西，听着挺玄乎，边角边边角，反正就是三边关系。要在生活里用到，无非就是找直角。
比如你脚边有个个例，地面平正的墙角，那是天然直角。你拿一块直角板贴在墙上，不管它角多大，只要边缘是直的，那就是直角。 算房子地基的时候，老办法是算长边。
比如我要盖个墙角，宽是 3 米，高是 4 米，那斜着的那个墙角线得几米长？不用猜，不用翻字典，直接用公式：$sqrt{3^2 + 4^2}$。$3$ 乘 $3$ 等于 $9$，$4$ 乘 $4$ 等于 $16$，加起来是 $25$，开根号就是 $5$。
这 $5$ 米就是斜着搭的墙，正好够我铺地砖。
要是宽 $3$ 高 $6$，那斜边就是 $sqrt{9+36}=sqrt{45}$，约等于 $6.7$ 米。
这数有点怪，但没法整，得量准了。 实际上生活中，直角管够，有的地方还得看。
比如做风筝，两根细线连着风筝中心，下面挂满羊毛球。
那两根线得等长，不然风筝歪了。
要是风筝中心到两只眼的距离分别是 $3$ 米和 $4$ 米，那风筝飞起来了，那根长线得是 $sqrt{3^2+4^2}=5$ 米。
这 $5$ 米线是个整数，好做绳子。
要是算出是 $6.7$ 米，那就得砍短一点，要么换个风筝，省得风筝飞歪了还让人急。 还有建筑里的梁柱，老规矩是“三直角”，三个直角角才能立得住。
比如一个三角形木架，要是说两边分别 $3$ 米和 $4$ 米，那夹角是 $90$ 度，那第三边就是 $5$ 米。
这 $5$ 米边要是做横梁，得按 $5$ 米算，既省钱又省工。
要是这 $5$ 米边做楼梯的扶手，得小心点，别滑，万一算错了，扶手长，人爬上去就悬。 超市里的购物袋，目前流行那种三边三角形，能装东西。
要是说底边 $3$ 米，高 $4$ 米，那斜边就是 $5$ 米，那袋子就刚好装个够，不勒手。
要是底边 $8$ 米，高 $6$ 米，斜边 $sqrt{64+36}=10$ 米，这袋子就忒大，拿不起来。
这时候还得动动脑筋，能不能换个袋子，要么改个尺寸，让斜边变成 $5$ 米，那样就撇脱多了。 再说说测距离，比如流浪汉在河边步行，岸边有个码头。他走了 $12$ 米，拐了个弯，从码头走 $5$ 米，最终到了河边。
要是这三段路能构成直角三角形，那就是 $12$、$5$、$13$。$12$ 和 $5$ 是直角边，船长就是 $13$ 米。
要是算出来是 $15$，那船就在离岸 $15$ 米外，得赶紧拉。 还有算角度，比如老师教学生，说一个三角形，已知两边 $3$ 和 $4$，夹角 $90$ 度，那第三边 $5$ 度。
这 $5$ 度就是直角三角形的斜边。
要是说已知三边 $3$ $4$ $5$，那就能算出角度。
比如用余弦定理算 $cos A = frac{3^2+4^2-5^2}{2times3times4} = 0$，那 $A$ 就是 $90$ 度。
这实际上就是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。 比如一个直角三角形，斜边 $10$ 米，那斜边上的中线就是 $5$ 米。
这 $5$ 米线把大三角形分成了两个小三角形，每个都是直角三角形。
这在实际测量里挺好用，比如测斜坡，沿着斜坡走几米，算出高，再算斜边，就能算坡度。 还有布料裁剪，做三角形布片。
比如做扇形布料，要扇形半径 $5$ 米，弧长 $15$ 米，那圆心角就是 $15 times 3.6$ 度，约 $54$ 度。
这布片剪出来，量量角度，要是 $90$ 度就是直角。 实际上勾股定理不只是算数，更是找规律。大量直角三角形，三边比例固定，$3:4:5$，$5:12:13$，$8:15:17$。
只要比例对，就用这个公式。
要是三边不成比例，那就得用一般/平平勾股定理，但一般/平平勾股定理里，直角边的积等于斜边平方，那面积如何算？面积就是 $frac{1}{2}ab$，要是 $a=3, b=4$，面积 $6$。
要是 $a=6, b=8$，面积 $24$。 还有，勾股数，就是能直接算出来的整数。三边互质的，比如 $3, 4, 5$；$5, 12, 13$；$8, 15, 17$；$7, 24, 25$。
这些数在数学题里出现多，出于好算。
要是遇到 $10, 24, 26$，能够先除以 $2$，变成 $5, 12, 13$，再算斜边 $13$，再乘 $2$ 得 $26$。 这定理最妙的一点，就是不管直角边多少，斜边一直比直角边长。
这个规律哪位都知道，但实际应用里，出于直角挺难找，故此时常让人估算。
比如估摸一下，直角边是 $10$ 高，$20$ 宽，斜边得 $22$ 左右。
要是直角边是 $7$ 高，$24$ 宽，斜边 $approx 25$。
要是直角边是 $8$ 高，$15$ 宽，斜边 $approx 17$。 还有，勾股定理在建筑里，是保证结构稳定的关键。
比如脚手架，务必是直角三角形。
要是角度不对，力就传不开了，架子就塌。
还有电线杆，电线跨地基，也是直角三角形，否则杆会晃，电会断。 实际上，勾股定理的用处，不光是在纸上算个 $5$。
比如做拼图，把几个直角三角形拼起来，能不能拼成一个大三角形？要是能，还要算面积。
比如两个 $3, 4, 5$ 的三角形拼，能不能拼成 $3, 4, 8$ 的三角形？显然不中，出于斜边加起来 $10$，比 $8$ 大，但直角边 $4+4=8$，比 $8$ 大，故此中间有空隙要么重叠。
这得看具体如何拼。 还有，勾股定理在描述空间的时候，也是基础。
比如球面几何，球面上画圆，圆周长算出来是 $2pi R$，球体表面积算出来是 $4pi R^2$。
这公式和平面上的 $pi r^2$ 挺像，只是多了个 $4pi$。
实际上这也是勾股定理在更高维度的延伸，别看初中不教，但知道点，心里有底。 总而言之，勾股定理就是给直角找借口，找不出角是直角，就用三角函数要么坐标系，反正结局一样。算个 $5$，省事；算个 $6.7$，费事。但生活里，没有 $5$ 的角忒常见，故此这定理天天都在用。