八年级勾股定理十道典型题-八年级勾股十道典型

学校附近的广场总共有三百平方米，那是个啥情况？大量人算着说“就是公园那么大”。
实际上要是把三个小正方形拼在一起，面积就不是几百了，得先看清哪块是哪块。 比如有个题目说，两个直角三角形靠边放，中间空了块地，求空地面积。别的同学立马画个图，算出大正方形两边之和，最终得出五分之一之类的，结局全对。但有个同学盯着图里那个小正方形，突然说“这块地面积是四分之一”。
为啥？出于他把两个三角形当成一个整体，认定拼起来像个大正方形，但忘了那两个三角形本身是把大正方形“切”下来的。 再比如，老张家要建个凉亭，已知两棵树高度不同，树根到树顶的垂直距离加起来是一百，水平距离是六。老张心里直打鼓，心想这凉亭建在哪块地能最省材料。他先随口算了一句“这凉亭占地面积大约是一百多吧”，结局刚出门就悔得慌了。
为啥？出于他没把凉亭当成一个直角三角形去算，彻底忽略了题目里那个隐藏的直角关系。
要是他是确实学过勾股定理，该说是“凉亭占地面积是根号多少”，而不是“一百多”这种不清楚的估摸。 还有那个经典题目，两个三角形底边重合，高不一样，中间那个小三角形如何算面积？这时候，有人会说“这是个直角三角形，面积是五分之一”。
这听起来挺顺，但仔细一算，小三角形的直角边分别是五分之三和五分之四，算出来面积是八分之四，跟他说的大头对小头彻底对不上。
这种时候，你得像老张家凉亭一样，先搞清楚哪边是直角边，哪边是斜边，别一上来就急着下结论。 想象一下，你手里拿着两块拼图，一块是直角三角形，一块是正方形，想把它们拼成一个更大的图形。
这时候有人可能会想，“大正方形面积肯定是两个三角形面积之和”，这种直觉没错。但有人又认定“不对，是两个三角形拼成了大正方形，减去富余的局部”，结局算出来面积差了十几。
这种思维习惯就像老张家建凉亭一样，要么把局部当整体算，要么把整体拆成零碎块加，根本分不清哪块地是真正归于自己的。 再说说实际应用，比如那种“求正方形边长”的题，一般给的是勾股数。
比如给 16 和 15，直接勾股定理算出来是 17。但要是是给 17 和 24，大量人第一反应就是 25，出于认定 17 和 24 像勾股数。
这就好比老张在菜市场买菜，看到标价 16 的茄子，认定价格好，就随意买了个 15 的黄瓜，结局菜篮子空了。
这时候你得盯着题里的数字，别被价格影响，得先确认哪个是直角边，哪个是斜边。 还有那个“求两个三角形面积和”的题目，有些同学会犯低级毛病，直接把两个三角形面积相加，却忘了它们重叠的局部要么拼接后的形状变了。
比如两个三角形底边不同，高不同，拼起来后高度变了，面积如何算也不能直接好办相加。你得先搞清楚它们拼成了啥新的图形，是直角三角形，还是梯形，还是别的啥。 比如有个题目说，两个直角三角形摆在一起，斜边长是 17，短直角边是 8。
这时候有人会说“面积是 121 减去重叠局部，重叠局部是个小正方形，边长 3，面积 9，故此总面积是 112"。
这逻辑是通顺的。但要是有人直接说“面积是 64 加 25 等于 89"，那他就彻底没看出那两个三角形实际上是拼成了一个新的直角三角形，把小正方形当作了独立的一块地，结局算出来彻底乱了。 还有一种情况，题目给的是两个三角形的高和底，让你求面积。
这时候有人会说“面积是 24 加 36 等于 60"。
这看似好办，但万一这两个三角形不是直角三角形，要么它们的高不是垂直于底的，那直接相加就是错的。你得先确认这两个高是不是都垂直于各自的底，要么它们能不能拼成一个整体的高。 比如老张家要盖个棚子，已知两个三角形的高分别是 5 和 6，底边分别是 10 和 12。他心想“这棚子占地是 50 加 60 等于 110"，结局一算发现这两个高对应的三角形不是直角三角形，要么底边不在同一条直线上，最终面积算错了。
这时候你得像老张盖棚子一样，先别急着下结论，得仔细看图，确认哪个高是垂线，哪个底是直线，别被数字骗了。 还有那个“求正方形面积”的题，有时候会给的是两个直角边，让你求正方形面积。
这时候有人会说“面积是 3 乘 4 等于 12"。
这没错，出于正方形边长就是 3，面积自然就是 12。但要是是给的是勾股数 8 和 15，直接说“面积是 225"，那得先确认 8 和 15 是不是直角边。
要是是直角边，那面积确实是 64 加 225 等于 289。
要是说成 225，那你就是直接把斜边当成边长了，这就跟老张买茄子一样，买错了规格。 再比如，题目给了两个三角形，让你求它们的面积和，但没说它们是否共用一个顶点。
这时候有人会说“面积是 24 加 36 等于 60"。
这显然不对，出于它们可能分散在挺远的地方，根本拼不起来。你得先看图，确认它们是不是靠在一起，能不能拼成一个新图形。 比如老张家有两个三角形，一个在围墙外，一个在围墙内，但他不知道它们能不能拼成一个整体。他心想“这两个三角形加起来面积就是 60"，结局一算发现围墙挡住了，它们拼不在一起，最终面积算错了。
这时候你得像老张一样，先别急着判断，得仔细看图，看看它们能不能拼，要么能不能分割。 还有一种情况，题目给了一个直角三角形，让你求某个边的长度。
这时候有人会说“这个边长是 13"。
这没难题，出于 5 和 12 的直角边，斜边就是 13。但要是有人说“这个边长是 14"，那他就直接假设了另一个边是 8，结局算错了。
这时候你得盯着题里的数字，别随意猜，得先确认哪个是直角边，哪个是斜边。 比如老张家有两个三角形，一个底是 8，高是 6；另一个底是 6，高是 8。他心想“面积是 24 加 48 等于 72"。
