素数定理是什么-素数定理定义

素数，也就是那些除 1 和它自己以外没有其他因子的自然数，从 2 启动，2、3、5、7、11……它们像一颗颗散落的星星，在数学家眼中却藏着贼隐秘的秩序。大量人当作它们只是一个个孤立存有的数字，但在欧拉生性爱静的日子里，他的算盘上摆满了它们。 实际上，素数最疯狂的地方不在于找第一千个，而在于它们无穷无尽，并且分布得特别不均匀。你越往后面走，它们就越稀疏，每隔一段距离，可能上一次素数还近在咫尺，下一秒就隔得十万八千里。
这种稀疏感在视觉上让人头大，但细细一想，实际上是一种悖论。
哪怕你把所有已知素数加起来算上虚数运算，结局一辈子是个有限数；可数学世界里素数的总量却是无限的。
这个结论听起来有点反直觉，像是在说“无限里还藏着看不见的东西”，但 19 世纪那两位天才——法国人勒让德和德·萨里——早就把这种疯狂倒背如流了，并且他们能算到小数点后六位数。勒让德就连能算出第 14,484,838 个素数是多少，这如何算如何神。 关于素数究竟有多少，有一个著名的猜想叫欧拉素数猜想，它说素数分布得越来越稀疏，就像海面上的波浪，波浪越远，波峰越矮，但波浪的总能量（也就是素数个数）一辈子不能超过某个值。
不过话说回来，这个猜想后来被克雷数学研究所列为千禧年大奖难题之一，别看数学界把它给解了，但那种“波浪最终会消亡”的绝望感还在。而素数的总数到底有多少呢？这就是著名的“素数计数函数”难题。 想想看，要是我们按 1 到 100 取，素数有 25 个；1 到 1000 有 168 个；1 到 10000 有 1229 个。
看着这些数字，是不是会认定它们呈指数级增长？不对，不是指数，而是比指数更荒谬的函数，叫 $pi(x)$。
这个函数告诉我们，在 1 到 $x$ 之间总共有多少个素数。数学史上有个故事，丹麦数学家狄利克雷写了一本关于模 152 的定理的书，里面居然处处都是素数。读了这本书，有人认定“原来素数无处不在”，这挺逗的。但要是你想知道 1 到 100 之间有多少个素数，直接查表要么用公式算，彻底不需求去翻那本晦涩难懂的文言笔记。 把这些数据拼凑起来，你就会发现 $pi(x)$ 的增长速度确实越来越慢。$pi(10) = 4$，$pi(100) = 25$，$pi(1000) = 168$，$pi(10000) = 1229$，$pi(100000) = 9592$。就在 100 万之前，数量还是 9000 多；到了 1 亿，才跳到 40 万左右。到了 10 亿，就接近一千万个了。到了 100 亿，就已经超过一千万个素数了，并且已经不止 10 亿个。
要是你拿 100 亿这个数去乘 100，只有 1000 亿个素数了；再乘 1000，才 10000 亿个；再乘 10000，才 100000 亿个。
故此求 $pi(10^{100})$ 这个数，等于求 $10^{100}$ 个倍数里有多少个是素数，这个数大约是 $10^{10000}$ 左右。
这个数字大到连计算机都算不过来了，更遑论人工去计算它。 实际上，素数分布的规律早就被发现了，并且贼清楚。1919 年，德国数学家哈特曼就证明白素数间隙的增量最终会收敛到一个固定的常数，这个常数大约等于 $ln^2 x$。
也就是说，随着数字变大，两个相邻素数之间的距离会越来越小，但减小的速度也是越来越慢，最终会逼近那个对数平方型的曲线。
这意味着，要是你数到 10 亿，下一个素数大约在 1.01 亿的位置；数到 100 亿，下一个素数大约在 1.0101 亿的位置；数到 1000 亿，下一个素数大约在 1.010101 亿的位置。
这个趋势简直让人绝望，也让人着迷。 为了更直观地感受这种无限性，我们能够做一个好办的操作。假设你想知道 1 到 10 之间有多少个素数，答案是 4。目前，你想知道 1 到 100 之间有多少个素数，答案是 25。
要是你想要 1 到 $10^6$ 之间有多少个素数，这个数字大约是 $15000000$。
要是你希望知道 1 到 $10^{12}$ 之间有多少个素数，这个数字是 $3 times 10^68$。
这个数字之大，简直超出了人类的想象。目前，你把 $10^{12}$ 个倍数排成一排，你大约想选出其中的素数，选选看大约需求多少年。 数学界有个叫素数常数 $pi_1$ 的概念，它描述的是素数在自然数序列中的占比。
这个常数贼小，大约是 $0.168$。
这意味着，在任何一个长度充足的区间里，素数出现的频率大约是 16.8%。但这并不意味着它们是均匀分布的。想象一下，你拿一张无限长的纸板，在上面画素数。你会发现，在靠近 1 的地方，素数密度挺高；往右走，密度慢慢下降；走到中间，密度更低；再往后，密度更低；走到最右边，密度更低。
这种“先高后低”的曲线，正是 $pi(x)$ 函数的形状。而素数常数 $pi_1$ 就是描述这种“低密度”的趋势。 实际上，素数不可能被分类。
这是数学上最底层的真理之一。
要是你把素数分成奇素数和偶素数，那是不存有的分类，出于偶素数根本没有。
不管你如何挑，只要是大于 2 的自然数，要么全是奇数得素数（比如 3, 5, 7, 11, 13...），要么全是偶数，除了 2 以外，没有其他的偶素数。
这就是素数最肆无忌惮的地方：它们彻底无视了人为的分类。 这是不是忒荒谬了？在 20 世纪 60 年代，全世界的数学家就连还在为“素数是否存有”这个难题争得面红耳赤，互相指责对方不诚实。直到 19 世纪中叶，勒让德和德·萨里才用计算证明白素数是无限的，并且能算出具体个数。几十年来，数学家们还在试图找出一个公式来精确刻画 $pi(x)$ 的每一个点，要么证明它的单调性，但都没有成功。
这就是素数理论的迷人之处：我们越接近，理解得越透彻；我们离深水区越远，发现得就越难。 素数定理，要是一定要给个名字，那只能是“素数不存有”。
要么更准地说，素数的分布规律是确定的，但那个规律本身，大到它一辈子无法被穷尽。
故此，求 $pi(x)$ 的值，用计算机算；求 $pi(x)$ 的精确表达式，用数学证明；求 $pi(x)$ 的极限行为，用分析学去研究。而我们最终要面对的一个事实是，甭管你如何努力，素数的数量总归还在无穷大，并且它们一辈子会在你看不见的地方持续排列着。
这种庞大的、荒谬的、却又无比真的无限，才是素数留给人类最深刻的震撼。