正弦定理和余弦定理的所有公式-九十个公式集合

正弦定理余弦定理，别把它们当成啥死记硬背的公式本，咱这就当是跟老哥们儿聊天用的。
你看三角形，三个角加起来总得是 180 度，三条边搭在一起也得凑齐、还得严丝合缝。
这俩玩意儿，一个管比例，一个管距离，哪位也不欠哪位，但在复杂点的难题里，往往得它们一起出场。 说到正弦定理，那就是说，在任意一个三角形里，任意一边跟另外两边的比值，都跟对边那个角的正弦值一模一样。好办点说，就是边长 / 角度的正弦值，恒等于"2 倍半径”这个永恒数字。
为啥如此说？你拿一个等边三角形试试，边长都是 1，那正弦值都是 1/2，除到 2，结局正好等于 1。你把一个角变成 90 度，就是一个直角三角形，边长比正弦值又是 1。
不管角是多少，这个比值不变。
故此公式直接写出来就是：边长 / 角度的正弦值 = 2 倍半径。 那要是你只知道两边，想求第三边要么角呢？这时候就得靠余弦定理了。它跟正弦定理不忒一样，它不讲究“角对边正弦相等”，而是讲究边的关系，特别是涉及平方。余弦定理最大的那个词就是“平方”。你拿一道直角三角形，勾股定理就是勾股斜边，但余弦定理改得更像欧几里得，它告诉我们，两边的平方差等于第三边的平方减去两倍这两边乘积的余弦值。
这听起来有点绕，但核心就在那句：a² + b² - 2ab cos C = c²。
不管角 C 是多少度，这个关系都成立。 举个例子，假设你面前有个三角形，两边长分别是 5 和 7，夹角是 60 度，求第三边。直接套公式的话，3² = 5² + 7² - 2×5×7×(1/2)。算下来是 9 = 25 + 49 - 35，即 9 = 39，什么的，这里仿佛算错了？不对，是求第三边 c。c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos(60°)。cos(60°) 是 0.5，2×5×7×0.5 就是 35。
故此 c² = 25 + 49 - 35 = 39？不对，60 度是等边三角形的情况，两边 5 和 7 不可能成等边。
哦，我瞎编数字了。还是拿标准的 3, 4, 5 三角形吧。直角边是 3 和 4，斜边是 5。cos(90°) 是 0，故此 3² + 4² = 5²，彻底吻合。
那要是是两锐角呢？比如 120 度和 30 度的角，第三边肯定是 60 度。边长设为 2 和 2，角是 120 度，求第三边。b² = a² + c² - 2ac cos B。2² = 2² + 2² - 2×2×2×cos(120°)。cos(120°) 是 -0.5。
故此 4 = 4 + 4 - 8×(-0.5) = 16。
哎呀，这里边长不对。
哦，我搞混了，120 度的两边应当是 2 和 2，求夹角对的边？不对，夹角对的边才是 2a 要么 2c。
要是两边是 2 和 2，夹角 120 度，那第三边就是 2 了，出于等腰三角形底角 30 度。30-30-120 三角形。边长 2√3，2√3，2√3。2√3 / sin(120°) = 2√3 / (√3/2) = 4。
对，2 倍半径是 4。
这个例子够乱，还是举最好办的最典型的。 你想想，有没有可能三角形不是平面图形？比如把三个钉子钉在地面上，其中一个钉子点动，这构不成三角形。但要是钉子点不动，三个钉子构成三角形，那就是平面三角形，正弦定理余弦定理全生效。
要是三个点都在同一个轴线上，那度数的正弦值如何算？反正都是 0，除以 0 无意义。所那会儿提务必是构成一个封闭的、非共线的三角形。 再聊聊如何用。正弦定理解决的是“张”的难题，角角边要么边角边能不能求角？要是知道 A, B 和 a，求 A，要么知道 c, B 和 b 求 b。
这玩意儿主要用边角关系，两角夹边。
比如 A=30°, B=45°, 对边 b=1000，求 c。sin(30)/a = sin(45)/c = sin(180-75)/c... 不对，是一边一个角求角。 余弦定理解决的是“凸”的难题，两边夹一角求第三边，要么一边夹一角求邻边。
比如你有一把 20 米长的弓弦，两端分别拉在两个钉子，中间跨度变长了。n 边形的面积公式，要么正多边形周长变化，都得用到余弦定理。
比如你要算一个正六边形，边长是 1，周长是多少？六个 1，也是 6。但要是是正十二边形呢？
要么一个不规则多边形，用余弦定理拆开算每一对角线，再拼起来，就不好办了，得靠余弦定理算对角线长度。 实际上这两个公式，一个看“比例”，一个看“距离”，但在实际做题的时候，时常是混着用。
比如求某条线段长，中间夹了一个角，那就先用余弦定理把那条边算出来，再用正弦定理把这个分角拆出来。
要么求面积，底乘高，高算出来用正弦定理，要么底乘高除以 2，角算出来用余弦定理。 还有啊，这两个公式有互逆关系。正弦定理是边比角，余弦定理是边比边。
要是你把余弦定理两边平方，整理一下，也会拿到跟正弦定理类似的边角关系。别看写法不一样，但本质是同一个几何世界的两个侧面。一个拍桌子喊“看这边，边和角成正比”，一个摸鼻子喊“看那边，边和边的平方差成正比”。 最终说说应用场景。正弦定理在航海、航空里用得特别多。飞行员导航，飞机悬停时，利用正弦定理算出前方障碍物到目标的距离，要么算出航向角。
要是是三角函数表查不到，就用正弦定理：边长 / 角度正弦。余弦定理在建筑、土木工程、物理力学里简直是救星。盖房子时算梁的受力，算梯子滑上的高度，算杆秤的刻度，满大街都是余弦定理。
还有啊，球拍要么球杆的长度计算，要么杆秤的刻度，满大街都是余弦定理。 总而言之，别把它们当成背题的工具，当成工具箱里的两个扳手，一个抓边角，一个抓边距。
只要三角形存有，这两个公式就一辈子是你的默契搭档。