这没错，出于两个三角形面积确实分别是 24 和 48，加起来是 72。但要是题目问的是“这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形。 比如老张家有两个三角形，一个底是 10，高是 5；另一个底是 6，高是 8。他心想“面积是 50 加 48 等于 98"。
这也没错，出于计算没难题。但要是题目问的是“这两个三角形拼成的矩形面积”，那他就得看看能不能拼成长方形，能不能拼成正方形，要么拼成啥别的形状，不能直接相加。 还有那个“求两个三角形面积和”的题，有时候会给你两个三角形的高，让你求面积和。
这时候有人会说“面积是 24 加 36 等于 60"。
这没错，出于面积公式确实是底乘高除以二。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 比如老张家有两个三角形，一个底是 10，高是 5；另一个底是 6，高是 8。他心想“面积是 24 加 48 等于 72"。
这没错，出于计算没难题。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 最终再说说，题目给两个直角三角形，让你求它们斜边的长度。
这时候有人会说“斜边是 15"。
这也没错，出于 8 和 15 的直角边，斜边就是 15。但要是有人说“斜边是 16"，那他就直接假设了另一个边是 9，结局算错了。
这时候你得盯着题里的数字，别随意猜，得先确认哪个是直角边，哪个是斜边。 比如老张家有两个三角形，一个底是 8，高是 15；另一个底是 15，高是 8。他心想“斜边是 17"。
这没错，出于 8 和 15 的直角边，斜边就是 17。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 还有那个“求正方形面积”的题，有时候会给的是两个直角边，让你求正方形面积。
这时候有人会说“面积是 3 乘 4 等于 12"。
这没错，出于正方形边长就是 3，面积自然就是 12。但要是是给的是勾股数 8 和 15，直接说“面积是 225"，那得先确认 8 和 15 是不是直角边。
要是是直角边，那面积确实是 64 加 225 等于 289。
要是说成 225，那你就是直接把斜边当成边长了，这就跟老张买茄子一样，买错了规格。 比如老张家有两个三角形，一个底是 8，高是 15；另一个底是 15，高是 8。他心想“斜边是 17"。
这没错，出于 8 和 15 的直角边，斜边就是 17。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 最终再说说，题目给两个三角形，让你求它们的面积和，但没说它们是否共用一个顶点。
这时候有人会说“面积是 24 加 36 等于 60"。
这显然不对，出于它们可能分散在挺远的地方，根本拼不起来。你得先看图，确认它们是不是靠在一起，能不能拼成一个整体。 比如老张家有两个三角形，一个在围墙外，一个在围墙内，但他不知道它们能不能拼成一个整体。他心想“这两个三角形加起来面积就是 60"，结局一算发现围墙挡住了，它们拼不在一起，最终面积算错了。
这时候你得像老张一样，先别急着判断，得仔细看图，看看它们能不能拼，要么能不能分割。 还有一种情况，题目给了一个直角三角形，让你求某个边的长度。
这时候有人会说“这个边长是 13"。
这没难题，出于 5 和 12 的直角边，斜边就是 13。但要是有人说“这个边长是 14"，那他就直接假设了另一个边是 8，结局算错了。
这时候你得盯着题里的数字，别随意猜，得先确认哪个是直角边，哪个是斜边。 比如老张家有两个三角形，一个底是 8，高是 6；另一个底是 6，高是 8。他心想“面积是 24 加 48 等于 72"。
这没错，出于两个三角形面积确实分别是 24 和 48，加起来是 72。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 还有那个“求两个三角形面积和”的题，有时候会给你两个三角形的高，让你求面积和。
这时候有人会说“面积是 24 加 36 等于 60"。
这没错，出于面积公式确实是底乘高除以二。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。 比如老张家有两个三角形，一个底是 10，高是 5；另一个底是 6，高是 8。他心想“面积是 50 加 48 等于 98"。
这也没错，出于计算没难题。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的矩形面积”，那他就得看看能不能拼成长方形，能不能拼成正方形，要么拼成啥别的形状，不能直接相加。 最终再说说，题目给两个直角三角形，让你求它们斜边的长度。
这时候有人会说“斜边是 15"。
这也没错，出于 8 和 15 的直角边，斜边就是 15。但要是有人说“斜边是 16"，那他就直接假设了另一个边是 9，结局算错了。
这时候你得盯着题里的数字，别随意猜，得先确认哪个是直角边，哪个是斜边。 比如老张家有两个三角形，一个底是 8，高是 15；另一个底是 15，高是 8。他心想“斜边是 17"。
这没错，出于 8 和 15 的直角边，斜边就是 17。但要是题目问的是“求这两个三角形拼成的新图形面积”，那他就得看能不能拼，能不能变成直角三角形，要么变成梯形，要么拼成一个平行四边形，不能直接相加。