利用动量矩定理推导叶片泵基本方程-利用动量矩定理推导叶片泵方程

泵这一玩意儿，说白了就是把水从低处往高处拽，还得还得把水里的动能喂进去，让它们转起来嗡嗡响。
要是只用能量守恒去算这玩意儿，那名字得叫“流体泵”，得叫流体动力学，得去隔壁“阀门”和“齿轮泵”那帮家伙家敲门，还得跟你说你那是超纲知识。但咱们今天要聊的这台泵，名字是“泵”，就是靠一个公式叫出来的，叫“叶片泵根本方程”，那个公式名叫欧拉方程。别管啥“起初”、“其次”这种文绉绉的辞令，咱们直接钻进脑子，看看水到底如何被推着走的。 想象一下，你手里拿着一把大勺子，在深水池底猛搅，水流顺着勺子边缘往上冲。
这时候水流是沿着叶片切线方向跑的，方向不对，水流就直；方向对了，水就被带得飞快。对于这台泵来说，叶片就像那把勺子，水流就是被勺子推过的液体。根据牛顿第二定律，水受到一个力，这个力的大小等于质量乘加速度。加速度呢？就是单位工夫内速度变化的量。
要是一个物体速度从零变成 $v_1$，那是加速；要是从一个 $v_1$ 加速到 $v_2$，那就是加速了。但这里有个细节，水流在叶片里转了，它既是被推又自己转了，这就有点乱套了。要把这个乱套给理顺，就得用动量矩定理。动量矩定理说的就是力矩等于角动量的变化率。角动量这东西挺有意思，它等于质量乘以半径再乘以线速度。对于旋转的流体，角动量就是 $rho cdot r cdot v$，其中 $r$ 是水流到中心轴的距离，$v$ 是水流切向的速度。 好，看水在泵里到底经历了啥。水流从泵的叶轮中心进入，这里半径挺小，速度简直为零。
然后水流跟着叶片跑，半径变大，速度也瞬间涨起来。到了泵壳的出口，半径又变大了，但这时候水流还往外喷，速度更大。整个过程里，水流实际上是在绕着轴心旋转。
这时候要是用能量守恒来算，能量会增添，出于水被加速了。但能量守恒有个坑，就是摩擦力。水流在叶片里转，跟叶片摩擦生热，这热量把机械能转了，变成了内能，也就是水变烫了。能量守恒只能算出来：输入的机械能减去摩擦损失，等于输出的动能加上压头损失。但这算出来的是“实际压头”，不是理想压头。理想压头是理论上的最大压头。 为了算出理想压头，咱们得把“摩擦”这一关给画个括号，假设忽略所有摩擦损失。
这时候，水流在叶片上转的时候，受力方向一直跟叶片切线方向一致。
这时候能够用动量矩定理直接套公式。公式的左边是力矩，右边是角动量的增量。角动量的增量 $Delta h$，指的是水流最终丧失的角动量除以密度（这里单位换算要整明白，角动量密度量纲是 $N cdot m/kg$，除以密度后变成 $m^2/s^2$，也就是能量量纲，完美）。公式长得像这样：理想单位流量扬程 $H_0 = r_1 cdot v_{u1} - r_2 cdot v_{u2}$。
这里的 $r$ 是叶片半径，$v_u$ 是绝对速度的切向分量。
这就把难题简化到了极致：我们只需求算出口处的 $r_2$ 和 $v_{u2}$，还有入口处的 $r_1$ 和 $v_{u1}$，这就够了。 咱们来套些数据，看看这个公式到底在说啥。假设泵出口半径是 $r_2$ 米，流速是 3 米/秒，那出口角动量就是 $3 times 3 = 9$。再假设入口半径是 0.1 米，流速是 0.5 米/秒，那入口角动量是 $0.1 times 0.5 = 0.05$。
要是按理想泵算，扬程就是 $9 - 0.05 = 8.95$ 米。
这个数字看起来挺具体，但咱们得知道这 8.95 米对应的是啥。它是水在理想情况下，从入口被刀口“拍”上去，到了出口又“落”下来的高度差。目前把这个理想扬程代入实际扬程的公式：$H_{act} = H_0 - Delta h$。有了理想扬程，下一步就得算损失。损失主要来自哪儿？主要有两样。一是流动时的摩擦，水流流经窄巴的叶片间隙时，层流形成摩擦，把动能慢慢磨没了，这叫水力摩擦损失。二是涡流损失，这是最冤大头。水流进入泵的时候，出于半径小，流速相对大，但旋流强度大，一边旋转一边被甩出去，形成一个混乱的漩涡，这叫“二次流”。在出口处，水流要甩到压力腔里面，这局部混乱的能量就耗散了，形成死涡。涡流损失的大小，跟进出口的流量、直径、叶轮宽度都相关系，具体如何算，得看教科书，咱们暂且记作一个未知的损失系数。 最终算出实际扬程，就是这个理想扬程减去摩擦损失和涡流损失后的结局。你会发现，这个 $H_{act}$ 一辈子小于理论上的 $H_0$。
这就是为啥任何机械都不能 100% 转，为啥实际扬程一辈子达不到理论极限。咱们把 $H_0$ 的定义补充整个，就是 $v_1^2/2g - v_2^2/2g$，这是水流动能的增量除以重力加速度。
同理，实际扬程 $H_{act}$ 也是实际动能增量除以重力加速度。把这两个合在一起，再加上损失项，就拿到了欧拉方程的实际形式。
这就是叶片泵的根本方程。它告诉我们，泵能抬多出水，不光取决于你给了水多大的力，还取决于水流如何转、如何被消耗。 再回过头看那个数据。假设入口直径是 0.5 米，出口直径是 1.0 米，固定排量。量化一下，入口角动量是 $0.25 times 1.0 = 0.25$。出口角动量是 $0.5 times 1.0 = 0.5$。理想扬程就是 $0.5 - 0.25 = 0.25$。
要是实际工况下，出于有摩擦和涡流，损失掉了一半，那实际扬程就只有 0.125 米。
这就说明白，同样的泵，在同样的工况下，理论设计值是如何样的，实际运行值是如何样的。实际值一直理论值的打折版。
这个打折版就是工程上的残酷现实。 另外，还得提一下流量 $Q$。流量是体积流量，单位是立方米每秒。流量跟转速、叶片数、叶片直径都相关联。转速越快，水流被甩得越快，压头越大。叶片数越多，水流在叶片上转的次数越多，每次转带来的能量积累就越多。
故此，旋转部件越多，泵的本事越强。而流量，则是单位工夫内流过的水体积，跟轴的转速成正比。 总而言之，叶片泵的根本方程就是一条挺硬的真理：实际扬程一辈子小于理论扬程，差额就是为了克服摩擦和涡流。
这个方程好办，背后踩着牛顿力学和流体力学的所有头绪。
你看，水往高处流，这玩意儿就是靠动量矩定理把这个“往高处”给硬生生抠出来的。