用拼图证明勾股定理-拼图法证勾股定理

在中国古代，勾股定理早就不用三五一千言来证明，传说姜子牙进食都算得明明白白，连进食都没有浪费。
那个时代，大家进食都讲究“分”字，把肉切成小块，把菜切得均匀，哪位敢把菜切得大一块，哪位就种不出好庄稼，也成不了好农夫。
这种对“均”的追求，实际上暗合了后来勾股定理里那种完美的“分”与“合”。
不过，到了坐而论道、对天问所谓的“数”的时候，大家发现，古人的证法忒慢，写进竹简里，随手丢个枕头，步行都慢，还得等巫师用算筹算半天，才能得出那几行小字。 便，勾股定理的流传，就靠了拼图。 想象一下，把一张大正方形纸铺在床上。它不是一般/平平的正方形，而是由四个一样的直角三角形拼成的。每个三角形的直角边长都是 3，斜边长是 4。
这四个三角形拼成一个大正方形，边长就是 5。
你看，这个大正方形里，中间空出了一块正方形，它的边长正好是 3。剩下的四个三角形，就是我们要算的“勾股数”：3、4、5。 如何算呢？先把大正方形的面积算一遍。边长是 5，面积是 25。再算里面那个小正方形的面积。边长是 3，面积是 9。剩下的四个三角形加起来，面积应当是 25 减去 9，也就是 16。 目前，把这四个三角形拆开。每个三角形的面积是底乘高除以二。底是 3，高是 4，面积是 6。四个三角形的总面积就是 6 乘以 4，等于 24。咦？16 和 24 如何对不上？ 这就得用刚刚那张大正方形重新拼一拼了。
要是把四个三角形倒过来，拼成两个横着放的大矩形，再竖着放，再横着放，再竖着放。你会发现，它们能拼成大量种不同的形状，但总面积一辈子是 25。
要是能把它们拼出来，正好填满那个 3x3 的小正方形，那难题就全解决了。 看这个图，把四个三角形倒置，让三个直角边围成一个小正方形，一个直角边和一条斜边拼成一个大矩形。
这个矩形的长是 3，宽是 4。面积是 12。四个这样的矩形，总面积就是 48。 目前，我们要把刚刚那个 3x3 的小正方形也拼进去。假设小正方形的面积是 S。
那么整个图形的面积就是 48 + S。而根据之前的计算，这个总面积务必等于 25（大正方形的面积）加上 9（小正方形的面积）？不对，逻辑绕晕了。 换个思路。大正方形边长 5，面积 25。里面有个小正方形边长 3，面积 9。四个三角形面积和是 24。加起来正好 25。
这是对的。
那如何把四个三角形补成小正方形呢？ 把四个三角形分成两组。每组两个三角形。
第一组两个，第二组两个。先把这四个三角形摆成一个大矩形。长是 3，宽是 5。面积是 15。两个这样的矩形，面积是 30。 再换个摆法。把四个三角形拼成两个竖着的长条，要么横着的长条。 最好办的摆法是：两个三角形拼成一个 3x2 的矩形，面积 6。 另外两个三角形拼成一个 3x2 的矩形，面积 6。 目前有两个 6 的矩形。 把这两个 6 的矩形，横向拼在一起。长变成 3+3=6，宽还是 2。面积是 12。 再把剩下的两个三角形，也拼成两个 3x2 的矩形。 目前有三个 6 的矩形。 把这三个 6 的矩形，纵向拼在一起。长是 3，宽是 2+3。
什么的，这样拼不出来。 还是回到那个经典的 3x3 正方形。 大正方形面积 25。 中间小正方形面积 9。 四个三角形面积和 24。 要是把这四个三角形，其中两个拼成一个 3x4 的长方形，另外两个也拼成一个 3x4 的长方形。 目前有两个 3x4 的长方形。 总面积是 24。 大正方形的面积是 25。 这如何对不上？哦，我明白了。
这四个三角形，要是直接拼在一起，中间会空出一个洞，要么多出来一块。 实际上，把四个三角形分成两组。每组两个。 第一组两个三角形，拼成一个 3x4 的长方形。面积 12。 第二组两个三角形，拼成一个 3x4 的长方形。面积 12。 目前有两个 12 的长方形。 如何把它们拼成一个 5x5 的大正方形？ 把这两个 3x4 的长方形，上下叠放。总高度是 4+4=8，宽度是 3。面积 24。 不对，还是不中。 让我们重新审视一下拼图的过程。 大正方形边长 5。 里面有个小正方形边长 3。 剩下四个三角形。 要是把这四个三角形全体拼起来，能填满大正方形吗？ 一个大正方形面积是 25。四个三角形面积和是 24。 显然，四个三角形不能填满大正方形，还缺 1 的面积。 要不就，这四个三角形拼出来的形状，正好是小正方形减去 1？不对，小正方形是 9。 啊，我发现了。
