平面向量的基本定理ppt-平面向量基本定理 PPT

平面向量根本定理：把空间炸开再找规律 大家好。今天咱们不念定义，不背公式，直接上事儿。 这事儿核心就一句话：空间任意向量都能“拆分”成两个不共线向量的组合。 先把话说开。在课堂里，老师可能会讲“要是基底不共线，任何向量都能够唯一表示为它们的线性组合”之类的话。但这忒干巴了，记不住。咱们换个思路。 想象你在二维平面上，手里拿着一根任意的杆子（向量）。
如何把它掰成两截？
如何把它拆得像一个没难题的线性方程组？这实际上就是我们要找的“基底”——两个不共线的向量。
只要你有这两个“标准砖头”，不管是原来的向量，还是它的逆向量，它都能拼起来。 这就叫线性独立性。
也就是说，只要你的两个砖头方向不是平行的，它们就构成了一个稳固的基础。
这时候，你手里那个任意的向量，方案就只有一个。 为啥只有一个？出于方程组就是超定的。三个非零向量要是线性无涉，那在二维平面里你根本抓不住它们。
反过来，要是两个向量共线，那它们就搭不成楼，没法代表平面，更多变量却没几个自由度。
故此，二维平面被这两个“标准砖头”撑开了。 具体如何算？ 平面向量根本定理的本质是：$ mathbf{e}_1, mathbf{e}_2 $ 不共线，对任意向量 $mathbf{a}$，存有唯一一对实数 $lambda_1, lambda_2$，使得 $mathbf{a} = lambda_1 mathbf{e}_1 + lambda_2 mathbf{e}_2$。 这就好比你给一个物体定了两个固定的方向线。你把它投影到这两条线上，长度就是系数。
不用去管它具体长啥样，只要它是二维的，就必然能套进这个公式。 咱们来个活例子。 假设在黑板上画了 $mathbf{e}_1$ 和 $mathbf{e}_2$，这是两个互相张开的箭头。 目前给一个向量 $mathbf{a}$ 画出来，它如何跟这两个画上去？ 先算一下。
看它在 $mathbf{e}_1$ 上的投影长度乘以单位向量，再加上它在 $mathbf{e}_2$ 上的投影长度乘以单位向量。 数据上，$mathbf{a}$ 在 $mathbf{e}_1$ 上的分量是 3 个单位，在 $mathbf{e}_2$ 上的分量是 5 个单位。 故此，$mathbf{a} = 3mathbf{e}_1 + 5mathbf{e}_2$。 你看，这就是定理的落脚点：任何向量，都是基底向量的线性组合。 那要是数据不好算呢？ 这就得靠几何直观了。 举个例子，$mathbf{a}$ 和 $mathbf{e}_2$ 垂直，那 $lambda_2$ 肯定得是 0。出于垂直意味着没有 $mathbf{e}_2$ 方向的分量。 再看 $mathbf{e}_1$，$mathbf{a}$ 跟 $mathbf{e}_1$ 夹角 30 度。利用三角函数，$cos 30^circ$ 大约是 0.866。 故此 $lambda_1$ 得是 $|mathbf{a}|cos 30^circ$。 结局出来：$mathbf{a} = (|mathbf{a}|cos 30^circ)mathbf{e}_1 + (|mathbf{a}|sin 30^circ)mathbf{e}_2$。 这里的系数就是投影系数，不用管角度本身，只管长度和方向余弦。 除了直线坐标，还有其它坐标系吗？ 有。 要是是斜坐标系，比如 $mathbf{e}_1$ 和 $mathbf{e}_2$ 的夹角不是 90 度。
这时候系数就不是投影长度了，得带上余弦值。公式变成 $mathbf{a} = (mathbf{a} cdot mathbf{e}_1)mathbf{e}_1^{-1} + (mathbf{a} cdot mathbf{e}_2)mathbf{e}_2^{-1}$。 别看费事点，但原理一样：还是那个“唯一分解”。只是“单位向量”变了。 在物理里，比如转动惯量要么力学里，时常用到这种非直角基底。
这时候你再画个图，你会发现，不管角度多大，只要基底不共线，向量总能拆解。 最终总结一下。 平面向量根本定理就是二维空间的“万能公式”。 它告诉我们要么：
1. 找两个不共线的基底。
2. 把目标向量投影到这两个方向上。
3. 拿到两个系数。
4. 组合起来，就对了。 别死磕那个“唯一性”，那是废话。重点在于：二维空间，只要基底够强（不共线），分解就是唯一的。 要是题目让你求 $mathbf{a} = lambda mathbf{e}_1 + mu mathbf{e}_2$，你就直接往坐标轴上投影子，乘以系数，加起来就行。 好了，这就是平面向量根本定理的全体常识。 写到这里，咱们把空间拆开了，起码二维，也够用了。 （还有三维空间同理，只是基底多了三个，分解也多了三个系数，但逻辑彻底一样，就是线性代数那个行列式矩阵的证明过程。） 谢谢大家。