任何定理都有逆定理吗-任何定理都有逆定理吗

确实不是每道定理都有逆定理，这就像问“所有的苹果都是红色的”有没有“所有的红色东西都是苹果”一样荒唐。数学里那种“既然知足 A 就一定是 B"的推导，要是反过来“既然知足 B 就一定是 A"，往往在逻辑上就站不住脚，就连根本行不通。 大量人一听到“逆定理”这个词，脑子里立马浮现出“真”字，认定只要结论是假的，逆命题就一定是确实。
这种直觉在逻辑上贼悬。
你看那个经典的勾股定理吧。它说直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
这是一个真命题。它的逆命题呢？我把“斜边”换成了随意的长边，“直角边”换成了短边，呜呼，这命题直接变成了荒谬的谎言：只要三条边长加起来等于 100，这就一定是勾股定理。
显然没难题吧？并且更离谱的是，逆定理要是有的话，那它一定是错的，出于逆命题本身逻辑就是断裂的。
故此，起初得明确一点，逆定理只有在逆命题为真时才存有。 有些定理看起来挺复杂，实际上也没那么好办找逆命题。
比如素数定义：大于 1 的自然数，除了 1 和它本身以外不再有其他因子的数。
这真命题挺难逆推，出于要是逆命题成立，那除了 1 和它本身以外的所有数都得是素数，这显然不可能，比如 4 和 6 就是反例。
故此一般只有少数几个定理，它们的逆命题是确实，自然也就有了逆定理。 单看逻辑结构，大量定理在逆推的时候都会“崩塌”。
比如三角函数里的余弦定义。余弦是邻边比斜边，是一个比值。
要是你说“余弦等于邻边比斜边”，那就是废话。但要是你反过来，“要是两个比值相等，那么它们的余弦值也一定相等”，这就彻底没难题。但略微有点变味的，就是“要是两个角相等，那么它们的余弦值一定相等”。
这个逆命题是确实吗？不，这是错的。出于两个角相等，它们的正弦值也相等，但余弦值不一定相等，要不就它们都在直角边要么特殊的角度上。
故此这里没有逆定理，出于逆命题本身不成立。 再拿一个具体的例子看看。
比如勾股定理，别看它没有逆定理，但那个逆命题“直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和”要是强行成立，它自然不会是逆命题。它根本就不是。 有些定理的逆命题别看真，但能写成“要是 A 则 B"这种形式，难度挺大。
比如“要是两个角互补，那么它们互余”？这是错的。互余是两个角加起来 90 度。
要是两个角加起来 180 度（互补），那它们互余吗？不一定，要不就它们是 90 度。
故此这里没有逆定理。 还有一些定理，只要逆命题为真，它就是个逆定理。
比如“要是一个数既是正数又是奇数，那么这个数是合数”？这是错的。但要是你说“要是一个数既是偶数又是合数，那么这个数是合数”，这倒是没毛病。
不过这个逆命题忒弱了，彻底没意义。真正的逆定理，一般意味着原命题是一个强结论，而逆命题供给了一个新的、但同样成立的规则。 比如“要是两个三角形全等，那么它们的面积相等”。
这是真命题。逆命题“要是两个三角形面积相等，那么它们全等”。
这个逆命题也是确实。
故此这个时候，它就有一个逆定理。 再比如“要是两个数相等，那么它们的平方相等”。真命题。逆命题“要是两个数平方相等，那么它们相等”。
这也是确实。
故此这里也有逆定理。但这里有个小差别，原命题是“相等推平方”，逆命题是“平方推相等”。
实际上是一样的逻辑关系。 有时候我们会误当作只要逆命题是确实，就有逆定理。但严格来说，数学上还有一个概念叫“逆否命题”，那是原命题的逆否，不是逆命题。逆否命题“要是非 B 则非 A"，只要原命题真，逆否命题也真。但逆否命题和逆命题是两码事。逆命题是“要是 B 则 A"，逆否命题是“要是非 A 则非 B"。大量人把这两个搞混了，当作逆否命题就是逆定理。
实际上不是。逆否命题是原命题的等价陈述，而逆定理只是原命题的逆命题成真了。 比如“要是两个角互余，那么它们的和是 90 度”。
这是真命题。逆命题“要是两个角的和是 90 度，那么它们互余”。
这也是确实。
故此这里就有逆定理。但要是是“要是两个角相等，那么它们互余”，这是错的。
故此没有逆定理。 再看一个例子。
比如“要是两个三角形的三边长分别相等，那么这两个三角形全等”。
这是真命题。逆命题“要是两个三角形全等，那么它们的三边长分别相等”。
这也是确实。
故此这里有逆定理。 有些定理的逆命题别看真，但形式上可能比较怪，要么需求加上大量条件。
比如“要是两个函数在定义域内单调递增，那么它们在某一点的值一定相等”。
这显然是错的。
要是函数单调递增，它们能够无限增长，值能够无限接近，但不会相等。
这说明原命题的逆命题在这个逻辑链条里是断裂的。 还有像“要是两个向量平行，那么它们共线”。
这真命题。逆命题“要是两个向量共线，那么它们平行”。
这也是确实。
故此这里也有逆定理。 总而言之，定理里能写出逆定理的，一般是出于原命题的结论贼直接，没有绕行的余地。
要是你说“出于 A 故此 B"，那么“出于 B 故此 A"一般也是合理的，要不就 B 蕴含了比 A 更负面的东西。 举个例子。
比如“要是 x 大于 0，那么 x 是正数”。真命题。逆命题“要是 x 是正数，那么 x 大于 0"。
这也是确实。
故此这里就有逆定理。 要是你说“要是 x 是正数，那么 x 没有负因子”。
这也是真命题。逆命题“要是 x 没有负因子，那么 x 是正数”。
这也是确实。 故此，结论是：绝大多数定理都没有逆定理。
只有极少局部定理，它们的逆命题是确实，进而有了逆定理。并且，并不是所有的逆命题都是真命题。你务必先证明原命题是真，再去找它的逆命题，看它能不能成立。 最终再唠叨一句，有时候做题的时候，看到“逆命题”这个词，挺好办瞎起劲。
比如看到“对顶角相等”，你会立马想“要是两个角不相等，那么它们不是对顶角”，这彻底不是逆命题。逆命题务必是“要是角不相等，那么它们就不是对顶角”，但这显然是错的。 故此，不要随意给定理找逆定理，要不就你确实想看看那个逆命题到底是不是真，要么它能不能成立。数学的魅力就在于，有时候原命题真，逆命题也真，那就有了逆定理；有时候原命题真，逆命题假，那就只有原命题本身；有时候原命题真，逆命题荒谬，那就啥也没有。
这就像生活一样，不能光想着“只要结局对，过程就倒推回去”，得看过程到底能不能推导出结局，还有结局能不能反过来推导出过程。 真正的逆定理，往往也是数学中最有趣的局部，出于它展示了另一种层面上的合理性。但大多数时候，我们只需求知道原命题是确实，不需求强行去发明一个逆定理来假装它存有。出于制造这种假象，不仅违背了数学逻辑，还会误导人。
故此，还是老老实实研究原命题本身吧，那里才有真正的价值。 最终总结一下，任何定理都有逆定理吗？自然不是。
只有那些逆命题也成立的定理才有逆定理。并且，逆命题也成立，并不等于原命题就真。原命题真，逆命题真，才有逆定理。
这其中的逻辑链条，比看上去要复杂得多。
故此，看到定理别急着说有无逆定理，得自己琢磨琢磨，看看逆命题到底行不中。