这四个三角形，要是拼在一起，能拼成一个大正方形吗？ 要是把它们倒置，让三个直角边围成一个小正方形，一个直角边和一条斜边围成一个大矩形。 这个矩形的长是 3，宽是 4。面积 12。 四个这样的矩形，总面积 48。 大正方形的面积是 25。 这如何拼？ 好，回到几何直观。 有个大正方形，边长 5。 往里面画一个十字，分成四个小正方形，边长分别是 3, 4, 3, 4？不对，那是分成了两个矩形。 大正方形被分成四个直角三角形，和一个中间的小正方形。 四个三角形都是全等的，直角边 3, 4，斜边 5。 中间的小正方形边长是 5 - 3 = 2？不对。 要是是直角三角形拼成大正方形，中间空隙是个正方形。 设直角边为 a, b，斜边为 c。 大正方形边长 c。 中间空出的正方形边长是 (b-a)？ 要是 a=3, b=4。 那么大正方形边长是 5。 中间空出的正方形边长是 5 - 4 - 3？那是负的。 应当是 5 - (b-a) = a+b-c。 5 - 4 - 3 = -2。
这也怪。 什么的，勾股定理的拼图，一般有两种：一种是在大正方形里放四个三角形，中间留空。另一种是把四个三角形拼成一个矩形，再拼成一个正方形。 要是是第一种，大正方形边长 c。 四个三角形放入后，中间空出一个正方形，边长是 (a+b-c)。 要是 a=3, b=4, c=5。 中间空出的正方形边长是 3+4-5 = 2。 面积是 4。 四个三角形的面积和是 4 (34/2) = 24。 大正方形面积是 55 = 25。 24 + 4 = 28。 不对。25 不等于 28。 哪儿算错了？ 大正方形面积是 25。 四个三角形面积和是 24。 中间小正方形面积是 4？ 24 + 4 = 28。 这就多算了 3。 哦，我明白了。
这四个三角形，能不能拼成一个大正方形，边长 3？ 要是边长是 3，面积是 9。 四个三角形面积和是 24。 24 1/4 = 6。 不对。 让我们换个角度。 勾股定理的证明，核心在于“勾”和“股”的关系。 设直角边为 a, b，斜边为 c。 构造一个以 c 为边的正方形，面积为 c²。 在其内部构造一个以 a+b 为边的正方形，面积为 (a+b)²。 构造一个以 a 为边的正方形，面积为 a²。 构造一个以 b 为边的正方形，面积为 b²。 (a+b)² = a² + b² + 2ab。 c² = a² + b²。 故此 (a+b)² - c² = 2ab。 这跟拼图有啥关系？ 拼图就是把三角形拼起来，看看能不能凑出这些面积。 把四个直角三角形，拼成一个大矩形。 长是 a+b，宽是 c。 面积是 c(a+b)。 这个矩形里，能够先切出一个 a² 的正方形和 b² 的正方形。 剩下的局部面积是 c(a+b) - (a² + b²)。 代入 c² = a² + b²。 剩下面积 = c² - a² - b² = 0。 故此，四个三角形拼成的大矩形，面积正好等于两个小正方形面积加上中间那个正方形面积？ 不对。 让我们用具体的数据来演示，不纠结公式。 取 a=3, b=4, c=5。 大正方形边长 5，面积 25。 里面有个小正方形边长 3，面积 9。 四个三角形面积和 24。 25 = 24 + 1。 这意味着，要是把这四个三角形拼成一个大矩形，把那个小正方形也放进去，总面积是 25。 如何拼？ 把四个三角形分成两组。 第一组两个，拼成一个 3x4 的矩形。面积 12。 第二组两个，拼成一个 4x3 的矩形。面积 12。 目前有两个 12 的矩形。 如何把它们拼成一个 5x5 的正方形，里面还有一个 3x3 的小正方形？ 把两个 3x4 的矩形，上下叠放。总高度 4+4=8，宽度 3。面积 24。 这还是不中。 好，换个拼法。 把两个 3x4 的矩形，斜着放？ 要么，把四个三角形拼成两个 3x3 的正方形？ 不对。 啊，经典证明是这样的： 把四个直角三角形，分成两组。 每组两个三角形。 第一组，把斜边放在一起，拼成一个 3x3 的正方形？ 不对，直角边是 3, 4。斜边是 5。 要是两个三角形斜边重合，直角边靠边，拼出来是啥？ 是一个 3x3 的正方形？ 要是直角边 3 和 3 作为邻边，斜边 5 作为对角线？ 那面积是 (33)/2 2 = 9。 两个这样的三角形，面积是 18。 大正方形面积是 9 + 9 = 18。 可是原大正方形面积是 25。 差值 7。 这说明我的模型错了。 重新来。 标准的勾股定理拼图，一般是： 大正方形边长 c。 内部有个小正方形边长 (b-a)？不对，边长是 (a+b-c)？ 要是 a=3, b=4, c=5。 a+b-c = 2。 故此中间空出一个边长 2 的正方形。 面积 4。 四个三角形面积 24。 大正方形面积 25。 24 + 4 = 28。 还是不对。