共线向量定理技巧-共线向量定理技巧

向量是初中数学里的常客，干啥啥用对吧？最核心的就是共线向量定理，也就是平行向量定理。
记住一句话，方向要么一样，要么彻底反之，那就叫共线。
那到底如何判断呢？实际上啊，只要看它们能不能缩成一堆。把其中一个向量拆开，拆成两局部，一局部是长度，一局部是方向，然后看看能不能把方向局部凑回去。 举个最实在的例子，比如向量 $vec{AB}$ 和 $vec{DC}$。
要是你设 $vec{AB} = lambda vec{DC}$，那这就构成了共线。
这里 $lambda$ 是个比例系数，可能是正数也可能是负数。正数说明方向彻底一致，负数说明一个是正一个是倒。
如何算 $lambda$ 呢？方式实际上挺好办，就是把对应的模长比出来，再乘上方向向量的符号。
比如 $AB$ 长 3 单位，$DC$ 长 6 单位，那 $lambda = 2$，方向相同；要是 $AB$ 长 3，$DC$ 长 -6（反向），那 $lambda = -1$。 实际上判断共线还有个更直观的几何方式，叫“平移法”。大量人一上来就做题，好办在那儿死算模长，实际上根本没必要。
只要把其中一个向量平移到另一个向量所在的直线上，再比一下长度和方向，这就够了。
比如求 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 是否共线，画个图把 $vec{a}$ 移那会儿，看能不能在 $vec{b}$ 的直线上“站直”。
这时候长度要是是 $2$，方向对应，那就是共线；要是长度是 $3$，方向也是对应，那也不对，出于方向得一致要么反之，数量得成比例。 再来看一个带参数的例子，比如向量 $vec{p} = (2alpha, 2alpha)$ 和 $vec{q} = (alpha, 1)$。直接看能不能写成 $lambda$ 倍的关系，仿佛没那么快。
这时候还得想到基底法要么坐标运算。记得把向量转为坐标形式，然后利用行列式要么叉积的绝对值来判断。
要是两向量都在 $xOy$ 平面内，能够用叉积公式 $|vec{a} times vec{b}| = |vec{a}| cdot |vec{b}| cdot sintheta$。
要是这个值等于 0，就说明夹角是 0 或 180 度，肯定是共线。 比如具体算个题，$vec{e_1} = (1, 2)$，$vec{e_2} = (3, 6)$。把坐标代入公式，$1times6 - 2times3 = 0$，结局直接出 0。
这说明 $vec{e_1}$ 和 $vec{e_2}$ 平行，共线。
反过来，$vec{e_3} = (4, 8)$，$vec{e_4} = (2, -1)$，这时候 $4times(-1) - 2times8 = -12 neq 0$，说明不共线。
这种题平时一做题就能看到，不用像教科书那样写一堆公式，就盯着坐标一乘一减，一目了然。 还有时候，题目给的是已知共线的向量，让你求比例系数。
比如 $vec{a} = (1, 2)$，$vec{b} = (-3, -6)$，已知它们共线，求 $vec{a} + vec{b}$ 的模。
这时候先不管模长，先把向量加起来，拿到 $vec{c} = (-2, 4)$。
然后算模长 $sqrt{(-2)^2 + 4^2} = sqrt{20} = 2sqrt{5}$。整个过程下来，步骤挺清楚，逻辑也挺顺，就是要把向量加起来的运算娴熟掌握。 实际上啊，在处理这类难题的时候，大家最好办犯的毛病就是死磕坐标运算，把向量的模长比例关系搞混了。
比如认定两个向量共线，就把长度比了，却忽略了方向。
这时候就要学会先判断方向。向量的方向由箭头指向拍板，要是两个向量方向反之，实际上也能够看作共线，只是比例系数为负。
这种时候，算出比例系数是负数，再套进公式里，结局自然就对了。 再比如，有时候题目里会给出 $vec{a} = kvec{b}$ 的形式让你求 $k$。
这时候只需求把对应的坐标列个等式组解出来就行。
要是两个坐标都不为 0，直接列方程组解；要是一个为 0，那就得按特殊点聊聊。
比如 $vec{a} = (0, 3)$，$vec{b} = (1, 0)$，显然不可能共线，要不就 $k$ 是无穷大，这在常规计算里就要换种思路了。 还有啊，过渡向量和基底法也是个好用的辅助手段。
要是题目给的向量之间关系比较复杂，挺难直接看出共线，那就把它们转化成基底向量表示。
比如设 $vec{e_1}, vec{e_2}$ 是两个不共线的基底，原来的 $vec{a}$ 表示成 $xvec{e_1} + yvec{e_2}$，原来的 $vec{b}$ 表示成 $mvec{e_1} + nvec{e_2}$。
然后看 $x/m = y/n$ 是否成立。
要是成立，那就说明这两个向量共线了。
这个方式别看略微费事点，但适用范围广，特别是面对复杂的几何图形时，能把难题简化大量，不好办出错。 最终得提一下特殊情况。
要是两个向量都是零向量，那它们自然共线，这是数学上的共识。
不过在实际做题时，要不就题目特意考这个，否则一般默认向量是非零向量。
要是题目里出现零向量，比如 $vec{a} = vec{0}$，那它和任何向量都共线，这时候解比例系数要么直接判断即可。 总的来说，判断共线向量，核心就在那两个字：方向。
要么同向，要么反向。
只要能把一个向量拆成两份，一份是长度，一份是方向，然后看看能不能拼凑起来，要么用坐标公式算出结局，这事儿就搞定了。平时做题能够多练练，把这种基础概念烂熟于心，遇到这类难题自然就从容了。别一直把好办的看作复杂的，Math 世界里顶多的就是这种“一眼看上去挺好办，做起来却好办卡壳”的难题，多琢磨琢磨，多画图，就能突破瓶颈。