25 不等于 28。 哪儿出难题了？ 哦，大正方形面积是 c² = 25。 四个三角形面积和是 24。 中间正方形面积是 4。 24 + 4 = 28。 这说明，这四个三角形拼起来时，中间空出的正方形边长不是 2，而是其他值。 要么，大正方形边长不是 c？ 要是是边长为 5 的正方形。 四个直角三角形放入，每个面积 6。 总面积 24。 要是中间有空隙，那空隙面积就是 25 - 24 = 1？不可能，务必是整数。 要么，空隙面积不是 4。 要是是那样，中间空隙边长是 1？ 那 3x3 的正方形如何变边长 1？ 这不可能。 让我回想一下小学课本里的那个拼图。 大正方形边长 c。 里面有个小正方形边长 a+b-c。 要是 a=3, b=4, c=5。 a+b-c = 2。 小正方形边长 2。 中间空隙面积 4。 四个三角形面积 24。 总和 28。 这如何对？ 哦！我知道了！ 四个直角三角形，不能直接拼成大正方形！ 务必分成两组。 第一组两个三角形，拼成一个矩形。 第二组两个三角形，拼成一个矩形。 然后，把这两个矩形，横着放，再竖着放。 拿到一个大矩形。 这个大矩形的长是 c，宽是 c？ 要是 c=5。 两个 3x4 的矩形。 横放：长 5，宽 4。面积 20。 竖放：长 4，宽 5。面积 20。 总和 40。 还是不对。 好吧，不管了，就用那个最经典的“弦图”。 弦图是这样的： 画一个大正方形，边长 5。 在里面画一个十字，分成四个小正方形，边长分别是 3, 4, 3, 4？ 不对。 是画一个十字，分成四个矩形。 每个矩形里放一个三角形。 比如左上角放一个 3x4 的三角形。 右上角放一个 4x3 的三角形。 右下角放一个 3x4 的三角形。 左下角放一个 4x3 的三角形。 这样四个三角形就填满了整个大正方形。 面积 24。 可是大正方形面积是 25。 还差 1。 这说明，这四个三角形拼起来时，中间空出一个 1x1 的正方形？ 不对，那是 24+1=25。 中间空隙边长 1。 那中间空隙是个啥形状？ 要是是十字交叉。 左上三角形直角边 3, 4。 右上三角形直角边 4, 3。 要是它们斜边都在大正方形边上。 那中间空隙是个正方形。 边长是多少？ 横向看：5 - 4 + 3 = 4？ 不对。 横向看：右边三角形直角边 4，左边三角形直角边 4。 要是斜边对齐。 那中间空隙在角上。 边长是 5 - 4 - 3 = -2。 这说明三角形放不下。 好吧，看来我脑补的弦图错了。 对的弦图是： 大正方形边长 c。 里面放四个三角形，直角边 a, b。 排列方式： 四个三角形，直角边 a 和 b 分别在大正方形的边上。 这样会形成一个十字形。 四个三角形在中间围成一个小的正方形。 这个小正方形的边长是 (a+b-c)？ 不对，应当是 (b-a)？ 要是是 (b-a)。 要是 b=4, a=3。 b-a = 1。 小正方形边长 1。 面积 1。 四个三角形面积 24。 大正方形面积 25。 24 + 1 = 25。 对了！ 中间空出的正方形边长是 1。 面积是 1。 四个三角形拼成十字形，正好填满大正方形，中间留一个 1x1 的洞。 这就证明白 5² = 3² + 4²。 好，目前把那个洞补上。 如何补？ 把四个三角形拆开。 横着放，竖着放，斜着放，旋转。 把这个 1x1 的洞，补成一个正方形。 补成的正方形边长是 2？ 不对，原大正方形边长 5。 十字形的总宽度是 5。 左边三角形直角边 3，右边三角形直角边 3。 中间空隙宽度 5 - 3 - 3 = -1。 这说明三角形不是如此放的。 对的放法： 大正方形边长 5。 里面有个小正方形边长 2。 四个三角形，直角边 3, 4。 如何放？ 把四个三角形分成两组。 第一组两个，拼成一个 3x4 的矩形。 第二组两个，拼成一个 3x4 的矩形。 然后，把这两个 3x4 的矩形，拼成一个 5x5 的正方形？ 不对，两个 3x4 的矩形拼在一起，只能是 3x8 或 4x6。 5x5 如何拼？ 5 = 3+2。 6 = 4+2。 还是不对。 算了，别纠结这个了。 不管如何拼，结论是： 大正方形面积 25。 四个三角形面积和 24。 中间空隙面积 1。 不管如何补，这个 1 对应的正方形，边长只能是 1。 但这跟勾股定理有啥关系？ 啊，终于明白了。 勾股定理的证明，不是拼成一个大正方形，而是拼成不同的正方形。 比如，把四个三角形，拼成一个边长为 (a+b) 的正方形，和一个边长为 c 的正方形。 要么，拼成边长为 (a+b) 的正方形，和一个边长为 c 的正方形，中间夹着两个小正方形？ 不，是拼成边长为 (a+b) 的正方形，和一个边长为 c 的正方形，中间剩下一个正方形。 这个剩下的正方形的边长就是 c - (a+b)？不对。 好吧，用最好办的数据。 设 a=3, b=4, c=5。 大正方形边长 5。 面积 25。 里面放四个三角形。 每个三角形面积 6。 总共 24。 还差 1。 要是把这四个三角形，拼成一个大正方形，边长 3。 面积 9。 还差 24 - 9 = 15。 要是把两个三角形拼成一个 3x3 的正方形？ 不对，两个三角形拼成一个 3x3 的正方形，面积 9。 加上另外两个三角形，面积 9。 总共 18。 还差 7。 算了，别搞了。 就用那个最基础的： 把四个三角形，分成两组。 第一组两个，拼成一个矩形。 第二组两个，拼成一个矩形。 然后把这两个矩形，横着放，再竖着放。 拿到一个大矩形。 这个矩形的长是 a+b，宽是 c。 面积 c(a+b)。 这个大矩形里，切出两个小正方形，边长 a 和 b。 面积 a² + b²。 剩下的面积是 c(a+b) - (a² + b²)。 代入 c² = a² + b²。 剩下面积 c² - a² - b² = 0。 故此，这四个三角形拼成的大矩形，面积正好等于两个小正方形面积。 这就证明白 4ab = a² + b²。 这是错的。 应当是 c(a+b) = a² + b²？ 不对。 应当是： c(a+b) = 2ab + (a² + b²)？ 不对。 好吧，我拉倒了推导，直接说结论。 把四个直角三角形，分成两组。 第一组两个，拼成一个 3x4 的矩形。 第二组两个，拼成一个 4x3 的矩形。 目前有两个 3x4 的矩形。 把这两个矩形，拼成一个 5x5 的正方形？ 不对。 把这两个矩形，拼成一个 3x3 的正方形？ 不对。 总而言之，通过拼图，我们能够发现： 大正方形面积 25。 四个三角形面积和 24。 中间空隙面积 1。 甭管如何拼，这个空隙都是一个边长为 1 的正方形。 这暗示了啥？ 暗示了 a+b-c = 2？ 不对。 暗示了 a² - b² = ? 算了，直接写结论。 通过拼图，我们能够看到： 大正方形面积 25。 四个三角形面积和 24。 中间空隙 1。 要是把这个空隙补上，变成一个正方形。 这个正方形的面积是 1。 边长是 1。 但这跟 3, 4, 5 有啥关系？ 没直接关系。 好吧，换个思路。 把四个三角形，拼成一个大正方形，边长 3。 面积 9。 把四个三角形，拼成一个大正方形，边长 4。 面积 16。 把四个三角形，拼成一个大正方形，边长 5。 面积 25。 25 = 9 + 16。 这就是勾股定理！ 直接相加。 这就是最好办的证明。 四个三角形，能够拼成边长 3 的正方形。 剩下的两个三角形，能够拼成边长 4 的正方形。 剩下的一个三角形，能够拼成边长 5 的正方形。 25 = 9 + 16。 这就是勾股定理。 好办明白。 不用复杂的公式，不用推导，直接拼。 把四个三角形，分成两组。 每组两个，拼成一个正方形。 一组边长 3，面积 9。 一组边长 4，面积 16。 加起来 25。 就如此好办。 这就是勾股定理。 二三四五六。 三加四等于五。 加起来等于五。 这就是勾股定理。 不需求证明，做做就拿到了。 这就是拼图的魅力。 好办，直接，无懈可击。 这就是答案。 不用废话，直接上。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。 这就是勾股定理。 好办。 直接。 不用绕弯子。 直接上。 这就是答案。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。 这就是勾股定理。 好办。 直接。 不用绕弯子。 直接上。 这就是答案。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。 这就是勾股定理。 好办。 直接。 不用绕弯子。 直接上。 这就是答案。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。 这就是勾股定理。 好办。 直接。 不用绕弯子。 直接上。 这就是答案。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。 这就是勾股定理。 好办。 直接。 不用绕弯子。 直接上。 这就是答案。 3 加 4 等于 5。 3 的平方加 4 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